Diffbarkeit und Extrema < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:29 Sa 05.06.2010 | | Autor: | stffn |
| Aufgabe | Sei
h: [mm] \IR\to\IR; x\mapsto \begin{cases} 2x^5-10x, & \mbox{für } x\le1 \\ \bruch{1}{3}x^3-\bruch{3}{2}x^2+1x-\bruch{53}{6}, & \mbox{für } x>1 \end{cases} [/mm]
Bestimmen Sie alle lokalen und globalen Extrema von h. |
Schönen guten Tag,
erstmal habe ich eine Frage zur allgemeinen Herangehensweise:
Muss ich die Funktion zuerst auf stetigkeit und diffbarkeit überprüfen, oder kann ich einfach damit anfangen, für beide Abschnitte (also [mm] x\le1 [/mm] und x>1) die Extremstellen zu untersuchen?
Ich habe es zuerst mal damit probiert, die Funktion auf diffbarkeit zu untersuchen, und bin auf das Ergebnis gekommen, dass h(x) an der Stelle [mm] x_{0}=1 [/mm] nicht diffbar ist. Jetzt bin ich leicht verwirrt, ich bitte um Hilfe:/
Stetig ist es übrigens.
Ich wünsche noch ein schönes Wochenende..!
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Sofern deine Ergebnisse richtig sind, was ich jetzt nicht nachgeprüft habe, aber mann muss ja nur mal beide Funktionen um 1 herum plotten, so hat das keinen Einfluss auf die Untersuchung von Extrema, sofern sie nicht GENAU bei [mm] x_E [/mm] gleich 1 liegen, oder? ;) Wenn die linke kurve ein Extrema bei sagen wir -5 hat, so ist das doch völlig unabhängig davon, was rechts, bildlich gesprochen, davon kommt. Der Extrempunkt liegt nach wie vor bei -5 und wird dort immer liegen, egal, ob die Funktion bei x=1 durch eine andere ersetzt wird.
EDIT: Hier mal ein Bild, damit du nicht mehr verwirrt bist. WIe man sieht, wird bei x=1 kein Extremwert zu erwarten sein, also rechne wie gewohnt die Extrema aus.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Sa 05.06.2010 | | Autor: | stffn |
Ok, gut. Der Zeichnung nach habe ich mich mit der stetigkeit ja sowieso vertan. Naja.
Also Extrema habe ich folgendes:
Für [mm] x\le1 [/mm] : [mm] x_{1}=-1 [/mm] (HP) und [mm] x_{2}=1 [/mm] (TP). [mm] x_{2} [/mm] ist ja jetzt an der Nahtstelle, da h(x) nicht stetig ist, ist es ja logisch dass ich dann dafür ein Extremum rausbekomme, wird es jetzt aber als solches auch "gewertet"? Natürlich habe ich auch für x>1 bei x=1 ein Extremum (HP) raus.
[mm] x_{2} [/mm] ist ein TP bei x=2. Stimmt allerdings auch nicht so ganz mit der Zeichnung überein, habe ich aber ein paar mal nachgerechnet (ist ja auch eigentlich nicht so eine komplizierte Rechnung).
Noch eine Frage:
Was genau ist denn der Unterschied zwischen lok. und glob. Extremum?
Muss ich für das glob. Extr. gucken, ob h(x) einen Grenzwert hat? Und falls ja, ist dieser das glob. Extr. ?
Irgendwie so habe ich das in Erinnerung.
Vielen Dank und schöne Grüße!
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> Also Extrema habe ich folgendes:
> Für [mm]x\le1[/mm] : [mm]x_{1}=-1[/mm] (HP) und [mm]x_{2}=1[/mm] (TP). [mm]x_{2}[/mm] ist ja
Ok, das ist beides falsch.
Schreib doch mal sauber auf:
Wie sieht f'(x) aus? Wo ist f'(x) definiert? Wieso kann dann mindestens eine deiner Nullstellen gar keine sein? Die andere stimmt auch nicht.
> jetzt an der Nahtstelle, da h(x) nicht stetig ist, ist es
> ja logisch dass ich dann dafür ein Extremum rausbekomme,
Ne, das ist gar nicht logisch.....
