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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Differential berechnen
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Differential berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:20 Fr 25.07.2008
Autor: johnny11

Aufgabe
Sei f: [mm] \IR^3 \to \IR [/mm] eine beliebige stetig partiell differentierbare Funktion und sei g: [mm] \IR^3 \to \IR^3 [/mm] gegeben durch [mm] g(x_1,x_2,x_3) [/mm] := [mm] g(x_1 [/mm] - [mm] x_2, x_1*x_2, x_1*x_3). [/mm] Berechne das Differential der Funktion h:= f [mm] \circ [/mm] g : [mm] \IR^3 \to \IR. [/mm]

Was ist hier mit dem "Differential" genau gemeint? Müssen hier alle partiellen Ableitungen ausgerechnet werden? Oder muss der Differentialquotient berechnet werden, also [mm] \limes_{s\rightarrow0}\bruch{h(x+s) - h(x)}{s}? [/mm]


        
Bezug
Differential berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:20 Fr 25.07.2008
Autor: pelzig

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

>  Was ist hier mit dem "Differential" genau
> gemeint? Müssen hier alle partiellen Ableitungen
> ausgerechnet werden?

Also die mathematische Erklärung:
Das Differential $Df$ oder $\partial f$, auch totale Ableitung genannt, ist eine Abbildung, die dir zu jedem Punkt $x_0\in\IR^3$ die zugehörige Lineare Abbildung $Df(x_0)$ bzw $\partial f(x_0)$ ausspuckt, sodass $f(x_0)+Df(x_0)(h)$ die "beste Lineare Approximation" von $f$ im Punkt $x_0$ ist. Also: du steckst einen Punkt in das Differential rein und bekommst eine (lineare) Abbildung von $\IR^3$ nach $\IR$

Die einfache Erklärung:
In diesem Fall ist das Differential (falls es existiert) im Punkt $x_0$ einfach $\pmat{\frac{\partial f}{\partial x_1}(x_0)&\frac{\partial f}{\partial x_2}(x_0)&\frac{\partial f}{\partial x_3}(x_0)$. Diese $1\times 3$-Matrix beschreibt dann eine Lineare Abbildung von $\IR^3\to\IR$.

> Oder muss der Differentialquotient
> berechnet werden, also [mm]\limes_{s\rightarrow0}\bruch{h(x+s) - h(x)}{s}?[/mm]

Das macht so überhaupt keinen Sinn, denn $s$ ist ein Vektor aus [mm] $\IR^3$, [/mm] wie willst du dadurch teilen? Wenn schon dann müsste es [mm] $\lim_{\parallel s\parallel\to0}\frac{h(x+s)-h(x)}{\parallel s\parallel}$ [/mm] heißen...

Gruß, Robert

Bezug
                
Bezug
Differential berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:13 Fr 25.07.2008
Autor: johnny11


>  
> Die einfache Erklärung:
>  In diesem Fall ist das Differential (falls es existiert)
> im Punkt [mm]x_0[/mm] einfach [mm]\pmat{\frac{\partial f}{\partial x_1}(x_0)&\frac{\partial f}{\partial x_2}(x_0)&\frac{\partial f}{\partial x_3}(x_0)[/mm].
> Diese [mm]1\times 3[/mm]-Matrix beschreibt dann eine Lineare
> Abbildung von [mm]\IR^3\to\IR[/mm].
>  

Aber dann muss also [mm] g(x_1,x_2,x_3) [/mm] := [mm] (x_1-x_2 [/mm] , [mm] x_1*x_2 [/mm] , [mm] x_1*x_3) [/mm] gar nicht beachtet werden?
Und stimmt es , dass [mm]\pmat{\frac{\partial f}{\partial x_1}(x_0)&\frac{\partial f}{\partial x_2}(x_0)&\frac{\partial f}{\partial x_3}(x_0)[/mm] gerade dem Gradienten von f entspricht?


Bezug
                        
Bezug
Differential berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:20 Fr 25.07.2008
Autor: fred97


> >  

> > Die einfache Erklärung:
>  >  In diesem Fall ist das Differential (falls es
> existiert)
> > im Punkt [mm]x_0[/mm] einfach [mm]\pmat{\frac{\partial f}{\partial x_1}(x_0)&\frac{\partial f}{\partial x_2}(x_0)&\frac{\partial f}{\partial x_3}(x_0)[/mm].
> > Diese [mm]1\times 3[/mm]-Matrix beschreibt dann eine Lineare
> > Abbildung von [mm]\IR^3\to\IR[/mm].
>  >  
> Aber dann muss also [mm]g(x_1,x_2,x_3)[/mm] := [mm](x_1-x_2[/mm] , [mm]x_1*x_2[/mm] ,
> [mm]x_1*x_3)[/mm] gar nicht beachtet werden?

Doch !

> Und stimmt es , dass [mm]\pmat{\frac{\partial f}{\partial x_1}(x_0)&\frac{\partial f}{\partial x_2}(x_0)&\frac{\partial f}{\partial x_3}(x_0)[/mm]
> gerade dem Gradienten von f entspricht?

