Differentialform - Kugeloberfl < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:05 Mo 05.05.2008 | | Autor: | kittycat |
| Aufgabe | Sei [mm] \omega [/mm] = [mm] (x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] z^2)^\bruch{-3}{2}(xdy \wedge [/mm] dz + ydz [mm] \wedge [/mm] dx + zdx [mm] \wedge [/mm] dy), S={(x,y,z) [mm] \in IR^3 [/mm] | [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] z^2 [/mm] = 1} die Kugeloberfläche mit der Orientierung, die auf der "Nordhalbkugel" (z>0) durch die Parameterdarstellung x = x, y = y, z = [mm] \wurzel{1 - x^2 - y^2} [/mm] bestimmt wird.
Man berechne [mm] \integral_{S}{\omega}! [/mm] |
Hallo liebe Mathefreunde,
Ich stecke mal wieder an einer Differentialform-Aufgabe fest. Wie berechne ich das obige Integral? Kann mir jemand einen Tip geben?
hab das nun so aufgeschrieben:
[mm] \integral_{S}{\omega} [/mm] = [mm] \integral_{S}{(x^2 + y^2 + z^2)^\bruch{-3}{2}(xdy \wedge dz + ydz \wedge dx + zdx \wedge dy)} [/mm]
[mm] =\integral_{S}{(x^2 + y^2 + z^2)^\bruch{-3}{2}xdy \wedge dz} [/mm] + [mm] \integral_{S}{(x^2 + y^2 + z^2)^\bruch{-3}{2}ydz \wedge dx} [/mm] + [mm] \integral_{S}{x^2 + y^2 + z^2)^\bruch{-3}{2}zdx \wedge dy)} [/mm]
Ja und um jetzt diese Integrale ausrechnen zu können, muss ich da zufällig den Stokeschen Satz benutzen?
Kann mir jemand weiterhelfen??? *please*
Liebe Grüße
Kittycat
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Hallo kittycat,
> Sei [mm]\omega[/mm] = [mm](x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + [mm]z^2)^\bruch{-3}{2}(xdy \wedge[/mm] dz
> + ydz [mm]\wedge[/mm] dx + zdx [mm]\wedge[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
dy), S={(x,y,z) [mm]\in IR^3[/mm] | [mm]x^2[/mm]
> + [mm]y^2[/mm] + [mm]z^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= 1} die Kugeloberfläche mit der Orientierung,
> die auf der "Nordhalbkugel" (z>0) durch die
> Parameterdarstellung x = x, y = y, z = [mm]\wurzel{1 - x^2 - y^2}[/mm]
> bestimmt wird.
> Man berechne [mm]\integral_{S}{\omega}![/mm]
> Hallo liebe Mathefreunde,
>
> Ich stecke mal wieder an einer Differentialform-Aufgabe
> fest. Wie berechne ich das obige Integral? Kann mir jemand
> einen Tip geben?
>
> hab das nun so aufgeschrieben:
>
> [mm]\integral_{S}{\omega}[/mm] = [mm]\integral_{S}{(x^2 + y^2 + z^2)^\bruch{-3}{2}(xdy \wedge dz + ydz \wedge dx + zdx \wedge dy)}[/mm]
> [mm]=\integral_{S}{(x^2 + y^2 + z^2)^\bruch{-3}{2}xdy \wedge dz}[/mm]
> + [mm]\integral_{S}{(x^2 + y^2 + z^2)^\bruch{-3}{2}ydz \wedge dx}[/mm]
> + [mm]\integral_{S}{x^2 + y^2 + z^2)^\bruch{-3}{2}zdx \wedge dy)}[/mm]
>
> Ja und um jetzt diese Integrale ausrechnen zu können, muss
> ich da zufällig den Stokeschen Satz benutzen?
> Kann mir jemand weiterhelfen??? *please*
Dazu mußt Du erstmal [mm]d\omega[/mm] ausrechnen.
Demnach ist
[mm]d\omega=d \wedge \omega = \left(\bruch{\partial}{\partial x}\ dx +\bruch{\partial}{\partial y}\ dy +\bruch{\partial}{\partial z}\ dz \right) \wedge \left((x^2 + y^2 + z^2)^\bruch{-3}{2}(xdy \wedge dz + ydz \wedge dx + zdx \wedge dy)\right)[/mm]
zu berechnen.
>
> Liebe Grüße
> Kittycat
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 Di 06.05.2008 | | Autor: | kittycat |
Hallo Mathepower,
vielen Dank für deine schnelle Antwort ...
mmmh, hab [mm] d\omega [/mm] jetzt mal ausgerechnet und erhalte
[mm] d\omega [/mm] = - 2 [mm] (x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] z^2)^\bruch{-3}{2} dx\wegde dy\wedge [/mm] dz
Stimmt das?
Und wie kann ich das jetzt anwenden um das Integral zu bestimmen? Kann ich hier den Stokeschen Integralsatz benutzen?
Allerdings lautet der ja:
[mm] \integral_{F}{d\omega} [/mm] = [mm] \integral_{\partial F}{\omega}
[/mm]
Ich will ja aber folgendes berechnen [mm] \integral_{S}{\omega} [/mm] ??? mmmh...
Wie soll das gehen?
Lieben Gruß
Kittycat
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Hallo kittycat,
> Hallo Mathepower,
>
> vielen Dank für deine schnelle Antwort ...
>
> mmmh, hab [mm]d\omega[/mm] jetzt mal ausgerechnet und erhalte
> [mm]d\omega[/mm] = - 2 [mm](x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + [mm]z^2)^\bruch{-3}{2} dx\wegde dy\wedge[/mm]
> dz
> Stimmt das?
Leider nein.
>
> Und wie kann ich das jetzt anwenden um das Integral zu
> bestimmen? Kann ich hier den Stokeschen Integralsatz
> benutzen?
> Allerdings lautet der ja:
> [mm]\integral_{F}{d\omega}[/mm] = [mm]\integral_{\partial F}{\omega}[/mm]
>
> Ich will ja aber folgendes berechnen [mm]\integral_{S}{\omega}[/mm]
> ??? mmmh...
> Wie soll das gehen?
Dieses [mm]\omega[/mm] ist nicht das [mm]\omega[/mm] vom Stokeschen Integalsatz.
Definiere [mm]d\tilde{\omega}=\omega[/mm]
Dann gilt der Stokesche Integralsatz:
[mm]\integral_{S}{d\tilde{\omega}}[/mm] = [mm]\integral_{\partial S}{\tilde{\omega}}[/mm]
Habt Ihr schon Folgerungen aus dem Stokeschen Integralsatz gezogen?
