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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:48 Fr 16.05.2014 | | Autor: | needmath |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Lösungen folgender Diff`gleichungen:
a) x`= [mm] e^{t+x}
[/mm]
b) tx +(t+1)x` = 0
c) txx` = [mm] \wurzel{x^2+1} [/mm] |
a) x'= [mm] e^{t+x}
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] ln(\bruch{dx}{dt} [/mm] = t+x
-x +ln(dx) = t + ln(dt)
[mm] e^{-x}dx [/mm] = [mm] e^t [/mm] dt
[mm] \integral{e^{-x} dx} [/mm] = [mm] \integral{e^t dt}
[/mm]
[mm] -e^{-x} [/mm] = [mm] e^t
[/mm]
wie löse ich hier jetzt das x? ich kann den natürlichen logarithmus nicht anwenden wegen den minus vor e
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Hallo needmath,
so langsam könntest du dich ja auch einmal um eine angemessene Verwendung von LaTeX-Syntax bzw. die Verwendung unseres Formeleditors kümmern. Das ist übrigens der Antwortfrequenz alles andere als abträglich!
> Bestimmen Sie alle Lösungen folgender Diff'gleichungen:
>
> a) x'= [mm]e^{t+x}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> [mm]ln(\bruch{dx}{dt}[/mm] = t+x
>
> -x +ln(dx) = t + ln(dt)
>
> [mm]e^{-x}dx[/mm] = [mm]e^t[/mm] dt
>
> [mm]\integral{e^{-x} dx}[/mm] = [mm]\integral{e^t dt}[/mm]
>
>
> [mm]-e^{-x}[/mm] = [mm]e^t[/mm]
>
> wie löse ich hier jetzt das x? ich kann den natürlichen
> logarithmus nicht anwenden wegen den minus vor e
Da oben steht sofort ab deiner ersten Zeile vollkommener Unsinn, da wurde offensichtlich keine Sekunde darüber nachgedacht.
Irgendwie scheinst du dich an ein Verfahren namens Trennung der Variablen erinnert zu haben und die gute Nachricht ist: genau darum geht es hier. Dazu schreibt man zunächst einfach die Ableitung um:
[mm] x'=\bruch{dx}{dt}=e^{t+x}=e^t*e^x
[/mm]
Jetzt forme die rechte Gleichheit so um, dass dx und alles was von x abhängt links zu stehen kommt. Und dann kannst du integrieren.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 Fr 16.05.2014 | | Autor: | needmath |
hi,
> so langsam könntest du dich ja auch einmal um eine angemessene Verwendung von LaTeX-Syntax bzw. die Verwendung unseres Formeleditors kümmern
was genau ist an meiner verwednung des editors unangemessen?
[mm] \bruch{dx}{dt}=e^t*e^x
[/mm]
[mm] e^{-x}dx [/mm] = [mm] e^t [/mm] dt
[mm] \integral{e^{-x}dx} [/mm] = [mm] \integral{e^t dt} [/mm]
[mm] -e^{-x} [/mm] = [mm] e^t
[/mm]
wie bestimme ich hier das x?
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Hallo,
> hi,
>
> > so langsam könntest du dich ja auch einmal um eine
> angemessene Verwendung von LaTeX-Syntax bzw. die Verwendung
> unseres Formeleditors kümmern
> was genau ist an meiner verwednung des editors
> unangemessen?
ok, das war von mir ein wenig übers Ziel hinausgeschossen. Aber gut lesbar geht anders. 
>
> [mm]\bruch{dx}{dt}=e^t*e^x[/mm]
>
>
> [mm]e^{-x}dx[/mm] = [mm]e^t[/mm] dt
>
> [mm]\integral{e^{-x}dx}[/mm] = [mm]\integral{e^t dt}[/mm]
>
> [mm]-e^{-x}[/mm] = [mm]e^t[/mm]
>
> wie bestimme ich hier das x?
Du hast vergessen, eine Integrationskonstante einzuführen. Ohne die geht hier gar nichts mehr, das hättest du sehen sollen. Mit Konstante erhält man
[mm] e^{-x}=C-e^t
[/mm]
Und das wirst du wohl noch nach x aufgelöst bekommen?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:02 Sa 17.05.2014 | | Autor: | needmath |
ich habe gerade erfahren, dass ich auch immer die probe machen muss:
a) [mm] x'=e^t*e^x
[/mm]
[mm] x=-ln(C-e^t)
[/mm]
Probe:
[mm] x'=e^t*e^{-ln(C-e^t)}
[/mm]
[mm] x'=e^t*(-(C-e^t))
[/mm]
[mm] x'=-Ce^t*+e^{2t}
[/mm]
leite ich die rechte seite ab oder wie macht man bei diff'gleichungen die probe?
