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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:46 So 27.09.2015 | | Autor: | JennMaus |
| Aufgabe | Berechnen Sie das Differential für die folgenden Funktionen
a) f(x) = ln x * sin x
c) f(x) = 3 + [mm] 2x^2 [/mm] an der Stelle x = 2 und dx = 0,1
d) f(x) = [mm] \bruch{x^3}{e^x} [/mm] an der Stelle x = 2 und dx = -0,1 |
Guten Morgen,
heißt "berechen Sie das Differential", dass ich einfach die Ableitungen bilden muss?
Somit bei a) f´(x) = [mm] \bruch{sin(x)}{x}+ [/mm] ln(x) * cos (x)
bei b) f´(x) = 4x
bei c) f´(x) = [mm] \bruch{e^x (3x^2-x^3}{e^{2x}}
[/mm]
Die Punkte x=2 werde ich vermutlich noch bei b) und c) in die Ableitung einsetzen müssen, aber was hat das dx = 0,1 bzw. dx= -0,1 zu bedeuten?
Wäre schön, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Vielen Dank und viele Grüße :)
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Hallo,
ich werfe mal den Begriff des totalen Differentials in den Raum:
[mm] \mathrm{d}f=\sum_i\frac{\partial f}{\partial x_i}\mathrm{d}x_i
[/mm]
Beispiel: [mm] f(x,y)=xy^2, [/mm] dann ist
[mm] \mathrm{d}f=y^2\mathrm{d}x+2xy\mathrm{d}y
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:10 So 27.09.2015 | | Autor: | JennMaus |
Hmmm, irgendwie hilft mir das nicht weiter :(
Ich habe doch gar keine mehrdimensionalen Funktionen f(x,y) sondern nur eindimensionale Funktionen f(x) oder? Müsste ich dann für dx = 0,1 einfach anstatt dx 0,1 einsetzen und quasi bei der b) f`(2) = 4 *2 * 0,1 berechnen?
Oder bin ich ganz auf dem falschen Weg?
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Hallo,
> Hmmm, irgendwie hilft mir das nicht weiter :(
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> Ich habe doch gar keine mehrdimensionalen Funktionen f(x,y)
> sondern nur eindimensionale Funktionen f(x) oder?
Richtig. Die Summe erstreckt sich quasi über i=1 bis 1.
Analog ist dir sicherlich bekannt, dass [mm] f'(x)=\frac{df}{dx} [/mm] und somit (rein algebraisch betrachtet!) gilt: $df=f'(x)dx$
Da ja aber nicht ausgeschlossen ist, dass du auch mal auf mehrdimensionale Funktionen stößt, wollte ich dir gleich einmal den vollständigen Ausdruck geben.
Weißt du, was das auch so in etwa bedeutet?
Du hast angegeben, dass dein Background Medizin/WiWi ist. Ich gehe einfach mal davon aus, dass du aus dem medizinischen Bereich stammst. Daher das folgende Beispiel:
Angenommen du gibst einen Patienten Insulin auf Grund des Zuckerspiegels. Nun wirkt Insulin nach irgendeinem Gesetz Z(x), wobei Z den Zuckerspiegel angibt. Die Variable x sei die Menge Insulin, die verabreicht wird. dZ=Z'(x)dx gibt nun folgendes an: Wie ändert sich der Zuckerspiegel, wenn man "ganz wenig" Insulin verabreicht. Dies ist also ein Maß für die Änderung eines Wertes.
Beispiel für mehrdimensional: Selbe Beispiel wie oben, allerdings sind Variablen nun: x als die Menge, die verabreicht wird, dann noch v für die Geschwindigkeit und sagen wir y für den Ort, wo das Insulin verabreicht wird. Dann ist die Funktion Z(x,v,y).
> Müsste
> ich dann für dx = 0,1 einfach anstatt dx 0,1 einsetzen und
> quasi bei der b) f'(2) = 4 *2 * 0,1 berechnen?
>
> Oder bin ich ganz auf dem falschen Weg?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:41 So 27.09.2015 | | Autor: | JennMaus |
Vielen Dank für deine Antwort :)
Also, wenn ich das richtig verstanden habe, sind dann meine Lösungen jeweils:
a) df = f'(x) dx => df = [mm] \frac{sin(x)}{x}+ [/mm] ln(x) * cos (x) dx
b) df = 4x dx für dx=0,1 => 4x * 0,1 an der Stelle x=2 => 0,8
c) df = [mm] \frac{e^x (3x^2-x^3}{e^{2x}} [/mm] dx für dx = -0,1 und x=2 => [mm] -\frac{e^2 (3*2^2-2^3)}{10*e^{2*2}} [/mm] = [mm] -\frac{e^2*4}{10*e^4} [/mm] = [mm] -\frac{2}{5*e^2}
[/mm]
Stimmen diese Lösungen?
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> Vielen Dank für deine Antwort :)
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> Also, wenn ich das richtig verstanden habe, sind dann meine
> Lösungen jeweils:
>
> a) df = f'(x) dx => df = [mm]\frac{sin(x)}{x}+[/mm] ln(x) * cos (x)
> dx
Ja
>
> b) df = 4x dx für dx=0,1 => 4x * 0,1 an der Stelle x=2 =>
> 0,8
Ja
>
> c) df = [mm]\frac{e^x (3x^2-x^3}{e^{2x}}[/mm] dx für dx = -0,1 und
> x=2 => [mm]-\frac{e^2 (3*2^2-2^3)}{10*e^{2*2}}[/mm] =
> [mm]-\frac{e^2*4}{10*e^4}[/mm] = [mm]-\frac{2}{5*e^2}[/mm]
Du kannst vorher schon kürzen:
[mm] df=\frac{e^x (3x^2-x^3}{e^{2x}}dx=\frac{3x^2-x^3}{e^x}dx
[/mm]
Die Werte stimmen.
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> Stimmen diese Lösungen?
Alles gut!
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