>
> Lieben Gruß
> Kittycat
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:19 Di 06.05.2008 | | Autor: | kittycat |
oooops, da habe ich mich verrechnet ...
Also nochmal das ganze =) und das sieht nun etwas komplizierter aus:
[mm] d\omega [/mm] = [mm] (\bruch{\partial}{\partial x} dx\wedge t^\bruch{-3}{2} [/mm] x dy [mm] \wedge [/mm] dz + [mm] \bruch{\partial}{\partial y} dy\wedge t^\bruch{-3}{2} [/mm] y dz [mm] \wedge [/mm] dx + [mm] \bruch{\partial}{\partial z} dz\wedge t^\bruch{-3}{2} [/mm] z dx [mm] \wedge [/mm] dy)
[mm] =(\bruch{\partial}{\partial x} t^\bruch{-3}{2}x [/mm] + [mm] \bruch{\partial}{\partial y}t^\bruch{-3}{2} [/mm] y + [mm] \bruch{\partial}{\partial z} t^\bruch{-3}{2}z) dx\wedge dy\wedge [/mm] dz
= ...
= [mm] [\bruch{-3}{2} (x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] z^2)^\bruch{-5}{2} [/mm] (x + y + z) + 3 [mm] (x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] z^2)^\bruch{-3}{2}] dx\wedge dy\wedge [/mm] dz
Ich hoffe das stimmt diesmal 
> > Und wie kann ich das jetzt anwenden um das Integral zu
> > bestimmen? Kann ich hier den Stokeschen Integralsatz
> > benutzen?
> > Allerdings lautet der ja:
> > [mm]\integral_{F}{d\omega}[/mm] = [mm]\integral_{\partial F}{\omega}[/mm]
>
> >
> > Ich will ja aber folgendes berechnen [mm]\integral_{S}{\omega}[/mm]
> > ??? mmmh...
> > Wie soll das gehen?
>
> Dieses [mm]\omega[/mm] ist nicht das [mm]\omega[/mm] vom Stokeschen
> Integalsatz.
Was für ein [mm] \omega [/mm] ist es denn dann? Wieviele verschiedene [mm] \omega [/mm] 's gibt es denn? He ... ich bin verwirrt....
> Definiere [mm]d\tilde{\omega}=\omega[/mm]
>
> Dann gilt der Stokesche Integralsatz:
>
> [mm]\integral_{S}{d\tilde{\omega}}[/mm] = [mm]\integral_{\partial S}{\tilde{\omega}}[/mm]
>
> Habt Ihr schon Folgerungen aus dem Stokeschen Integralsatz
> gezogen?
Ja, schon ... aber ich kann mit den Folgerungen bei dieser Aufgabe nichts anfangen =( *pins*
Liebe Grüße
Kittycat
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Hallo kittycat,
> oooops, da habe ich mich verrechnet ...
>
> Also nochmal das ganze =) und das sieht nun etwas
> komplizierter aus:
>
> [mm]d\omega[/mm] = [mm](\bruch{\partial}{\partial x} dx\wedge t^\bruch{-3}{2}[/mm]
> x dy [mm]\wedge[/mm] dz + [mm]\bruch{\partial}{\partial y} dy\wedge t^\bruch{-3}{2}[/mm]
> y dz [mm]\wedge[/mm] dx + [mm]\bruch{\partial}{\partial z} dz\wedge t^\bruch{-3}{2}[/mm]
> z dx [mm]\wedge[/mm] dy)
>
> [mm]=(\bruch{\partial}{\partial x} t^\bruch{-3}{2}x[/mm] +
> [mm]\bruch{\partial}{\partial y}t^\bruch{-3}{2}[/mm] y +
> [mm]\bruch{\partial}{\partial z} t^\bruch{-3}{2}z) dx\wedge dy\wedge[/mm]
> dz
>
> = ...
>
> = [mm][\bruch{-3}{2} (x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + [mm]z^2)^\bruch{-5}{2}[/mm] (x + y +
> z) + 3 [mm](x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + [mm]z^2)^\bruch{-3}{2}] dx\wedge dy\wedge[/mm]
> dz
>
> Ich hoffe das stimmt diesmal
Fast. Da kommt nämlich 0 heraus.
>
> > > Und wie kann ich das jetzt anwenden um das Integral zu
> > > bestimmen? Kann ich hier den Stokeschen Integralsatz
> > > benutzen?
> > > Allerdings lautet der ja:
> > > [mm]\integral_{F}{d\omega}[/mm] = [mm]\integral_{\partial F}{\omega}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Ich will ja aber folgendes berechnen [mm]\integral_{S}{\omega}[/mm]
> > > ??? mmmh...
> > > Wie soll das gehen?
> >
> > Dieses [mm]\omega[/mm] ist nicht das [mm]\omega[/mm] vom Stokeschen
> > Integalsatz.
>
> Was für ein [mm]\omega[/mm] ist es denn dann? Wieviele verschiedene
> [mm]\omega[/mm] 's gibt es denn? He ... ich bin verwirrt....
>
> > Definiere [mm]d\tilde{\omega}=\omega[/mm]
> >
> > Dann gilt der Stokesche Integralsatz:
> >
> > [mm]\integral_{S}{d\tilde{\omega}}[/mm] = [mm]\integral_{\partial S}{\tilde{\omega}}[/mm]
>
> >
> > Habt Ihr schon Folgerungen aus dem Stokeschen Integralsatz
> > gezogen?
>
> Ja, schon ... aber ich kann mit den Folgerungen bei dieser
> Aufgabe nichts anfangen =( *pins*
Nun zu dem was Du berechnen musst:
Es gilt: [mm]\integral_{S}^{}{\omega} = \integral_{\gamma}^{}{\omega}[/mm]
Außerdem hast Du eine Parameterdarstellung
[mm]x=x\left(u,v\right)[/mm]
[mm]y=y\left(u,v\right)[/mm]
[mm]z=z\left(u,v\right)[/mm]
Dann ist
[mm]dx=x_{u} \ du + x_{v} \ dv[/mm]
[mm]dy=y_{u} \ du + y_{v} \ dv[/mm]
[mm]dz=z_{u} \ du + z_{v} \ dv[/mm]
Für die weitere Rechnung hast Du nun
[mm]dx \wedge dy, \ dx \wedge dz, \ dy \wedge dz[/mm]
zu berechnen und in obiges Integral einzusetzen.
Weiterhin gilt:
[mm]\integral_{\gamma}^{}{\omega}=\integral_{}^{}{f(u,v) du \wedge dv}=\integral_{}^{}{\integral_{}^{}{f(u,v) \ du}\ dv}[/mm]
Und nun viel Spaß damit.