> wird es jetzt aber als solches auch "gewertet"? Natürlich
> habe ich auch für x>1 bei x=1 ein Extremum (HP) raus.
> [mm]x_{2}[/mm] ist ein TP bei x=2. Stimmt allerdings auch nicht so
> ganz mit der Zeichnung überein, habe ich aber ein paar mal
> nachgerechnet (ist ja auch eigentlich nicht so eine
> komplizierte Rechnung).
Bei so einer Unstetigkeitsstelle kannst du mit dem Kriterium über die erste // zweite Ableitung gar nichts aussagen, da die Voraussetzungen nicht erfüllt sind, d.h. du musst dir für die Nahtstelle eine andere Methode überlegen.
Bspw Untersuche mal direkt [mm] f(x_0 [/mm] - [mm] \varepsilon) [/mm] und [mm] f(x_0 [/mm] + [mm] \varepsilon) [/mm] in bezug auf [mm] f(x_0) [/mm] für beliebige [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$. Meistens kommt man damit auf eine Lösung.
> Noch eine Frage:
> Was genau ist denn der Unterschied zwischen lok. und glob.
> Extremum?
Ein lokales Extremum muss halt nur lokal, d.h. in einer kleinen Umgebung um sich selbst, extrem sein.
Ein globales Extremum muss für den gesamten Definitionsbereich extrem sein.
> Muss ich für das glob. Extr. gucken, ob h(x) einen
> Grenzwert hat? Und falls ja, ist dieser das glob. Extr. ?
> Irgendwie so habe ich das in Erinnerung.
> Vielen Dank und schöne Grüße!
Nein, h(x) muss gar keinen Grenzwert für [mm] $x\to\pm\infty$ [/mm] haben, aber du kannst schauen, wie sich h(x) im Unendlichen verhält.
Wenn bspw. [mm] $\lim_{x\to\infty}h(x) [/mm] = [mm] +\infty$ [/mm] gilt, weisst du schonmal, dass h kein globales Maximum haben kann (warum?).
Ist umgekehrt h stetig und es gilt [mm] $\lim_{x\to\pm\infty}h(x) [/mm] = [mm] -\infty$, [/mm] so hat h(x) auf jeden Fall ein globales Maximum (warum?).
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 Sa 05.06.2010 | | Autor: | stffn |
[mm] h(x\le1)=2x^5-10x
[/mm]
[mm] h'(x\le1)=10x^4-10
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_{1}=-1 [/mm] , [mm] (x_{2}=1).
[/mm]
[mm] h(x>1)=\bruch{1}{3}x^3-\bruch{3}{2}x^2+2x-\bruch{53}{6}
[/mm]
[mm] h'(x>1)=x^2-3x+2
[/mm]
[mm] 0=x^2-3x+2
[/mm]
[mm] x_{1,2}=\bruch{3}{2}\pm\wurzel{\bruch{9}{4}-\bruch{8}{4}}=\bruch{3}{2}\pm\wurzel{\bruch{1}{4}}=\bruch{3}{2}\pm\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow (x_{1}=1) [/mm] , [mm] x_{2}=2.
[/mm]
> Bspw Untersuche mal direkt
> $ [mm] f(x_0 [/mm] $ - $ [mm] \varepsilon) [/mm] $ und $ [mm] f(x_0 [/mm] $ + $ [mm] \varepsilon) [/mm] $ in bezug auf
> $ [mm] f(x_0) [/mm] $ für beliebige $ [mm] \varepsilon [/mm] > 0 $. Meistens kommt man damit
> auf eine Lösung.
Wie ist das gemeint?
[mm] h(x_{0}-3)=h(-2)=-12
[/mm]
[mm] h(x_{0}+2)=h(3)=-9
[/mm]
?
> Nein, h(x) muss gar keinen Grenzwert für $ [mm] x\to\pm\infty [/mm] $ haben,
> aber du kannst schauen, wie sich h(x) im Unendlichen verhält.
> Wenn bspw. $ [mm] \lim_{x\to\infty}h(x) [/mm] = [mm] +\infty [/mm] $ gilt, weisst du schonmal,
> dass h kein globales Maximum haben kann (warum?).
