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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:55 Mi 01.09.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich habe mal eine Frage zur Defintion eines lokalen Diffeomorphismus.
Und zwar hab ich hier stehen, dass eine k-mal stetig differenzierbare Funktion [mm] f:D\to\IR^n [/mm] ein lokaler [mm] C^k-Diffeomorphismus [/mm] ist, falls jeder Punkt $a [mm] \in [/mm] D$ eine Umgebung $U [mm] \subset [/mm] D$ besitzt, so dass f eingeschränkt auf U $f|U:U [mm] \to [/mm] f(U)$ ein [mm] C^k-Diffeomorphismus [/mm] ist.
Ich verstehe irgendwie nicht so ganz den Unterschied zwischen einem lokalen Diffeomorphismus und einem "normalen" Diffeomorphismus.
Bei einem "normalen" Diffeomorphismus muss ja die Umkehrfunktion einer bijektiven k-mal stetig differenzierbaren Funktion ebenfalls k-mal stetig differenzierbar sein.
So, wenn ich jetzt meinen lokalen Diffeomorphismus f nehme, dann hab ich ja quasi einen Diffeomorphismus für jeden Punkt des Defintionsbereiches (+ denen in seiner Umgebung).
Aber wenn ich jetzt in jedem Punkt einen Diffeomorphismus habe, in jedem Punkt also eine k-mal stetig differenzierbare Umkehrfunktion bilden kann, warum ist dann mein komplettes f nicht ein "normaler" Diffeomorphismus?
Und noch eine Frage:
Bei lokalem Diffeomorphismus finde ich ja für jeden Punkt des Defintionsbereiches eine solche Umgebung. Und in der Umgebung des Punktes sind ja wieder Punkte drin, auch Punkte des Defintionsbereiches, also kann ich ja für diese auch eine solche Umgebung finden. Die ganzen Umgebungen überschneiden sich quasi. Macht das nix?
Und irgendwie finde ich, dass das (also das ich meinen ganzen Defintionsbereich ja quasi mit den Umgebungen überdecke) irgendwie auch so klingt, als wäre ganz f ein Diffeomorphismus und nicht nur ein lokaler Diffeomorphismus.
Ich dachte immer, "lokal" heißt etwas, was für bestimmte Umgebungen gegeben ist, aber nicht für alle Punkte eines Defintionsbereiches. Aber hier soll es ja für alle Punkte des Defintionsbereiches gelten.
Ich hoffe, ihr versteht was ich meine 
LG Naidne
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:24 Mi 01.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Nadine!
> Ich habe mal eine Frage zur Defintion eines lokalen
> Diffeomorphismus.
>
> Und zwar hab ich hier stehen, dass eine k-mal stetig
> differenzierbare Funktion [mm]f:D\to\IR^n[/mm] ein lokaler
> [mm]C^k-Diffeomorphismus[/mm] ist, falls jeder Punkt [mm]a \in D[/mm] eine
> Umgebung [mm]U \subset D[/mm] besitzt, so dass f eingeschränkt auf
> U [mm]f|U:U \to f(U)[/mm] ein [mm]C^k-Diffeomorphismus[/mm] ist.
>
> Ich verstehe irgendwie nicht so ganz den Unterschied
> zwischen einem lokalen Diffeomorphismus und einem
> "normalen" Diffeomorphismus.
>
> Bei einem "normalen" Diffeomorphismus muss ja die
> Umkehrfunktion einer bijektiven k-mal stetig
> differenzierbaren Funktion ebenfalls k-mal stetig
> differenzierbar sein.
Der Unterschied ist, dass ein lokaler Diffeomorphismus "global gesehen" (also nicht lokal auf einer Umgebung) weder injektiv noch surjektiv sein muss, es im allgemeinen also gar keine Umkehrfunktion gibt. Wenn man sich jedoch auf eine klein genuge Umgebung um einen Punkt beschraenkt, ist die Funktion dort injektiv (und surjektiv wenn man das Bild einschraenkt).
Beispiel: die Funktion $(x, y) [mm] \mapsto (e^x \cos [/mm] y, [mm] e^x \sin [/mm] y)$ von [mm] $\IR^2$ [/mm] nach [mm] $\IR^2$ [/mm] ist lokal injektiv, aber nicht global. Und surjektiv ist sie auch nicht, der Punkt $(0, 0)$ wird niemals angenommen. (Das ist uebirgens die komplexe Exponentialfunktion.)
> So, wenn ich jetzt meinen lokalen Diffeomorphismus f nehme,
> dann hab ich ja quasi einen Diffeomorphismus für jeden
> Punkt des Defintionsbereiches (+ denen in seiner Umgebung).
>
> Aber wenn ich jetzt in jedem Punkt einen Diffeomorphismus
> habe, in jedem Punkt also eine k-mal stetig
> differenzierbare Umkehrfunktion bilden kann, warum ist dann
> mein komplettes f nicht ein "normaler" Diffeomorphismus?
Siehe oben.
> Und noch eine Frage:
>
> Bei lokalem Diffeomorphismus finde ich ja für jeden Punkt
> des Defintionsbereiches eine solche Umgebung. Und in der
> Umgebung des Punktes sind ja wieder Punkte drin, auch
> Punkte des Defintionsbereiches, also kann ich ja für diese
> auch eine solche Umgebung finden. Die ganzen Umgebungen
> überschneiden sich quasi. Macht das nix?
Das macht nichts.
> Und irgendwie finde ich, dass das (also das ich meinen
> ganzen Defintionsbereich ja quasi mit den Umgebungen
> überdecke) irgendwie auch so klingt, als wäre ganz f ein
> Diffeomorphismus und nicht nur ein lokaler
> Diffeomorphismus.
Vorsicht! Die Eigenschaft, ein Diffeomorphismus zu sein, ist nicht lokal! Denn dazu muss die Funktion injektiv sein, und injektiv sein ist eine globale Eigenschaft! (Wie die Exponentialfunktion zeigt.)
> Ich dachte immer, "lokal" heißt etwas, was für bestimmte
> Umgebungen gegeben ist, aber nicht für alle Punkte eines
> Defintionsbereiches. Aber hier soll es ja für alle Punkte
> des Defintionsbereiches gelten.
Genau.
LG Felix
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