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Hallo,
> ich habe gerade erfahren, dass ich auch immer die probe
> machen muss:
>
> a) [mm]x'=e^t*e^x[/mm]
>
> [mm]x=-ln(C-e^t)[/mm]
>
Vor allem musst du dir hier über mögliche Werte für C sowie über den davon abhängigen Definitionsbereich der Funktion x(t) noch Gedanken machen.
> Probe:
>
> [mm]x'=e^t*e^{-ln(C-e^t)}[/mm]
>
> [mm]x'=e^t*(-(C-e^t))[/mm]
>
> [mm]x'=-Ce^t*+e^{2t}[/mm]
>
Das ist völlig falsch, weil du [mm] e^{-ln(x)}=-x [/mm] gesetzt hast, was eben nicht stimmt. Beachte hierzu
[mm] -ln(x)=ln\left(\bruch{1}{x}\right)
[/mm]
Ds soll ja jetzt der Versuch werden, die erhaltene Lösung in die DGL einzusetzen. Das ist schon ok, wenn du damit fertig bist musst du die erhaltene Lösung auch noch ableiten. Dann kannst du vergleichen, weil deine DGL ja nach x' aufgelöst ist.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 Fr 16.05.2014 | | Autor: | needmath |
tx +(t+1)x' = 0
[mm] -\bruch{t}{t+1}dt [/mm] = [mm] \bruch{1}{x}dx
[/mm]
[mm] -\integral{\bruch{t}{t+1} dt} [/mm] = [mm] \integral{\bruch{1}{x}dx}
[/mm]
wie würde man hier am besten die linke seite integrieren? ich habe es mit patieller integration und substitution gemacht. wenn es eleganter geht, bitte bescheid sagen.
[mm] -\integral{\bruch{t}{t+1} dt} [/mm] = [ln(t+1)*t] + [mm] \integral{ln(t+1)dt} [/mm]
u = ln(t+1) ; [mm] \bruch{du}{dt} [/mm] = [mm] \bruch{1}{t+1}
[/mm]
dt = du(t+1)
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[ln(t+1)*t] + [mm] \integral{u(t+1) du} [/mm] = [ln(t+1)*t] + [mm] \integral{ue^u du} [/mm] = [ln(t+1)*t] + [mm] [ue^u] [/mm] - [mm] e^u
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[ln(t+1)*t] + [mm] [ue^u] [/mm] - [mm] e^u [/mm] = ln(x)
ist das bis hierhin richtig?
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Hallo,
> tx +(t+1)x' = 0
>
> [mm]-\bruch{t}{t+1}dt[/mm] = [mm]\bruch{1}{x}dx[/mm]
>
> [mm]-\integral{\bruch{t}{t+1} dt}[/mm] = [mm]\integral{\bruch{1}{x}dx}[/mm]
Bis dahin ist das richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> wie würde man hier am besten die linke seite integrieren?
Tipp: t=t+1-1 ...
> ich habe es mit patieller integration und substitution
> gemacht. wenn es eleganter geht, bitte bescheid sagen.