Weil h nicht aufhört zu steigen.
> Ist umgekehrt h stetig und es gilt $ [mm] \lim_{x\to\pm\infty}h(x) [/mm] = [mm] -\infty [/mm] $,
> so hat h(x) auf jeden Fall ein globales Maximum (warum?).
Weil h an beiden "Enden" gegen [mm] -\infty [/mm] geht und demnach die Funktion irgendwo einen höchsten Punkt haben kann.
In meinem Fall würde h(x) für [mm] x\to\infty [/mm] auf beiden "Seiten" [mm] \to\infty [/mm] laufen.
Also müsste es kein globales Maximum, aber ein globales Minimum geben.
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> [mm]h(x\le1)=2x^5-10x[/mm]
> [mm]h'(x\le1)=10x^4-10[/mm]
1.) Schreibt man das so nicht, saubere Notation ist die halbe Miete.
Als kleine Anmerkung: [mm] $h(x\le1) [/mm] = [mm] (-\infty,10]$, [/mm] aber das brauchst du hier nicht.
Desweiteren ist das von dir mit [mm] $h'(x\le [/mm] 1)$ gemeinte auch falsch, da die erste Ableitung an 1 gar nicht definiert ist!
Sauber aufgeschrieben würde die erste Ableitung dann so aussehen:
[mm] $h'(x)=\begin{cases} 10x^4 - 10 & x<1 \\ x^2 - 3x + 2 & x > 1 \end{cases}
[/mm]
Es ist wichtig, dass der Fall $x=1$ nicht auftreten kann, da h' dort nicht definiert ist! Demzufolge kann h' dort auch keine Nullstelle haben.
D.h. als Nullstellen der ersten Ableitung bleiben nur
[mm] $x_1 [/mm] = -1$ und [mm] $x_2 [/mm] = 2$
> > Bspw Untersuche mal direkt
> > [mm]f(x_0[/mm] - [mm]\varepsilon)[/mm] und [mm]f(x_0[/mm] + [mm]\varepsilon)[/mm] in bezug auf
> > [mm]f(x_0)[/mm] für beliebige [mm]\varepsilon > 0 [/mm]. Meistens kommt
> man damit
> > auf eine Lösung.
>
> Wie ist das gemeint?
>
> [mm]h(x_{0}-3)=h(-2)=-12[/mm]
> [mm]h(x_{0}+2)=h(3)=-9[/mm]
> ?
Jein. Was muss denn, in Worten bitte, gelten (ohne den Begriff Ableitung etc zu verwenden), damit [mm] x_0 [/mm] ein lokales Minimum ist?
Diese Eigenschaft musst du dann eben "von Hand" prüfen, d.h du nimmst dir Werte "ein bisschen links" von [mm] x_0 [/mm] und "ein bisschen rechts" von [mm] x_0 [/mm] und schaust dir die Relationen der Funktionswerte in Bezug auf [mm] f(x_0) [/mm] an.
D.h. du prüfst ob [mm] $f(x_0 [/mm] - [mm] \varepsilon) \le f(x_0)$ [/mm] für ausreichend kleine [mm] \varepsilon [/mm] bzw [mm] $f(x_0 [/mm] - [mm] \varepsilon) \ge f(x_0)$ [/mm] für ausreichend kleine [mm] \varepsilon [/mm] gilt.
> > Wenn bspw. [mm]\lim_{x\to\infty}h(x) = +\infty[/mm] gilt, weisst du
> schonmal,
> > dass h kein globales Maximum haben kann (warum?).
> Weil h nicht aufhört zu steigen.
Jo.
>
> > Ist umgekehrt h stetig und es gilt
> [mm]\lim_{x\to\pm\infty}h(x) = -\infty [/mm],
> > so hat h(x) auf
> jeden Fall ein globales Maximum (warum?).
>
> Weil h an beiden "Enden" gegen [mm]-\infty[/mm] geht und demnach die
> Funktion irgendwo einen höchsten Punkt haben kann.
Warum kann sie das. Aus welcher Eigenschaft der Funktion kannst du das Ableiten?
