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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Diffbar in (0,0)
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Diffbar in (0,0): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:53 Mo 24.05.2010
Autor: rml_

Aufgabe
Untersuchen Sie, ob die folgenden Funktion f , g : R2 →R im Nullpunkt (0,0) differenzierbar
ist und bestimmen Sie gegebenenfalls die Ableitung im Nullpunkt

f(x,y) = [mm] (x^2 [/mm] + [mm] y^2) [/mm] sin [mm] \left( \bruch{1}{\sqrt {x^2 + y^2}} \right), [/mm] (x,y) [mm] \ne [/mm] (0,0) und f(0,0) = 0

hallo:)

was sind die kriterien hierfür?


danke im vorraus

        
Bezug
Diffbar in (0,0): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:22 Mo 24.05.2010
Autor: Marcel08

Hallo!



> Untersuchen Sie, ob die folgenden Funktion f , g : R2 →R
> im Nullpunkt (0,0) differenzierbar
>  ist und bestimmen Sie gegebenenfalls die Ableitung im
> Nullpunkt
>  
> f(x,y) = [mm](x^2[/mm] + [mm]y^2)[/mm] sin [mm]\left( \bruch{1}{\sqrt {x^2 + y^2}} \right),[/mm]
> (x,y) [mm]\ne[/mm] (0,0) und f(0,0) = 0
>  hallo:)
>  
> was sind die kriterien hierfür?




Um diese Funktion auf Differenzierbarkeit zu untersuchen, würde ich die folgenden Kriterien anwenden:



1.) Wie sieht es aus mit der Stetigkeit von f in (0,0)?


Trifft dies nicht zu, ist f nicht differenzierbar. Wenn dies zutrifft, fahre mit 2.) fort.



2.) Was kann man über die partielle Differenzierbarkeit von f in (0,0) sagen?


Wenn dieses Kriterium versagt, ist f nicht differenzierbar. Sollte f in (0,0) partiell differenzierbar sein, so untersuche das dritte Kriterium.



3.) Existieren die partiellen Ableitungen von f in einer Umgebung von (0,0) und sind diese in (0,0) stetig?


Wenn hier beide Kriterien zutreffen, ist f differenzierbar. Sollte dies nicht der Fall sein, so untersuche zuletzt noch den vierten Punkt.



4.) Gilt [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow\ (0,0)}\bruch{f(x,y)-f(0,0)-f_{x}(0,0)(x-0)-f_{y}(0,0)(y-0)}{|(x-0,y-0)|}=0? [/mm]


Greift dieses Kriterium, so ist f differenzierbar, andernfalls nicht.



Übrigens ist f vollständig differenzierbar, wenn die partiellen Ableitungen stetig sind.



Und noch ein Hinweis: Mit Polarkoordinaten rechnet es sich leichter.



>
> danke im vorraus





Gruß, Marcel


Bezug
                
Bezug
Diffbar in (0,0): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:26 Mo 24.05.2010
Autor: rml_

wow danke für die ausführliche erklärung:)

Bezug
                
Bezug
Diffbar in (0,0): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:21 Di 25.05.2010
Autor: rml_

wenn ich f(x,0) mache dann: sin [mm] \left( \bruch{1}{x} \right) [/mm]

und wie war das nochmal wenn beim sinus oben die ableitung vom nenner steht?

Bezug
                        
Bezug
Diffbar in (0,0): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:35 Di 25.05.2010
Autor: fred97


> wenn ich f(x,0) mache dann: sin [mm]\left( \bruch{1}{x} \right)[/mm]


Nein. Für x [mm] \ne [/mm] 0 ist $f(x,0)= [mm] x^2*sin(\bruch{1}{|x|})$ [/mm]


>  
> und wie war das nochmal wenn beim sinus oben die ableitung
> vom nenner steht?

Kannst Du die FRage verständlich formulieren ?

FRED

Bezug
                                
Bezug
Diffbar in (0,0): Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:04 Di 25.05.2010
Autor: rml_

jaja klar
ich hab das [mm] x^2 [/mm] weggelassen weil der kern meiner frage beim sinus liegt
und zwar , ich bin mir nicht ganz sicher, aber man konnte das doch i.wie umschreiben wenn im zähler die ableitung vom nenner stand oder nicht?

Bezug
                                        
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Diffbar in (0,0): Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 Do 27.05.2010
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                                
Bezug
Diffbar in (0,0): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:45 Di 25.05.2010
Autor: rml_

andere frage:

f(x,0)= [mm] x^2\cdot{}sin(\bruch{1}{|x|}) [/mm] , kann ich sagen für x->0 geht sin gegen null-> f(x,0)=0?

Bezug
                                        
Bezug
Diffbar in (0,0): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:06 Di 25.05.2010
Autor: fred97


> andere frage:
>  
> f(x,0)= [mm]x^2\cdot{}sin(\bruch{1}{|x|})[/mm] , kann ich sagen für
> x->0 geht sin gegen null-> f(x,0)=0?

Unfug !

   [mm] $|f(x,0)|=x^2\cdot{}|sin(\bruch{1}{|x|})| \le x^2$ [/mm]

somit:  f(x,0) [mm] \to [/mm] 0 für x [mm] \to [/mm] 0

FRED

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