Was jetzt folgt ist wieder völlig falsch und kaum nachvollziehbar. Mein Tipp oben ist ernst gemeint: wende ihn geschickt auf den Zähler an und du erhältst zwei elementare Integrale.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 Fr 16.05.2014 | | Autor: | needmath |
hi,
[mm] -\integral{\bruch{t}{t+1} dt} [/mm] = [mm] \integral{\bruch{1}{x}dx}
[/mm]
[mm] -\integral{\bruch{t+1-1}{t+1} dt} [/mm] = [mm] \integral{\bruch{1}{x}dx}
[/mm]
[mm] \integral{-1+\bruch{1}{t+1} dt} [/mm] = [mm] \integral{\bruch{1}{x}dx}
[/mm]
[mm] -t+ln(t+1)+C_1=ln(x)+C_2
[/mm]
[mm] x=e^{ln(t+1)-t+C_3} [/mm] für [mm] C_3= C_1-C_2
[/mm]
ich würde gerne wissen was an der voherigen Antwort falsch war. ich versuch es gut nachvollziehbar hinzuschreiben
[mm] -\integral{\bruch{t}{t+1} dt} [/mm] = [mm] \integral{\bruch{1}{x}dx}
[/mm]
[mm] -\integral{t*\bruch{1}{t+1} dt} [/mm] = [mm] \integral{\bruch{1}{x}dx}
[/mm]
partielle Integration für das linke integral:
[mm] -\integral{t*\bruch{1}{t+1} dt}= -(u*v-\integral{u*v'dt})
[/mm]
[mm] u'(t)=\bruch{1}{t+1} \Rightarrow [/mm] u(t)=ln(t+1)
v(t)=t [mm] \Rightarrow [/mm] v'(t)=1
[mm] \integral{t*\bruch{1}{t+1} dt} [/mm] = [mm] -ln(x+1)t+\integral{ln(t+1) dt}
[/mm]
das Integral [mm] \integral{ln(t+1)dt} [/mm] habe ich mit substitution und partieller integration integriert:
u=ln(t+1) ; [mm] \bruch{du}{dt}=\bruch{1}{t+1}
[/mm]
dt=du(t+1)
[mm] \Rightarrow \integral{ln(t+1) dt} [/mm] = [mm] \integral{ue^u du}=[ue^u] [/mm] - [mm] e^u
[/mm]
daraus folgt: [mm] -ln(x+1)t+[ue^u]-e^u [/mm] = [mm] -ln(x+1)t+ln(t+1)e^{ln(t+1)}-e^{ln(t+1)} [/mm] = ln(x)
ist das nicht auch richtig integriert? ich hoffe jemand boxt sich da durch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 Fr 16.05.2014 | | Autor: | needmath |
hi,
dann muss ich wohl die logarithmengesetze falsch angewendet haben:
[mm] -ln(x+1)t+ln(t+1)e^{ln(t+1)}-e^{ln(t+1)}=ln(x)
[/mm]
-ln(x+1)t+ln(t+1)*(t+1)-(t+1)=ln(x)
[mm] ln((t+1)^{(t+1)}-ln((x+1)^t)-(t+1)=ln(x)
[/mm]
[mm] ln(\bruch{t+1}{t+1})-(t+1)=ln(x)
[/mm]
-(t+1)=ln(x)
edit: ich komme nicht auf die selbe lösung, weil ich wieder die integrationskonstante vergessen habe. die frage hat sich erledigt
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Hallo nochmal,
> hi,
>
> dann muss ich wohl die logarithmengesetze falsch angewendet
> haben:
>
> [mm]-ln(x+1)t+ln(t+1)e^{ln(t+1)}-e^{ln(t+1)}=ln(x)[/mm]
Was soll nun wieder linkerhand [mm] $-\ln(\red [/mm] x+1)$?
Das war oben schon falsch aufgeschrieben ...
>
> -ln(x+1)t+ln(t+1)*(t+1)-(t+1)=ln(x)
>
> [mm]ln((t+1)^{(t+1)}-ln((x+1)^t)-(t+1)=ln(x)[/mm]
Ich hätte [mm] $\ln(t+1)$ [/mm] ausgeklammert ...
>
> [mm]ln(\bruch{t+1}{t+1})-(t+1)=ln(x)[/mm]
>
> -(t+1)=ln(x)
>
> edit: ich komme nicht auf die selbe lösung, weil ich
> wieder die integrationskonstante vergessen habe. die frage
> hat sich erledigt
ok, die Konstanten kannst du nämlich so verwursten, dass die Lösungen übereinstimmen.
Aber ganz ehrlich würde ich lieber die 1.Version der Integration nehmen ...
Das spart viel Zeit und vermindert das Fehlerpotential enorm - gerade in einer Klausur o.a.
Schönen Abend!
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 Fr 16.05.2014 | | Autor: | needmath |
c)
txx' = [mm] \wurzel{x^2+1}
[/mm]
[mm] \bruch{x}{\wurzel{x^2+1}}dx=\bruch{1}{t}dt
[/mm]
[mm] \integral{\bruch{x}{\wurzel{x^2+1}} dx}=\integral{\bruch{1}{t}dt}
[/mm]
[mm] \integral{\bruch{x*\wurzel{x^2-1}}{x^2-1} dx}=\integral{\bruch{1}{t}dt}
[/mm]
beim linken integral mache ich die Partialbruchzerlegung, aber beide Nullstellen des Nenners sind hebbar?