>
> Liebe Grüße
> Kittycat
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 Di 06.05.2008 | | Autor: | kittycat |
Sorry Mathepower .... :-(
> > [mm]d\omega[/mm] = [mm](\bruch{\partial}{\partial x} dx\wedge t^\bruch{-3}{2}[/mm]
> > x dy [mm]\wedge[/mm] dz + [mm]\bruch{\partial}{\partial y} dy\wedge t^\bruch{-3}{2}[/mm]
> > y dz [mm]\wedge[/mm] dx + [mm]\bruch{\partial}{\partial z} dz\wedge t^\bruch{-3}{2}[/mm]
> > z dx [mm]\wedge[/mm] dy)
> >
> > [mm]=(\bruch{\partial}{\partial x} t^\bruch{-3}{2}x[/mm] +
> > [mm]\bruch{\partial}{\partial y}t^\bruch{-3}{2}[/mm] y +
> > [mm]\bruch{\partial}{\partial z} t^\bruch{-3}{2}z) dx\wedge dy\wedge[/mm]
> > dz
> >
> > = ...
> >
> > = [mm][\bruch{-3}{2} (x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + [mm]z^2)^\bruch{-5}{2}[/mm] (x + y +
> > z) + 3 [mm](x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + [mm]z^2)^\bruch{-3}{2}] dx\wedge dy\wedge[/mm]
> > dz
>
> Fast. Da kommt nämlich 0 heraus.
Heißt das es ist falsch?! hab ich was falsches gerechnet oder mich verrechnet? =(
Ich sehe leider nicht wie ich damit auf 0 kommen soll. (Was muss ich tun, damit ich auf 0 komme?)
[Der Rest kommt mir bekannt vor (Skript), wobei ich nie darauf gekommen wäre, das so hier einzusetzten ... danke für den Tipp ... muss es dann mal ausprobieren und nachrechnen]
Liebe Grüße
Kittycat
p.s.: sorry, dass ich wahrscheinlich voll die Fundamentalsachen nachfrage :-(
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Hallo kittycat,
> Sorry Mathepower .... :-(
>
> > > [mm]d\omega[/mm] = [mm](\bruch{\partial}{\partial x} dx\wedge t^\bruch{-3}{2}[/mm]
> > > x dy [mm]\wedge[/mm] dz + [mm]\bruch{\partial}{\partial y} dy\wedge t^\bruch{-3}{2}[/mm]
> > > y dz [mm]\wedge[/mm] dx + [mm]\bruch{\partial}{\partial z} dz\wedge t^\bruch{-3}{2}[/mm]
> > > z dx [mm]\wedge[/mm] dy)
> > >
> > > [mm]=(\bruch{\partial}{\partial x} t^\bruch{-3}{2}x[/mm] +
> > > [mm]\bruch{\partial}{\partial y}t^\bruch{-3}{2}[/mm] y +
> > > [mm]\bruch{\partial}{\partial z} t^\bruch{-3}{2}z) dx\wedge dy\wedge[/mm]
> > > dz
> > >
> > > = ...
> > >
> > > = [mm][\bruch{-3}{2} (x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + [mm]z^2)^\bruch{-5}{2}[/mm] (x + y +
> > > z) + 3 [mm](x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + [mm]z^2)^\bruch{-3}{2}] dx\wedge dy\wedge[/mm]
> > > dz
> >
> > Fast. Da kommt nämlich 0 heraus.
>
> Heißt das es ist falsch?! hab ich was falsches gerechnet
> oder mich verrechnet? =(
> Ich sehe leider nicht wie ich damit auf 0 kommen soll.
> (Was muss ich tun, damit ich auf 0 komme?)
>
Da hast Du einen Faktor 2 vergessen:
[mm][\bruch{-3}{2} (x^2 + y^2 + z^2)^\bruch{-5}{2} (\red{2}x + \red{2}y + \red{2}z) + 3 (x^2 + y^2 + z^2)^\bruch{-3}{2}] dx\wedge dy\wedge dz [/mm]
>
> [Der Rest kommt mir bekannt vor (Skript), wobei ich nie
> darauf gekommen wäre, das so hier einzusetzten ... danke
> für den Tipp ... muss es dann mal ausprobieren und
> nachrechnen]
>
> Liebe Grüße
> Kittycat
>
> p.s.: sorry, dass ich wahrscheinlich voll die
> Fundamentalsachen nachfrage :-(
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 Di 06.05.2008 | | Autor: | kittycat |
Hallo Mathepower,
> Nun zu dem was Du berechnen musst:
>
> Es gilt: [mm]\integral_{S}^{}{\omega} = \integral_{\gamma}^{}{\omega}[/mm]
>
> Außerdem hast Du eine Parameterdarstellung
>
> [mm]x=x\left(u,v\right)[/mm]
> [mm]y=y\left(u,v\right)[/mm]
> [mm]z=z\left(u,v\right)[/mm]
>
> Dann ist
>
> [mm]dx=x_{u} \ du + x_{v} \ dv[/mm]
> [mm]dy=y_{u} \ du + y_{v} \ dv[/mm]
>
> [mm]dz=z_{u} \ du + z_{v} \ dv[/mm]
>
> Für die weitere Rechnung hast Du nun
>
> [mm]dx \wedge dy, \ dx \wedge dz, \ dy \wedge dz[/mm]
>
> zu berechnen und in obiges Integral einzusetzen.
>
> Weiterhin gilt:
>
> [mm]\integral_{\gamma}^{}{\omega}=\integral_{}^{}{f(u,v) du \wedge dv}=\integral_{}^{}{\integral_{}^{}{f(u,v) \ du}\ dv}[/mm]
>
> Und nun viel Spaß damit.
Also, ich habe ja in der Aufgabe die Parameterdarstellung
x = x
y = y
z = [mm] \wurzel{1- x^2 - y^2}
[/mm]
Dann wäre ja
dx = dx
dy = dy (da beide von keiner anderen Variable abhängen)
dz = [mm] \bruch{- x}{\wurzel{1- x^2 - y^2}} [/mm] - [mm] \bruch{y}{\wurzel{1 - x^2 - y^2}}
[/mm]
Wieso muss ich jetzt
> [mm]dx \wedge dy, \ dx \wedge dz, \ dy \wedge dz[/mm]
berechnen und in die obige Gleichung einsetzten? Woher kommt das? Das verstehe ich noch nicht so ganz... :-/
Liebe Grüße
Kittycat
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Hallo kittycat,
> Hallo Mathepower,
>
> > Nun zu dem was Du berechnen musst:
> >
> > Es gilt: [mm]\integral_{S}^{}{\omega} = \integral_{\gamma}^{}{\omega}[/mm]
>
> >
> > Außerdem hast Du eine Parameterdarstellung
> >
> > [mm]x=x\left(u,v\right)[/mm]
> > [mm]y=y\left(u,v\right)[/mm]
> > [mm]z=z\left(u,v\right)[/mm]
> >
> > Dann ist
> >
> > [mm]dx=x_{u} \ du + x_{v} \ dv[/mm]
> > [mm]dy=y_{u} \ du + y_{v} \ dv[/mm]
>
> >
> > [mm]dz=z_{u} \ du + z_{v} \ dv[/mm]
> >
> > Für die weitere Rechnung hast Du nun
> >
> > [mm]dx \wedge dy, \ dx \wedge dz, \ dy \wedge dz[/mm]
> >
> > zu berechnen und in obiges Integral einzusetzen.
