Diffbarkeit von f in einem Pkt < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:41 Di 01.05.2012 | | Autor: | Frosch20 |
| Aufgabe | Sei I ein offenes Intervall mit z [mm] \in [/mm] I und f eine auf I stetige Funktion. Ferner sei f in I \ { z }
differenzierbar und [mm] a:=\limes_{x\rightarrow z} [/mm] f´(x) existiere.
Zu zeigen, dann ist f auch in z differenzierbar mit Ableitung f´(z) = a. |
Okay, ich habe mir erstmal nochmal aufgeschrieben was ich über f weiss, und was ich damit anfangen kann.
Ich habe also ein Offenes Intervall, indem f stetig ist. Das muss ja auch so sein, da f sonst dort nicht differenzierbar sein könnte.
Das f in z diffbar ist bedeutet doch, dass der
[mm] \limes_{x\rightarrow z} \bruch{f(x)-f(z)}{x-z}= [/mm] f´(z) existiert.
Also muss ich irgendwie zeigen, dass dieser Grenzwert existiert.
Ich habe mir erst überlegt ob mir da vielleicht irgendwie ein Satz aus der Vorlesung helfen kann, doch den MWS kann ich in diesem Fall ja schonmal nicht anwenden.
Ich muss mir also was anderes überlegen.
Da der [mm] \limes_{x\rightarrow z} [/mm] f´(x) existiert, werde ich wohl irgendwie von diesem limes auf f´(z) rückschlüsse ziehen müssen.
Wäre f eine stetig diffbare funktion, wäre die Sache sogar relativ trivial, da dann [mm] \limes_{x\rightarrow z} [/mm] f´(x)=f´(z) wäre.
Deswegen hatte ich mir schon überlegt ob ich nicht irgendwie zeigen könnte, dass f´ auch stetig ist.
Aber irgenwie hat mich das alles noch nicht so richtig weiter gebracht.
Wenn mir jemand einen kleinen Tip geben könnte, wäre das super :)
Vielen dank schonmal,
mfg. Forsch20
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:38 Di 01.05.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Frosch,
> Ich habe also ein Offenes Intervall, indem f stetig ist.
> Das muss ja auch so sein, da f sonst dort nicht
> differenzierbar sein könnte.
>
> Das f in z diffbar ist bedeutet doch, dass der
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow z} \bruch{f(x)-f(z)}{x-z}=[/mm] f´(z)
> existiert.
>
> Also muss ich irgendwie zeigen, dass dieser Grenzwert
> existiert.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau.
> Ich habe mir erst überlegt ob mir da vielleicht irgendwie
> ein Satz aus der Vorlesung helfen kann, doch den MWS kann
> ich in diesem Fall ja schonmal nicht anwenden.
Doch! Genau der ist hier das Mittel der Wahl.
Betrachte z.B. für [mm] $x\in [/mm] I$ mit x<z die Einschränkung von f auf das Intervall $[x,z]$ und wende den Mittelwertsatz an.
(Das gleiche funktioniert mit x>z und dem Intervall $[z,x]$.)
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:08 Di 01.05.2012 | | Autor: | Frosch20 |
Ah vielen dank, nun habe ichs geschafft 
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 Di 01.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei I ein offenes Intervall mit z [mm]\in[/mm] I und f eine auf I
> stetige Funktion. Ferner sei f in I \ { z }
> differenzierbar und [mm]a:=\limes_{x\rightarrow z}[/mm] f´(x)
> existiere.
>
> Zu zeigen, dann ist f auch in z differenzierbar mit
> Ableitung f´(z) = a.
neben der eben erwähnten Mögichkeit, den MWS anzuwenden, kann man auch ein Resultat verwenden, welches sich durch Anwendung des (erweiterten) MWS ergibt:
Die Regeln von de l'Hospital.
Denn:
Wegen der Stetigkeit von [mm] $f\,$ [/mm] in [mm] $z\,$ [/mm] ist [mm] $\lim_{x \to z}(f(x)-f(z))=0\,,$ [/mm] und [mm] $\lim_{x \to z}(x-z)=0$ [/mm] ist klar. Nach de l'Hospital folgt
[mm] $$\lim_{x \to z}\frac{f(x)-f(z)}{x-z}=\lim_{x \to z}\frac{f\,'(x)}{1}=\lim_{x \to z}f\,'(x)=a\,,$$
[/mm]
woraus die Existenz bzw. der Wert des rechtsstehenden Grenzwertes mit de l'Hospital die Existenz bzw. den Wert des linksstehenden begründet bzw. angibt - und damit ist gezeigt, dass [mm] $f\,'(z)$ [/mm] existiert und [mm] $f\,'(z)=a\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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