Different. Gleichung 1 Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie folgende Diff-Gleichung:
y` - 2y = [mm] e^{x} [/mm] |
Hi @ all.
Sitze schon seit geraumer Zeit an diesem Beispiel und komme einfach nicht drauf, wie ich es lösen soll. Würde mich über viele Tipps freuen!
mfg, stefan
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Hallo Stefan!
Berechne zunächst die homogene Lösung [mm] $y_H$ [/mm] : $y'-2*y \ = \ [mm] \red{0}$ [/mm] .
Die partikuläre Lösung [mm] $y_P$ [/mm] hat dann dieselbe Gestalt wie die Störfunktion $s(x) \ = \ [mm] e^x$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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Ok, soweit bin ich gekommen, was allerdings nicht besonders viel ist*g*
daher es eine inhomogene Diff-Gl 1 Ordnung ist haben wir:y = y(h) + y(p)
Die homogene Diff-Gl.lautet: y´ - 2y = 0
y = 2y
[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = 2y
[mm] \bruch{1}{2} \bruch{dy}{dy} [/mm] = y
y(h) = [mm] C*e^{x}
[/mm]
Wie geht es jetzt jedoch weiter?
mfg, stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:43 Mo 05.03.2007 | | Autor: | Herby |
Hallo Stefan,
müsste nicht [mm] y_h=C*e^{2x} [/mm] heißen, denn wo ist sonst der Faktor 2 vor dem y hin ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Die partikuläre Lösung kannst du auf zwei Arten ermitteln:
1. Durch Variation der Konstanten - wähle dazu [mm] y_p=C_1(x)*e^{2x}
[/mm]
hier musst du beim Ableiten die Produktregel anwenden, da [mm] C_1(x) [/mm] von x abhängt.
2. Durch einen Ansatz für spezielle Störglieder dafür reicht dann der Ansatz [mm] y_p=C_1*e^x
[/mm]
[mm] y_p [/mm] einmal ableiten und in die DGL einsetzen - dann Koeffizentenvergleich.
Liebe Grüße
Herby
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Ok, jetzt habe ich folgendes stehen:
C´(x) [mm] *e^{2x} [/mm] + [mm] C(x)e^{2x} [/mm] - [mm] C(x)e^{2x} [/mm] = [mm] e^{x}
[/mm]
C´(x)* [mm] e^{2x} [/mm] = [mm] e^{x} [/mm] C´(x) = [mm] e^{x}*e^{-2x}
[/mm]
aber wie gehts es jetzt weiter?
mfg, stefan
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Hallo Stefan!
> Ok, jetzt habe ich folgendes stehen:
>
> C´(x) [mm]*e^{2x}[/mm] + [mm]C(x)e^{2x}[/mm] - [mm]C(x)e^{2x}[/mm] = [mm]e^{x}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Das stimmt so nicht ganz (wegen innerer Ableitung der  Kettenregel sowie Aufgabenstellung), auch wenn das Ergebnis nachher passt:
[mm] $C'(x)*e^{2x}+\red{2}C(x)*e^{2x}-\red{2}C(x)*e^{2x} [/mm] \ = \ [mm] e^x$
[/mm]
> C´(x)* [mm]e^{2x}[/mm] = [mm]e^{x}[/mm] C´(x) = [mm]e^{x}*e^{-2x}[/mm]
Das können wir nun zusammenfassen zu $C'(x) \ = \ [mm] e^{-x}$ [/mm] und erhalten durch Integration: $C(x) \ = \ [mm] -e^{-x}$
[/mm]
Und daraus ergibt sich die partikuläre Lösung:
[mm] $y_P [/mm] \ = \ [mm] \blue{C(x)}*e^{2x} [/mm] \ = \ [mm] \blue{-e^{-x}}*e^{2x} [/mm] \ = \ [mm] -e^x$
[/mm]
Die Gesamtlösung der DGL setzt sich dann zusammen zu:
$y \ = \ [mm] y_H+y_P [/mm] \ = \ ...$
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:41 Mo 05.03.2007 | | Autor: | Herby |
Hi,
Variante 2
[mm] y_p=C_1*e^x
[/mm]
[mm] y_p'=C_1*e^x
[/mm]
eingesetzt in die DGL
[mm] C_1*e^x-2*C_1*e^x=e^x
[/mm]
[mm] -C_1*e^x=e^x
[/mm]
daraus folgt
[mm] C_1=-1
[/mm]
und daher
[mm] y_p=-e^x
[/mm]
lg
Herby
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