> >
> > Weiterhin gilt:
> >
> > [mm]\integral_{\gamma}^{}{\omega}=\integral_{}^{}{f(u,v) du \wedge dv}=\integral_{}^{}{\integral_{}^{}{f(u,v) \ du}\ dv}[/mm]
>
> >
> > Und nun viel Spaß damit.
>
> Also, ich habe ja in der Aufgabe die Parameterdarstellung
> x = x
> y = y
> z = [mm]\wurzel{1- x^2 - y^2}[/mm]
>
> Dann wäre ja
> dx = dx
> dy = dy (da beide von keiner anderen Variable
> abhängen)
> dz = [mm]\bruch{- x}{\wurzel{1- x^2 - y^2}}[/mm] -
> [mm]\bruch{y}{\wurzel{1 - x^2 - y^2}}[/mm]
>
> Wieso muss ich jetzt
>
> > [mm]dx \wedge dy, \ dx \wedge dz, \ dy \wedge dz[/mm]
>
> berechnen und in die obige Gleichung einsetzten? Woher
> kommt das? Das verstehe ich noch nicht so ganz... :-/
In der Aufgabe ist eine Parametrisierung angeben.
Unglücklicherweise wurden hier für die Parametrisierung auch die Parameter x,y,z gewählt.
Wähle deshalb die Parameter u, v für die Parametrisierung:
[mm]x=u[/mm]
[mm]y=v[/mm]
[mm]z=\wurzel{1- u^2 - v^2}[/mm]
>
> Liebe Grüße
> Kittycat
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Di 06.05.2008 | | Autor: | kittycat |
Ok, dann habe ich also:
x = u
y = v
z = [mm] \wurzel{1 - u^2 - v^2}
[/mm]
Dann wäre:
dx = 1
du = 1
dz = [mm] \bruch{-u}{\wurzel{1 - u^2 - v^2}} [/mm] - [mm] \bruch{v}{\wurzel{1 - u^2 - v^2}}
[/mm]
Und wieso muss ich jetzt
dx [mm] \wedge [/mm] dy, \ dx [mm] \wedge [/mm] dz, \ dy [mm] \wedge [/mm] dz
berechnen? Was bringt mir das?
Liebe Grüße
Kittycat
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Hallo kittycat,
> Ok, dann habe ich also:
>
> x = u
> y = v
> z = [mm]\wurzel{1 - u^2 - v^2}[/mm]
>
> Dann wäre:
> dx = 1
> du = 1
> dz = [mm]\bruch{-u}{\wurzel{1 - u^2 - v^2}}[/mm] -
> [mm]\bruch{v}{\wurzel{1 - u^2 - v^2}}[/mm]
>
> Und wieso muss ich jetzt
> dx [mm]\wedge[/mm] dy, \ dx [mm]\wedge[/mm] dz, \ dy [mm]\wedge[/mm] dz
> berechnen? Was bringt mir das?
Damit Du nachher über die Parameter u, v integrieren kannst.
>
> Liebe Grüße
> Kittycat
>
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 Mi 07.05.2008 | | Autor: | kittycat |
Hallo Mathepower,
> > x = u
> > y = v
> > z = [mm]\wurzel{1 - u^2 - v^2}[/mm]
> >
> > Dann wäre:
> > dx = 1
> > du = 1
> > dz = [mm]\bruch{-u}{\wurzel{1 - u^2 - v^2}}[/mm] -
> > [mm]\bruch{v}{\wurzel{1 - u^2 - v^2}}[/mm]
> >
> > Und wieso muss ich jetzt
> > dx [mm]\wedge[/mm] dy, \ dx [mm]\wedge[/mm] dz, \ dy [mm]\wedge[/mm] dz
> > berechnen? Was bringt mir das?
>
> Damit Du nachher über die Parameter u, v integrieren
> kannst.
Also so ganz verstanden habe ich das jetzt leider nicht?!?
Die Parameterdarstellung habe ich ja jetzt (siehe oben) und jetzt muss ich [mm] dx\wedge [/mm] dy, [mm] dy\wedge [/mm] dz und [mm] dx\wedge [/mm] dz berechnen. Wie soll ich das aber machen?
Ich hätte ja dann:
[mm] dx\wedge [/mm] dy = 1 [mm] \wedge [/mm] 1 = ?
[mm] dx\wedge [/mm] dz = 1 [mm] \wedge \bruch{-u}{\wurzel{1 - u^2 - v^2}} [/mm] - [mm] \bruch{v}{\wurzel{1 - u^2 - v^2}}
[/mm]
Und das muss ich jetzt in ein Integral einsetzen...
Bei uns im Skript ist das so definiert:
F p-dim. Flächenstück mit Parameterdarst. (A, X(t)), dann ist für [mm] \omega [/mm] = f [mm] dg_{1} \wedge [/mm] ... [mm] \wedge dg_{p} [/mm] definiert:
[mm] \integral_{F}{f dg_{1} \wedge ... \wedge dg_{p}} [/mm] := [mm] \integral_{A}{f(x(t)) det (\bruch{\partial g_{i}}{\partial t_{j}})dt_{1} ... dt_{p}}
[/mm]
Wäre mein f gleich 0, weil ich ja für [mm] d\omega [/mm] = 0 [mm] dx\wedge dy\wedge [/mm] dz erhalten habe?
Und setze ich dann die dx [mm] \wedge [/mm] dz, dx [mm] \wedge [/mm] dy und dy [mm] \wedge [/mm] dz dann in das [mm] \omega [/mm] aus der Aufgabenstellung ein?
Von was muss ich mein Integral dann bilden, wenn mein f = 0 ist?
Das blick ich nicht :-( *heul*
Kannst du mir das bitte noch einmal erklären, bitte??? Wäre echt nett ...
