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Ich frage mich, ob nach der folgenden Definition jede differenzierbare Mannigfaltigkeit eine eindimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit ist.
M [mm] \subset \IR^q [/mm] ist eine k-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit, wenn man zu jedem Element von M eine offene Umgebung [mm] U\in \IR^q, [/mm] ein Gebiet [mm] G\subset \IR^k [/mm] und eine bijektive, stetig differenzierbare Abbildung f: G [mm] \mapsto [/mm] M [mm] \cap [/mm] U angeben kann, deren Ableitungsmatrix Rang k hat.
Ich sehe dies so, weil ich denke, dass man jeweils eine eindimensionale Umgebung wählen könnte. Dann wäre U [mm] \cap [/mm] M eine höchstens eindimensionale lokale Mannigfaltigkeit.
Verstehe ich etwas falsch? Ist die Definition "schlampig"? Oder stimmt es wirklich?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:03 Sa 17.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich frage mich, ob nach der folgenden Definition jede
> differenzierbare Mannigfaltigkeit eine eindimensionale
> differenzierbare Mannigfaltigkeit ist.
>
> M [mm]\subset \IR^q[/mm] ist eine k-dimensionale differenzierbare
> Mannigfaltigkeit, wenn man zu jedem Element von M eine
> offene Umgebung [mm]U\in \IR^q,[/mm] ein Gebiet [mm]G\subset \IR^k[/mm] und
> eine bijektive, stetig differenzierbare Abbildung f: G
> [mm]\mapsto[/mm] M [mm]\cap[/mm] U angeben kann, deren Ableitungsmatrix Rang
> k hat.
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> Ich sehe dies so, weil ich denke, dass man jeweils eine
> eindimensionale Umgebung wählen könnte. Dann wäre U [mm]\cap[/mm] M
> eine höchstens eindimensionale lokale Mannigfaltigkeit.
Eine eindimensionale Teilmenge des [mm] $\IR^q$ [/mm] ist keine Umgebung, denn eine Umgebung enthält als Teilmenge immer eine [mm] $\varepsilon$-Umgebung, [/mm] und die ist eine offene Kugel.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:02 Sa 17.01.2009 | | Autor: | mathpsycho |
Vielen Dank! Du hast Recht. Ich hatte vergessen, dass jede Umgebung eine offene Kugel enthalten muss.
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