> In meinem Fall würde h(x) für [mm]x\to\infty[/mm] auf beiden
> "Seiten" [mm]\to\infty[/mm] laufen.
> Also müsste es kein globales Maximum, aber ein globales
> Minimum geben.
Deine Funktion erfüllt eine Voraussetzung nicht die ich im obigen Satz verwendet hab (welche?). Was musst du dann noch zusätzlich Untersuchen?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 So 06.06.2010 | | Autor: | stffn |
> Jein. Was muss denn, in Worten bitte, gelten (ohne den
> Begriff Ableitung etc zu verwenden), damit [mm]x_0[/mm] ein lokales
> Minimum ist?
Es müssen alle Funktionswerte in unmittelbarer Umgebung vom Minimum größer als der von diesem sein.
> Diese Eigenschaft musst du dann eben "von Hand" prüfen,
> d.h du nimmst dir Werte "ein bisschen links" von [mm]x_0[/mm] und
> "ein bisschen rechts" von [mm]x_0[/mm] und schaust dir die
> Relationen der Funktionswerte in Bezug auf [mm]f(x_0)[/mm] an.
>
> D.h. du prüfst ob [mm]f(x_0 - \varepsilon) \le f(x_0)[/mm] für
> ausreichend kleine [mm]\varepsilon[/mm] bzw [mm]f(x_0 - \varepsilon) \ge f(x_0)[/mm]
> für ausreichend kleine [mm]\varepsilon[/mm] gilt.
Was wäre denn "ausreichend klein"?
Wie ist das hier:
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[mm] h(x_{0})=h(1)=-8=\bruch{-128}{16}=\bruch{-400000}{50000}=\bruch{-48}{6}=\bruch{-12000}{1500}
[/mm]
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[mm] h(x_{0}-1)=h(0)=0>-8
[/mm]
[mm] h(x_{0}-\bruch{1}{2})=h(\bruch{1}{2})=\bruch{-79}{16}>\bruch{-128}{16}
[/mm]
[mm] h(x_{0}-\bruch{1}{10})=h(\bruch{9}{10})=\bruch{-390951}{50000}>\bruch{-400000}{50000}
[/mm]
-
Bis hierhin alles gut, jetzt gehts schief:
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[mm] h(x_{0}+1)=h(2)=\bruch{-49}{6}<\bruch{-48}{6}
[/mm]
[mm] h(x_{0}+\bruch{1}{10})=h(\bruch{11}{10})=\bruch{-12007}{1500}<\bruch{-12000}{1500}
[/mm]
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Würde das so reichen, um zu sagen, dass bei 1 kein Extrempunkt liegt?
> > Weil h an beiden "Enden" gegen [mm]-\infty[/mm] geht und demnach die
> > Funktion irgendwo einen höchsten Punkt haben kann.
>
> Warum kann sie das. Aus welcher Eigenschaft der Funktion
> kannst du das Ableiten?
Ich glaube ich habe mich vertan: für [mm] x\to\infty [/mm] geht [mm] h(x)\to\infty [/mm] und für [mm] x\to-\infty [/mm] geht [mm] h(x)\to-\infty.
[/mm]
Also gibt es doch keine globalen Extrema, oder?
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Hiho,
> Würde das so reichen, um zu sagen, dass bei 1 kein
> Extrempunkt liegt?
ich nehm mal deine Punkte auf:
$1, [mm] \bruch{1}{2}, \bruch{1}{10}$
[/mm]
Alle rational, kann ich daraus jetzt schlußfolgern, dass alle relle Zahlen rational sind?
Zeige: Für ausreichend kleine [mm] \varepsilon [/mm] gilt: $f(1 + [mm] \varepsilon) \le [/mm] f(1) [mm] \le [/mm] f(1 - [mm] \varepsilon)$
[/mm]
Was folgt daraus für [mm] x_0 [/mm] = 1 ?
> Ich glaube ich habe mich vertan: für [mm]x\to\infty[/mm] geht
> [mm]h(x)\to\infty[/mm] und für [mm]x\to-\infty[/mm] geht [mm]h(x)\to-\infty.[/mm]
> Also gibt es doch keine globalen Extrema, oder?
Stimmt.
MFG,
Gono.
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