Liebe Grüße
Kittycat
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Hallo kittycat,
> Hallo Mathepower,
>
> > > x = u
> > > y = v
> > > z = [mm]\wurzel{1 - u^2 - v^2}[/mm]
> > >
> > > Dann wäre:
> > > dx = 1
> > > du = 1
> > > dz = [mm]\bruch{-u}{\wurzel{1 - u^2 - v^2}}[/mm] -
> > > [mm]\bruch{v}{\wurzel{1 - u^2 - v^2}}[/mm]
> > >
> > > Und wieso muss ich jetzt
> > > dx [mm]\wedge[/mm] dy, \ dx [mm]\wedge[/mm] dz, \ dy [mm]\wedge[/mm] dz
> > > berechnen? Was bringt mir das?
> >
> > Damit Du nachher über die Parameter u, v integrieren
> > kannst.
>
> Also so ganz verstanden habe ich das jetzt leider nicht?!?
> Die Parameterdarstellung habe ich ja jetzt (siehe oben)
> und jetzt muss ich [mm]dx\wedge[/mm] dy, [mm]dy\wedge[/mm] dz und [mm]dx\wedge[/mm] dz
> berechnen. Wie soll ich das aber machen?
>
> Ich hätte ja dann:
> [mm]dx\wedge[/mm] dy = 1 [mm]\wedge[/mm] 1 = ?
> [mm]dx\wedge[/mm] dz = 1 [mm]\wedge \bruch{-u}{\wurzel{1 - u^2 - v^2}}[/mm]
> - [mm]\bruch{v}{\wurzel{1 - u^2 - v^2}}[/mm]
>
> Und das muss ich jetzt in ein Integral einsetzen...
>
> Bei uns im Skript ist das so definiert:
> F p-dim. Flächenstück mit Parameterdarst. (A, X(t)), dann
> ist für [mm]\omega[/mm] = f [mm]dg_{1} \wedge[/mm] ... [mm]\wedge dg_{p}[/mm]
> definiert:
> [mm]\integral_{F}{f dg_{1} \wedge ... \wedge dg_{p}}[/mm] :=
> [mm]\integral_{A}{f(x(t)) det (\bruch{\partial g_{i}}{\partial t_{j}})dt_{1} ... dt_{p}}[/mm]
>
> Wäre mein f gleich 0, weil ich ja für [mm]d\omega[/mm] = 0 [mm]dx\wedge dy\wedge[/mm]
> dz erhalten habe?
Nein. Das was das im Integranden steht ist ein Teil von [mm]\omega[/mm]
> Und setze ich dann die dx [mm]\wedge[/mm] dz, dx [mm]\wedge[/mm] dy und dy
> [mm]\wedge[/mm] dz dann in das [mm]\omega[/mm] aus der Aufgabenstellung ein?
> Von was muss ich mein Integral dann bilden, wenn mein f =
> 0 ist?
>
> Das blick ich nicht :-( *heul*
> Kannst du mir das bitte noch einmal erklären, bitte???
Für Dich doch immer.
Wir haben also die Parameterdarstellung
[mm]x=u[/mm]
[mm]y=v[/mm]
[mm]z=\wurzel{1-u^{2}-v^{2}}[/mm]
Dann sind die vollständigen Differentiale gegeben durch
[mm]dx = x_{u}\ du + x_{v} \ dv = du[/mm]
[mm]dy = y_{u}\ du + y_{v} \ dv = dv[/mm]
[mm]dz = z_{u}\ du + z_{v} \ dv[/mm]
Demnach ist
[mm]dx \wedge dy = du \wedge dv[/mm]
[mm]dz \wedge dx = \left(z_{u}\ du + z_{v} \ dv \right) \wedge du[/mm]
[mm]dy \wedge dz=dv \wedge \left(z_{u}\ du + z_{v} \ dv \right)[/mm]
So dieses nun ausrechnen.
Willst Du die Formel vom Skript verwenden, so ist z.B.
[mm]\integral_{F}^{}{\bruch{x}{\left(\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)^{3}}dy \wedge dz}=\integral_{A}^{}{\bruch{x\left(u,v\right)}{\left(\wurzel{x^{2}\left(u,v\right)+y^{2}\left(u,v\right)+z^{2}\left(u,v\right)}\right)^{3}} \vmat{y_{u} & y_{v} \\ z_{u} & z_{v}} du \ dv}[/mm]
Das musst Du mit den anderen Teilen genauso machen, d.h. mit
[mm]\bruch{y}{\left(\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)^{3}}dz \wedge dx [/mm]
[mm]\bruch{z}{\left(\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)^{3}}dx \wedge dy [/mm]
> Wäre echt nett ...
> Liebe Grüße
> Kittycat
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:57 Do 08.05.2008 | | Autor: | kittycat |
Hallo Mathepower,
ahhhhh, jetzt blinkt es leicht in meinem kleinen Köpfchen =)
> > (Skript): F p-dim. Flächenstück mit Parameterdarst. (A, X(t)),
> dann
> > ist für [mm]\omega[/mm] = f [mm]dg_{1} \wedge[/mm] ... [mm]\wedge dg_{p}[/mm]
> > definiert:
> > [mm]\integral_{F}{f dg_{1} \wedge ... \wedge dg_{p}}[/mm] :=
> > [mm]\integral_{A}{f(x(t)) det (\bruch{\partial g_{i}}{\partial t_{j}})dt_{1} ... dt_{p}}[/mm]
Wir haben also folgendes:
> [mm]x=u[/mm]
> [mm]y=v[/mm]
> [mm]z=\wurzel{1-u^{2}-v^{2}}[/mm]
>
> Dann sind die vollständigen Differentiale gegeben durch
>
> [mm]dx = x_{u}\ du + x_{v} \ dv = du[/mm]
>
> [mm]dy = y_{u}\ du + y_{v} \ dv = dv[/mm]
>
> [mm]dz = z_{u}\ du + z_{v} \ dv[/mm]
dz [mm] =\bruch{- u}{\wurzel{1 - u^2 - v^2}}du [/mm] - [mm] \bruch{v}{\wurzel{1 - u^2 - v^2}}dv
[/mm]
> Demnach ist
>
> [mm]dx \wedge dy = du \wedge dv[/mm]
> [mm]dz \wedge dx = \left(z_{u}\ du + z_{v} \ dv \right) \wedge du[/mm]
[mm] dz\wedge [/mm] dx [mm] =\bruch{- v}{\wurzel{1 - u^2 - v^2}}dv\wedge [/mm] du
> [mm]dy \wedge dz=dv \wedge \left(z_{u}\ du + z_{v} \ dv \right)[/mm]
[mm] dy\wedge [/mm] dz [mm] =\bruch{- u}{\wurzel{1 - u^2 - v^2}}dv\wedge du\
[/mm]
> [mm]\integral_{F}^{}{\bruch{x}{\left(\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)^{3}}dy \wedge dz}=\integral_{A}^{}{\bruch{x\left(u,v\right)}{\left(\wurzel{x^{2}\left(u,v\right)+y^{2}\left(u,v\right)+z^{2}\left(u,v\right)}\right)^{3}} \vmat{y_{u} & y_{v} \\ z_{u} & z_{v}} du \ dv}[/mm]
Ich hab das jetzt mal versucht auszurechnen und bin soweit gekommen:
[mm] \integral_{F}{\bruch{x}{\wurzel{x^2 + y^2 + z^2}} dy\wedge dz}
[/mm]
[mm] =\integral_{A}{\bruch{x(u,v)}{(\wurzel{x^2(u,v) + y^2(u,v) + z^2(u,v)})^3}\vmat{ y_{u} & y_{v} \\ z_{u} & z_{v} }du dv}
[/mm]
[mm] =\integral_{A}{\bruch{u}{(\wurzel{u^2 + v^2 + (1 - u^2 - v^2)})^3}\vmat{ 0 & 1 \\ \bruch{- u}{\wurzel{1 - u^2 - v^2}} & \bruch{- v}{\wurzel{1 - u^2 - v^2}} }du dv}
[/mm]
= ...
