Differentiale von Ito-Prozesse < stoch. Analysis < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:42 Fr 16.12.2011 | | Autor: | ito |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Differentiale [mm] dX_t, dY_t [/mm] und [mm] Z_t[/mm] zu folgenden Ito-Prozessen
[mm] X_t=\sin(tB_t) [/mm]
[mm] Y_t=\tan(t) + \wurzel{1 + B_t^4} [/mm]
[mm] Z_t=exp(\int_{0}^{t} s^{-1/4}B_s\, dBs) [/mm] |
Hallo zusammen,
habe bei der Bearbeitung der Aufgabe Probleme...
[mm] dX_t [/mm] habe ich wie folgt berechnet
[mm] X_{t}:=F(t,B_t):=\sin(tB_t), \frac{\partial F}{\partial t}(t,B_t)=B_t\cos(tB_t), \frac{\partial F}{\partial B_t}(t,B_t)=t\cos(tB_t) [/mm] und [mm] $\frac{1}{2}\frac{\partial^2 F}{\partial B_t^2}(t,B_t)=-t^{2}\sin(tB_t)$
[/mm]
dann folgt aus der Ito-Formel [mm] dF(t,X_t)=\frac{\partial F}{\partial t}(t,X_t)dt + \frac{\partial F}{\partial x}(t,X_t)dX_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}(t,X_t)(dX_t)^2 [/mm]
[mm] dX_t=B_t\cos(tB_t)dt + t\cos(tB_t)dB_t - \frac{1}{2}t^{2}\sin(tB_t)dt [/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
mit $\cos(tB_t)=\wurzel{1-X_t^2)$ folgt
$dX_t=B_t\wurzel{1-X_t^2}dt + t\wurzel{1-X_t^2}dB_t - \frac{1}{2}t^{2}X_{t}dt = (B_t\wurzel{1-X_t^2} - \frac{1}{2}t^{2}X_{t})dt + t\wurzel{1-X_t^2}dB_t$
ist das dann so fertig? mich stört das $B_t$ noch...
bevor ich was zu $dY_t$ und $dZ_t$ schreibe warte ich erst mal ab was zu $dX_t$ kommt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen Dank
gruß ito
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:14 Sa 17.12.2011 | | Autor: | vivo |
Hallo,
drückst du die [mm]B_t[/mm] nicht einfach in [mm]X_t[/mm] aus?
So wie du es beim letzten ja gemacht hast?
grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 Sa 17.12.2011 | | Autor: | ito |
[mm] $X_t=\sin(tB_t)$
[/mm]
[mm] $\frac{1}{t}\arcsin(tB_t)=B_t$
[/mm]
so vielleicht?
glaube das muss anders gehen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:34 Sa 17.12.2011 | | Autor: | vivo |
> [mm]X_t=\sin(tB_t)[/mm]
> [mm]\frac{1}{t}\arcsin(tB_t)=B_t[/mm]
> so vielleicht?
du meinst wohl [mm]\frac{1}{t}\arcsin(X_t)=B_t[/mm]
und den sin kannst ja noch auf den cos verschieben für
[mm]cos(tB_t)[/mm]
> glaube das muss anders gehen...
warum denn?
am Ende hast du dann
[mm]d X_t = h(t,X_t)dt + g(t,X_t)dB_t[/mm]
was gefällt dir daran nicht?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:36 So 18.12.2011 | | Autor: | ito |
also
[mm] $dX_t=(B_t\wurzel{1-X_t^2} [/mm] - [mm] \frac{1}{2}t^{2}X_{t})dt [/mm] + [mm] t\wurzel{1-X_t^2}dB_t =(\frac{1}{2}\arcsin(X_t)\wurzel{1-X_t^2} [/mm] - [mm] \frac{1}{2}t^{2}X_{t})dt [/mm] + [mm] t\wurzel{1-X_t^2}dB_t [/mm] $
schon mal danke,
ich schau dann mal wie ich mit den andern beiden Gleichungen zurecht komme
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:05 Di 20.12.2011 | | Autor: | vivo |
Hallo,
so hätte ich das nicht gemacht!
Ich hätte die Gleichung aus deinem ersten beitrag hergenommen die du hattest bevor du da irgendwas mit Wurzel und so weiter gemacht hast!
Und hätte da halt alle [mm]B_t[/mm] bzw. Funktionen von [mm]B_t[/mm] in Funktionen von [mm]X_t[/mm] ausgedrückt.
grüße
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