Diffeomorphimus < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:18 Di 14.11.2006 | | Autor: | DesterX |
| Aufgabe | Sei [mm] S^2 \backslash [/mm] {0,0,1} [mm] \subseteq \IR^3 [/mm] Einheitssphäre ohne Nordpol
Suche Abb. f: [mm] S^2 \backslash [/mm] {0,0,1} -> [mm] \IR^2 [/mm] die jeden Punkt aus [mm] S^2\{0,0,1} [/mm] entlang der Gerade durch (0,0,1) und den Punkt auf die Ebene [mm] \IR^2 [/mm] x {0} projiziert!
Zeige dann, dass f Diffeomorphimus ist und gib eine Umkehrabb. an |
Hallo zusammen!
Ich habe mir f als f(x,y,z)=( [mm] \bruch{x}{z-1} [/mm] , [mm] \bruch{y}{z-1} [/mm] ) gewählt.
Ist das soweit richtig?
Ich frage mich jetzt nur, wie ich zeige, dass diese Abb. bijektiv, stetig diff'bar ist und wie jene Umkehrabb. aussehen könnte!
Würde mich sehr freuen, wenn mir jmd helfen könnte
Gruß,
Dester
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Müßte es im Nenner nicht [mm]1-z[/mm] heißen? Deine Lösung wäre zwar auch ein passender Diffeomorphismus, aber mit einer nachgeschobenen Punktspiegelung in der [mm]\mathbb{R}^2[/mm]-Ebene am Ursprung; sie entspräche also nicht ganz dem Vorschlag der Aufgabe.
Für die Umkehrfunktion [mm]g[/mm] mußt du nur den Punkt [mm](u,v)[/mm] bzw. [mm](u,v,0)[/mm] der Ebene mit dem Nordpol [mm](0,0,1)[/mm] verbinden und die Gerade mit der Kugel schneiden. Zur Kontrolle:
[mm]g: \ \ (u,v) \mapsto \ \begin{cases} \ x = \frac{2u}{u^2+v^2+1} \\ \ y = \frac{2v}{u^2+v^2+1} \\ \ z = \frac{u^2+v^2-1}{u^2+v^2+1} \end{cases}[/mm]
Bei ganz formalem Vorgehen mußt du hier noch überprüfen, daß [mm]g[/mm] tatsächlich auf die Sphäre abbildet, daß also [mm]x^2+y^2+z^2 = 1[/mm] gilt, wenn man links [mm]x,y,z[/mm] durch die Terme in [mm]u,v[/mm] ersetzt (obwohl das eigentlich durch die Konstruktion klar ist).
Für die Bijektivität von [mm]f,g[/mm] genügt es, [mm]f \circ g = \operatorname{id}[/mm] und [mm]g \circ f = \operatorname{id}[/mm] nachzuweisen (beim zweiten brauchst du [mm]x^2+y^2+z^2=1[/mm]). Die Diffeomorphie kann man den definierenden Ausdrücken ansehen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:05 Di 14.11.2006 | | Autor: | DesterX |
Herzlichen Dank für deine Hilfe -
Hab nun alles so weit verstanden...
Viele Grüße
Dester
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