[mm] =\integral_{A}{u (\bruch{u}{\wurzel{1 - u^2 - v^2}}) du dv}
[/mm]
[mm] =\integral_{A}{\bruch{u^2}{\wurzel{1 - u^2 - v^2}}du dv}
[/mm]
> [mm]\bruch{y}{\left(\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)^{3}}dz \wedge dx[/mm]
Hier erhalte ich mit derselben Vorgehensweise:
[mm] \integral_{A}{\bruch{v^2}{\wurzel{1 - u^2 - v^2}}du dv}
[/mm]
> [mm]\bruch{z}{\left(\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)^{3}}dx \wedge dy[/mm]
und hier:
[mm] \integral_{A}{z du dv}
[/mm]
Stimmt das so????
Nun hat sich mir die Frage gestellt:
Über welche Grenzen geht das Integral? Muss ich 0 bis [mm] 2\pi [/mm] einsetzen, weil es um die Kugel geht? Denn mein A müsste ja dann eigentlich mein S aus der Aufgabenstellung sein, oder?
Liebe Grüße und vielen Dank für die große Geduld!!!!!! (I appreciate it)
Kittycat
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Hallo kittycat,
> Hallo Mathepower,
>
> ahhhhh, jetzt blinkt es leicht in meinem kleinen Köpfchen
> =)
>
> > > (Skript): F p-dim. Flächenstück mit Parameterdarst. (A,
> X(t)),
> > dann
> > > ist für [mm]\omega[/mm] = f [mm]dg_{1} \wedge[/mm] ... [mm]\wedge dg_{p}[/mm]
> > > definiert:
> > > [mm]\integral_{F}{f dg_{1} \wedge ... \wedge dg_{p}}[/mm] :=
> > > [mm]\integral_{A}{f(x(t)) det (\bruch{\partial g_{i}}{\partial t_{j}})dt_{1} ... dt_{p}}[/mm]
>
> Wir haben also folgendes:
>
> > [mm]x=u[/mm]
> > [mm]y=v[/mm]
> > [mm]z=\wurzel{1-u^{2}-v^{2}}[/mm]
> >
> > Dann sind die vollständigen Differentiale gegeben durch
> >
> > [mm]dx = x_{u}\ du + x_{v} \ dv = du[/mm]
> >
> > [mm]dy = y_{u}\ du + y_{v} \ dv = dv[/mm]
> >
> > [mm]dz = z_{u}\ du + z_{v} \ dv[/mm]
>
> dz [mm]=\bruch{- u}{\wurzel{1 - u^2 - v^2}}du[/mm] -
> [mm]\bruch{v}{\wurzel{1 - u^2 - v^2}}dv[/mm]
>
> > Demnach ist
> >
> > [mm]dx \wedge dy = du \wedge dv[/mm]
>
>
> > [mm]dz \wedge dx = \left(z_{u}\ du + z_{v} \ dv \right) \wedge du[/mm]
>
> [mm]dz\wedge[/mm] dx [mm]=\bruch{- v}{\wurzel{1 - u^2 - v^2}}dv\wedge[/mm]
> du
>
>
>
> > [mm]dy \wedge dz=dv \wedge \left(z_{u}\ du + z_{v} \ dv \right)[/mm]
>
> [mm]dy\wedge[/mm] dz [mm]=\bruch{- u}{\wurzel{1 - u^2 - v^2}}dv\wedge du\[/mm]
>
>
> >
> [mm]\integral_{F}^{}{\bruch{x}{\left(\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)^{3}}dy \wedge dz}=\integral_{A}^{}{\bruch{x\left(u,v\right)}{\left(\wurzel{x^{2}\left(u,v\right)+y^{2}\left(u,v\right)+z^{2}\left(u,v\right)}\right)^{3}} \vmat{y_{u} & y_{v} \\ z_{u} & z_{v}} du \ dv}[/mm]
>
>
>
> Ich hab das jetzt mal versucht auszurechnen und bin soweit
> gekommen:
>
> [mm]\integral_{F}{\bruch{x}{\wurzel{x^2 + y^2 + z^2}} dy\wedge dz}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{A}{\bruch{x(u,v)}{(\wurzel{x^2(u,v) + y^2(u,v) + z^2(u,v)})^3}\vmat{ y_{u} & y_{v} \\ z_{u} & z_{v} }du dv}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{A}{\bruch{u}{(\wurzel{u^2 + v^2 + (1 - u^2 - v^2)})^3}\vmat{ 0 & 1 \\ \bruch{- u}{\wurzel{1 - u^2 - v^2}} & \bruch{- v}{\wurzel{1 - u^2 - v^2}} }du dv}[/mm]
>
> = ...
>
> [mm]=\integral_{A}{u (\bruch{u}{\wurzel{1 - u^2 - v^2}}) du dv}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{A}{\bruch{u^2}{\wurzel{1 - u^2 - v^2}}du dv}[/mm]
>
>
> > [mm]\bruch{y}{\left(\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)^{3}}dz \wedge dx[/mm]
>
> Hier erhalte ich mit derselben Vorgehensweise:
>
> [mm]\integral_{A}{\bruch{v^2}{\wurzel{1 - u^2 - v^2}}du dv}[/mm]
>
> > [mm]\bruch{z}{\left(\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)^{3}}dx \wedge dy[/mm]
>
> und hier:
>
> [mm]\integral_{A}{z du dv}[/mm]
>
> Stimmt das so????
