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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:46 So 07.07.2013 | | Autor: | Peitho |
| Aufgabe | Gegeben sei das Differentialgleichungssystem
[mm] x'(t)=\begin{pmatrix}
2 & -8 \\
-2 & 2
\end{pmatrix}*x(t)
[/mm]
a) Berechnen Sie die allgemeine Lösung x(t) von (1).
b) Bestimmen Sie alle möglichen Anfangswerte x(o) mit [mm] \limes_{t \to \infty}x(t)=0
[/mm]
c)Gibt es eine Lösung x(t) von (1) mit [mm] \limes_{t \to \infty}x(t)=c, c\in\IR^{2}, c\not=0? [/mm] |
Ich hab das Gefühl ich verstehe das gar nicht.
Also zu a)
We kann ich das darstellen? Hat das war mit den Eigenwerten zu tun? Da steht ja quasi die Ableitung von x nach t ist gleich Matrix mal x von t.
Ich finde leider überhaupt keinen Ansatz...bin für jeden Tipp dankbar!
Liebe Grüße,
Peitho
PS: ich habe diese Frage auf keinen anderen Foren gestellt.
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Hallo,
> Gegeben sei das Differentialgleichungssystem
>
> [mm]x'(t)=\begin{pmatrix}
2 & -8 \\
-2 & 2
\end{pmatrix}*x(t)[/mm]
>
> a) Berechnen Sie die allgemeine Lösung x(t) von (1).
> b) Bestimmen Sie alle möglichen Anfangswerte x(o) mit
> [mm]\limes_{t \to \infty}x(t)=0[/mm]
> c)Gibt es eine Lösung x(t)
> von (1) mit [mm]\limes_{t \to \infty}x(t)=c, c\in\IR^{2}, c\not=0?[/mm]
>
> Ich hab das Gefühl ich verstehe das gar nicht.
> Also zu a)
> We kann ich das darstellen? Hat das war mit den
> Eigenwerten zu tun?
Hat es, ja.
> Da steht ja quasi die Ableitung von x
> nach t ist gleich Matrix mal x von t.
>
> Ich finde leider überhaupt keinen Ansatz...bin für jeden
> Tipp dankbar!
Kann es sein, dass du dir einfach nicht klar gemacht hast, dass x(t) eine vektorwertige Funktion ist? Dabei entstehen durch Ausführen der (Matrix!-)Multiplikation zwei Differentialgleichungen für die Funktionen [mm] x_1(t) [/mm] und [mm] x_2(t), [/mm] da hier nämlich
[mm] x(t)=\vektor{x_1(t)\\x_2(t)}
[/mm]
ist.
Falls dir das hilft, wäre es natürlich schön. Ansonsten solltest du aber deine begrifflichen Schwierigkeiten schon noch präzisieren!
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 So 07.07.2013 | | Autor: | Peitho |
Erstmal danke für die blitzschnelle Antwort. Doch das hat mir schon bisschen geholfen.
Ich hab es mal versucht, also ich suche die Eigenwerte und die Eigenvektoren. Ich hab aus meinen Aufschrieben was gefunden und hoffe ich interpretiere das jetzt richtig.
Seien [mm] \lambda [/mm] die Eigenwerte und [mm] \mu [/mm] die Eigenvektoren, dann löst :
1) [mm] \lambda&\mu\in\IR x(t)=exp(\lambda [/mm] t) das System.
oder
2) [mm] \lambda&\mu\in\IC [/mm] dann gilt: [mm] \lambda=\mu+iv
[/mm]
[mm] \mu=a+ib
[/mm]
wobei [mm] a,b,\in\IR^{n} [/mm] und [mm] \mu,v\in\IR
[/mm]
dann gibt es zwei reele Lösungen:
[mm] x^{1}=exp( \mut)*(cos(vt)a-sin(vt)b)
[/mm]
[mm] x^{2}=exp( \mut)*(cos(vt)b+sin(vt)a)
[/mm]
[wie man hier auf die cos / sin kommt ist mir nicht klar, das erinnert mich an die polare Darstellung mit komplexen Zahlen ist aber doch etwas anders. ]
für [mm] \lambda=\mu+iv [/mm] und [mm] \mu=a+ib
[/mm]
aufjedenfall suche ich also zuerst die Eigenwerte. Daher, suche ich die :
[mm] det=\begin{pmatrix}
2-\lambda & -8 \\
2 & 2-\lambda
\end{pmatrix} [/mm] = [mm] \lambda^{2}-4\lambda-12
[/mm]
pq-Formel:
[mm] -(\bruch{-4}{2})\pm\wurzel{\bruch{-4}{2}^{2}-12}
[/mm]
[mm] \lambda_{1}=2+i\wurzel{8}
[/mm]
[mm] \lambda_{2}=2-i\wurzel{8} [/mm]
da hier das Vorzeichen vor dem imaginären Teil wechselt, sind sie komplex konjugiert.
[mm] \begin{pmatrix}
-i\wurzel{8} & -8\\
2 & -i\wurzel{8}
\end{pmatrix} [/mm]
ich rechne zweite zeile + x(erste zeile)
das x:
[mm] -2+x(-i\wurzel{8}) [/mm] = 0
[mm] x=2i\wurzel{8}
[/mm]
dann sieht meine Marix so aus:
[mm] \begin{pmatrix}
-i\wurzel{8} & -8\\
0 & -17i\wurzel{8}
\end{pmatrix} [/mm]
ist der erste gesuchte Eigenvektorwert jetzt [mm] 17i\wurzel{8} [/mm] ?
und aus der ersten Zeile ergibt sich dann
[mm] (-i\wurzel{8})\lambda-8=0
[/mm]
[mm] \lambda=8i\wurzel{8}
[/mm]
Das sind meine [mm] \mu [/mm] (?) also die Eigenvektoren, d.h. [mm] \mu=a+ib [/mm] ergibt hier einmal ein [mm] b_{1}=8\wurzel{8} [/mm] und [mm] b_{2}=17i\wurzel{8} [/mm] also:
[mm] a={0\choose0} b={17i\wurzel{8}\choose 8\wurzel{8}}
[/mm]
oder moment: heißt das einfach mein [mm] \mu_{1}={0 \choose 0}+i{17i\wurzel{8}\choose 8\wurzel{8}}
[/mm]
[mm] \mu_{2}={0 \choose 0}+i{-17i\wurzel{8}\choose -8\wurzel{8}}
[/mm]
ich finde das sieht irgendwie falsch aus. Und jetzt weiß ich wirklich nicht wie ich auf [mm] \mu [/mm] und v kommen soll. Das ist alles so unübersichtlich.
ist mein [mm] \mu_{1} [/mm] einmal einfach [mm] -17\wurzel{8} [/mm] und einmal [mm] -8\wurzel{8} [/mm] , ich seh es nicht :[
Liebe Grüße,
peitho
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:27 So 07.07.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib mal auf, wie du Eigenvektoren suchst!, eine Zahl ist sicher kein Vektor:
zu cos und sin als reelle Lösung. wenn du ein Lösungssystem
[mm] x_1(t)=C_1*e^{(a+ib)*t}*v
[/mm]
[mm] x_2(t)=C:2*e^{a-ib}*v [/mm] hast ist jede Linearkombination der Lösungen wieder eine Lösung
und wenn du reelle Lösungen willst, kombinierst du so, dass [mm] Ae^{at}*cos(bt)+B*e^{at}sin(bt) [/mm] rauskommt. denn [mm] e^{ibt}=cos(bt)+isin(bt) e^{-ibt}=cos(bt)-isin(bt)
[/mm]
Gruss leduart
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