Das ist der Gradient

>  


Ich denke, Du sollst einfach die Fkt. h:= f $ [mm] \circ [/mm] $ g differenzieren (mit der Kettenregel ?)


FRED

Bezug
                                
Bezug
Differential berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:57 Fr 25.07.2008
Autor: johnny11

ok, die kettenregel lautet ja folgendermassen: (f [mm] \circ [/mm] g = f'(g(x)) * g'(x))

[mm] g_1(x_1 [/mm] , [mm] x_2 [/mm] , [mm] x_3) [/mm] = [mm] x_1 [/mm] - [mm] x_2 [/mm]

[mm] g_2(x_1 [/mm] , [mm] x_2 [/mm] , [mm] x_3) [/mm] = [mm] x_1 [/mm] * [mm] x_2 [/mm]

[mm] g_3(x_1 [/mm] , [mm] x_2 [/mm] , [mm] x_3) [/mm] = [mm] x_1 [/mm] * [mm] x_3 [/mm]

Stimmt das überhaupt?

Nun erhalte ich also für Dg(x) folgende Matrix:

[mm] \pmat{ 1 & -1 & 0 \\ x_2 & x_1 & 0 \\ x_3 & 0 & x_1 } [/mm]

Ist dies bis dahin korrekt?
Nun muss ich also noch [mm] Df(g(x_1 [/mm] , [mm] x_2 [/mm] , [mm] x_3)) [/mm] vorne dranmultiplizieren? Oder bin ich jetzt komplett auf dem falschen Weg?

Bezug
                                        
Bezug
Differential berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:01 Sa 26.07.2008
Autor: MathePower

Hallo johnny11,

> ok, die kettenregel lautet ja folgendermassen: (f [mm]\circ[/mm] g =
> f'(g(x)) * g'(x))
>
> [mm]g_1(x_1[/mm] , [mm]x_2[/mm] , [mm]x_3)[/mm] = [mm]x_1[/mm] - [mm]x_2[/mm]
>
> [mm]g_2(x_1[/mm] , [mm]x_2[/mm] , [mm]x_3)[/mm] = [mm]x_1[/mm] * [mm]x_2[/mm]
>  
> [mm]g_3(x_1[/mm] , [mm]x_2[/mm] , [mm]x_3)[/mm] = [mm]x_1[/mm] * [mm]x_3[/mm]
>  
> Stimmt das überhaupt?
>  
> Nun erhalte ich also für Dg(x) folgende Matrix:
>  
> [mm]\pmat{ 1 & -1 & 0 \\ x_2 & x_1 & 0 \\ x_3 & 0 & x_1 }[/mm]
>  
> Ist dies bis dahin korrekt?


Ja. [ok]


> Nun muss ich also noch [mm]Df(g(x_1[/mm] , [mm]x_2[/mm] , [mm]x_3))[/mm] vorne
> dranmultiplizieren? Oder bin ich jetzt komplett auf dem
> falschen Weg?


Das ist genau richtig, was Du da schreibst.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
Differential berechnen: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:43 So 27.07.2008
Autor: johnny11

Ok, jetzt bin ich mir einfach noch nicht ganz sicher, was [mm] Df(g(x_1 [/mm] , [mm] x_2 [/mm] , [mm] x_3) [/mm]
ergibt.
Ich bin auf folgendes gekommen: [mm] (\bruch{\partial f}{\partial(x_1-x_2)} [/mm] , [mm] \bruch{\partial f}{\partial(x_1*x_2)} [/mm] , [mm] \bruch{\partial f}{\partial(x_1*x_3)} [/mm] )

Ist dies korrekt?


Bezug
                                                        
Bezug
Differential berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:01 So 27.07.2008
Autor: MathePower

Hallo johnny11,


> Ok, jetzt bin ich mir einfach noch nicht ganz sicher, was
> [mm]Df(g(x_1[/mm] , [mm]x_2[/mm] , [mm]x_3)[/mm]
>  ergibt.
>  Ich bin auf folgendes gekommen: [mm](\bruch{\partial f}{\partial(x_1-x_2)}[/mm]
> , [mm]\bruch{\partial f}{\partial(x_1*x_2)}[/mm] , [mm]\bruch{\partial f}{\partial(x_1*x_3)}[/mm]
> )
>  
> Ist dies korrekt?
>  

Da f jetzt eine Funktion von [mm]g=\left(g_{1}, \ g_{2}, \ g_{3}\right)[/mm] ist, schreibt man dann:

[mm]\left(\bruch{\partial f}{\partial g_{1}}, \ \bruch{\partial f}{\partial g_{2}} , \ \bruch{\partial f}{\partial g_{3}}\right)[/mm]

Gruß
MathePower

Bezug
                                                                
Bezug
Differential berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:44 So 27.07.2008
Autor: johnny11

Super, jetzt ists klar. Vielen Dank!

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