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Und jetzt musste das nur zusammenzählen und dann darfste das integrieren.
>
> Nun hat sich mir die Frage gestellt:
> Über welche Grenzen geht das Integral? Muss ich 0 bis [mm]2\pi[/mm]
> einsetzen, weil es um die Kugel geht? Denn mein A müsste ja
> dann eigentlich mein S aus der Aufgabenstellung sein,
> oder?
Sicher ist das so.
Über die Frage der Grenzen. Die bekommst Du, wenn Du beachtest, daß
[mm]\wurzel{1-u^{2}-v^{2}}[/mm]
nur definiert ist, wenn
[mm]1-u^{2}-v^{2} \ge 0[/mm]
ist.
>
> Liebe Grüße und vielen Dank für die große Geduld!!!!!! (I
> appreciate it)
> Kittycat
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Do 08.05.2008 | | Autor: | kittycat |
Hallo Mathepower,
ja, endlich, das wird aber auch Zeit, dass ich das mal einigermaßen blicke
Nur deinen letzten Tip über die Grenzen habe ich nicht so ganz verstanden? Wieso muss dies gelten?
[mm] 1-u^{2}-v^{2} \ge [/mm] 0
Muss ich nicht von 0 bis [mm] 2\pi [/mm] integrieren?
> > Nun hat sich mir die Frage gestellt:
> > Über welche Grenzen geht das Integral? Muss ich 0 bis
> [mm]2\pi[/mm]
> > einsetzen, weil es um die Kugel geht? Denn mein A müsste ja
> > dann eigentlich mein S aus der Aufgabenstellung sein,
> > oder?
>
> Sicher ist das so.
>
>
> Über die Frage der Grenzen. Die bekommst Du, wenn Du
> beachtest, daß
>
> [mm]\wurzel{1-u^{2}-v^{2}}[/mm]
>
> nur definiert ist, wenn
>
> [mm]1-u^{2}-v^{2} \ge 0[/mm]
>
> ist.
Und wie soll man so etwas integrieren? Muss ich vorher rücksubstituieren?
Oder gibt es einen anderen Trick wie ich das auseinanderziehen kann zum integrieren? Das Aufleiten in den ersten beiden Fällen fällt mir schwer ...
Liebe Grüße
Kittycat
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Hallo kittycat,
> Hallo Mathepower,
> ja, endlich, das wird aber auch Zeit, dass ich das mal
> einigermaßen blicke
>
> Nur deinen letzten Tip über die Grenzen habe ich nicht so
> ganz verstanden? Wieso muss dies gelten?
>
> [mm]1-u^{2}-v^{2} \ge[/mm] 0
Weil z in Parameterdarstellung so lautet:
[mm]z=\wurzel{1-u^{2}-v^{2}}[/mm]
>
> Muss ich nicht von 0 bis [mm]2\pi[/mm] integrieren?
Nein. Du hast hier keine Polarkoordinaten.
>
> > > Nun hat sich mir die Frage gestellt:
> > > Über welche Grenzen geht das Integral? Muss ich 0
> bis
> > [mm]2\pi[/mm]
> > > einsetzen, weil es um die Kugel geht? Denn mein A müsste ja
> > > dann eigentlich mein S aus der Aufgabenstellung sein,
> > > oder?
> >
> > Sicher ist das so.
> >
> >
> > Über die Frage der Grenzen. Die bekommst Du, wenn Du
> > beachtest, daß
> >
> > [mm]\wurzel{1-u^{2}-v^{2}}[/mm]
> >
> > nur definiert ist, wenn
> >
> > [mm]1-u^{2}-v^{2} \ge 0[/mm]
> >
> > ist.
>
>
> Und wie soll man so etwas integrieren? Muss ich vorher
> rücksubstituieren?
> Oder gibt es einen anderen Trick wie ich das
> auseinanderziehen kann zum integrieren? Das Aufleiten in
> den ersten beiden Fällen fällt mir schwer ...
Eine geeignete Subsitution ist Dir beim Integrieren behilflich.
>
> Liebe Grüße
> Kittycat
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:11 Fr 09.05.2008 | | Autor: | kittycat |
Leider bin/war ich hiermit überfordert ... :-(
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Hallo kittycat,
wir sind uns soweit einig, daß das Integral so aussieht:
[mm]\integral_{F}^{}{\bruch{u^{2}+v^{2}}{\wurzel{1-u^{2}-v^{2}}}+\wurzel{1-u^{2}-v^{2}} \ du \wedge dv}=\integral_{}^{}{\integral_{}^{}{\bruch{u^{2}+v^{2}}{\wurzel{1-u^{2}-v^{2}}}+\wurzel{1-u^{2}-v^{2}} \ du} \ dv}[/mm]
Zuerst vereinfachen wir den Integranden:
[mm]\bruch{u^{2}+v^{2}}{\wurzel{1-u^{2}-v^{2}}}+\wurzel{1-u^{2}-v^{2}}=\bruch{u^{2}+v^{2}}{\wurzel{1-u^{2}-v^{2}}}+\wurzel{1-u^{2}-v^{2}}*\bruch{\wurzel{1-u^{2}-v^{2}}}{\wurzel{1-u^{2}-v^{2}}}[/mm]
[mm]=\bruch{u^{2}+v^{2}}{\wurzel{1-u^{2}-v^{2}}}+\bruch{1-u^{2}-v^{2}}{\wurzel{1-u^{2}-v^{2}}}=\bruch{1}{\wurzel{1-u^{2}-v^{2}}}[/mm]
Somit haben wir:
[mm]\integral_{}^{}{\integral_{}^{}{\bruch{u^{2}+v^{2}}{\wurzel{1-u^{2}-v^{2}}}+\wurzel{1-u^{2}-v^{2}} \ du} \ dv}=\integral_{}^{}{\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{1-u^{2}-v^{2}}} \ du} \ dv}[/mm]
Nun zu den Grenzen, da [mm]z=\wurzel{1-u^{2}-v^{2}}[/mm] gilt offenbar
[mm]0 \le 1-u^{2}-v^{2} \le 1[/mm]
Daraus ergeben sich:
[mm] 1-u^{2}-v^{2} \ge 0 \Rightarrow u^{2}+v^{2} \le 1[/mm]
[mm]\Rightarrow u^{2} \le 1-v^{2} \gdw \vmat{u} \le \wurzel{1-v^{2}}[/mm]
Und da [mm] 0 \le \wurzel{1-v^{2}} \le 1[/mm]gilt
[mm]1- v^{2} \ge 0 \Rightarrow v^{2} \le 1 \gdw \vmat{v} \le 1[/mm]
Demnach ist folgendes Integral zu lösen:
[mm]\integral_{-1}^{+1}{\integral_{ -\wurzel{1-v^{2}} }^{ +\wurzel{1-v^{2}} }{\bruch{1}{\wurzel{1-u^{2}-v^{2}}} \ du} \ dv}[/mm]
Nun wie löst man so ein Integral?