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Hallo,
> c)
>
> txx' = [mm]\wurzel{x^2+1}[/mm]
>
> [mm]\bruch{x}{\wurzel{x^2+1}}dx=\bruch{1}{t}dt[/mm]
>
> [mm]\integral{\bruch{x}{\wurzel{x^2+1}} dx}=\integral{\bruch{1}{t}dt}[/mm]
>
>
> [mm]\integral{\bruch{x*\wurzel{x^2-1}}{x^2-1} dx}=\integral{\bruch{1}{t}dt}[/mm]
Oh weh, ob das nicht eine Verschlimmbesserung ist?
>
> beim linken integral mache ich die Partialbruchzerlegung,
Das Integral [mm]\int{\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \ dx}[/mm] schreit doch geradezu nach einer Substitution
[mm]u=u(x)=x^2+1[/mm] ...
Damit geht das schnell, sicher und unkompliziert ...
> aber beide Nullstellen des Nenners sind hebbar?
Was meinst du damit?
Gruß
schachuzipus
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:48 Fr 16.05.2014 | | Autor: | needmath |
hi,
> > aber beide Nullstellen des Nenners sind hebbar?
> Was meinst du damit?
bei der partialbruchzerlegung muss man ja die polstellen bestimmen, aber bei dem bruch (das ich verschlimmbessert habe) sind die nullstellen des nenners hebbar (hebbare lücke)
[mm] \int{\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \ dx}
[/mm]
[mm] u(x)=x^2+1
[/mm]
[mm] \bruch{du}{dx}= [/mm] 2x [mm] \gdw dx=\bruch{du}{2x}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm]
[mm] \bruch{1}{2}\integral{\bruch{1}{\wurzel{u}}du} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}(x^2+1)^{\bruch{3}{2}}+C_1
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm]
[mm] \bruch{1}{3}(x^2+1)^{\bruch{3}{2}}+C_1 [/mm] = ln(t) [mm] +C_2
[/mm]
[mm] \wurzel{(x^2+1)^3 }= 3ln(t)+C_3
[/mm]
x = [mm] +-\wurzel[3]{(3ln(t)+C_3)^2}-1
[/mm]
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Hallo,
> bei der partialbruchzerlegung muss man ja die polstellen
> bestimmen, aber bei dem bruch (das ich verschlimmbessert
> habe) sind die nullstellen des nenners hebbar (hebbare
> lücke)
Beachte, dass dein Nenner eine Quadratwurzel ist, da gibt es nichts zu zerlegen! Sprich: die Partialbruchzerlegung ist hier völlig fehl am Platze.
>
>
> [mm]\int{\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \ dx}[/mm]
>
> [mm]u(x)=x^2+1[/mm]
>
> [mm]\bruch{du}{dx}=[/mm] 2x [mm]\gdw dx=\bruch{du}{2x}[/mm]
Soweit ist das richtig.
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{2}\integral{\bruch{1}{\wurzel{u}}du}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{3}(x^2+1)^{\bruch{3}{2}}+C_1[/mm]
>
Nein, da hast du jetzt zwei Schritte gemacht anstatt einem. Überlege mal: es ist
[mm] \bruch{1}{\wurzel{u}}=u^{-1/2}
[/mm]
Wie muss demnach der neue Exponent nach der Integration lauten?
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{3}(x^2+1)^{\bruch{3}{2}}+C_1[/mm] = ln(t) [mm]+C_2[/mm]
>
> [mm]\wurzel{(x^2+1)^3 }= 3ln(t)+C_3[/mm]
>
> x = [mm]+-\wurzel[3]{(3ln(t)+C_3)^2}-1[/mm]
Wie gesagt: das ist dann auf der linken Seite leider alles falsch.
Eine weitere Ungeschicklichkeit machst du, indem du auf ebeiden Seiten Integrationskonstanten setzt. Das ist zwar prinzipiell nicht falsch, aber die setzt man per [mm] C=C_2-C_1 [/mm] auf der rechten Seite zusammen und schreibt sie demnach von vornherein nur auf der rechten Seite hin.
Letzter Punkt: es ist
[mm] \int{\bruch{dx}{x}}=ln|x|+C
[/mm]
Das wird immer wieder gerne übersehen. Du hast sonst eine Stammfunktion, die i.d.R. nicht über dem ganzen Definitionsbereich des Integranden gilt!
Gruß, Diophant
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