Substituiere hier: [mm]u=\wurzel{1-v^{2}}*\sin\left(t\right)[/mm]
Dann ist [mm]du = \wurzel{1-v^{2}}*\cos\left(t\right) \ dt [/mm]
Mit den Grenzen:
[mm]u_{2}=+\wurzel{1-v^{2}}=\wurzel{1-v^{2}}*\sin{t_{2}} \Rightarrow t_{2}=\bruch{\pi}{2}[/mm]
[mm]u_{1}=+\wurzel{1-v^{2}}=\wurzel{1-v^{2}}*\sin{t_{1}} \Rightarrow t_{1}=-\bruch{\pi}{2}[/mm]
Demnach ergibt sich:
[mm]\integral_{-1}^{+1}{\integral_{ -\wurzel{1-v^{2}} }^{ +\wurzel{1-v^{2}} }{\bruch{1}{\wurzel{1-u^{2}-v^{2}}} \ du} \ dv}=\integral_{-1}^{+1}{\integral_{ -\bruch{\pi}{2} }^{ +\bruch{\pi}{2}} }{\bruch{\wurzel{1-v^{2}}*\cos\left(t\right)}{\wurzel{1-v^{2}-\left(1-v^{2}\right)*\sin^{2}\left(t\right)}} \ dt} \ dv}[/mm]
[mm]=\integral_{-1}^{+1}{\integral_{ -\bruch{\pi}{2} }^{ +\bruch{\pi}{2}} }{\bruch{\wurzel{1-v^{2}}*\cos\left(t\right)}{\wurzel{1-v^{2}*\cos^{2}\left(t\right)}} \ dt} \ dv}=\integral_{-1}^{+1}{\integral_{ -\bruch{\pi}{2} }^{ +\bruch{\pi}{2}} }{1 \ dt} \ dv}[/mm]
So und jetzt kannst das auch Du lösen.
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:24 So 11.05.2008 | | Autor: | kittycat |
Hallo Mathepower,
vielen, vielen Dank für deine Hilfe. Soweit bin ich irgendwann auch gekommen
> Zuerst vereinfachen wir den Integranden:
>
> [mm]\bruch{u^{2}+v^{2}}{\wurzel{1-u^{2}-v^{2}}}+\wurzel{1-u^{2}-v^{2}}=\bruch{u^{2}+v^{2}}{\wurzel{1-u^{2}-v^{2}}}+\wurzel{1-u^{2}-v^{2}}*\bruch{\wurzel{1-u^{2}-v^{2}}}{\wurzel{1-u^{2}-v^{2}}}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{u^{2}+v^{2}}{\wurzel{1-u^{2}-v^{2}}}+\bruch{1-u^{2}-v^{2}}{\wurzel{1-u^{2}-v^{2}}}=\bruch{1}{\wurzel{1-u^{2}-v^{2}}}[/mm]
>
> Somit haben wir:
>
> [mm]\integral_{}^{}{\integral_{}^{}{\bruch{u^{2}+v^{2}}{\wurzel{1-u^{2}-v^{2}}}+\wurzel{1-u^{2}-v^{2}} \ du} \ dv}=\integral_{}^{}{\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{1-u^{2}-v^{2}}} \ du} \ dv}[/mm]
Nur das mit den Grenzen und der Substitution war zu schwer für mich. Wie kommt man auf so eine Substitution? Ich habe alles mögliche versucht zu substituieren, aber an cos und sin habe ich auf keinen Fall gedacht...
>
> Nun zu den Grenzen, da [mm]z=\wurzel{1-u^{2}-v^{2}}[/mm] gilt
> offenbar
>
> [mm]0 \le 1-u^{2}-v^{2} \le 1[/mm]
>
> Daraus ergeben sich:
>
> [mm]1-u^{2}-v^{2} \ge 0 \Rightarrow u^{2}+v^{2} \le 1[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow u^{2} \le 1-v^{2} \gdw \vmat{u} \le \wurzel{1-v^{2}}[/mm]
>
> Und da [mm]0 \le \wurzel{1-v^{2}} \le 1[/mm]gilt
>
> [mm]1- v^{2} \ge 0 \Rightarrow v^{2} \le 1 \gdw \vmat{v} \le 1[/mm]
>
> Demnach ist folgendes Integral zu lösen:
>
> [mm]\integral_{-1}^{+1}{\integral_{ -\wurzel{1-v^{2}} }^{ +\wurzel{1-v^{2}} }{\bruch{1}{\wurzel{1-u^{2}-v^{2}}} \ du} \ dv}[/mm]
>
> Nun wie löst man so ein Integral?
>
> Substituiere hier: [mm]u=\wurzel{1-v^{2}}*\sin\left(t\right)[/mm]
>
> Dann ist [mm]du = \wurzel{1-v^{2}}*\cos\left(t\right) \ dt[/mm]
>
> Mit den Grenzen:
>
> [mm]u_{2}=+\wurzel{1-v^{2}}=\wurzel{1-v^{2}}*\sin{t_{2}} \Rightarrow t_{2}=\bruch{\pi}{2}[/mm]
>
> [mm]u_{1}=+\wurzel{1-v^{2}}=\wurzel{1-v^{2}}*\sin{t_{1}} \Rightarrow t_{1}=-\bruch{\pi}{2}[/mm]
>
>
> Demnach ergibt sich:
>
> [mm]\integral_{-1}^{+1}{\integral_{ -\wurzel{1-v^{2}} }^{ +\wurzel{1-v^{2}} }{\bruch{1}{\wurzel{1-u^{2}-v^{2}}} \ du} \ dv}=\integral_{-1}^{+1}{\integral_{ -\bruch{\pi}{2} }^{ +\bruch{\pi}{2}} }{\bruch{\wurzel{1-v^{2}}*\cos\left(t\right)}{\wurzel{1-v^{2}-\left(1-v^{2}\right)*\sin^{2}\left(t\right)}} \ dt} \ dv}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{-1}^{+1}{\integral_{ -\bruch{\pi}{2} }^{ +\bruch{\pi}{2}} }{\bruch{\wurzel{1-v^{2}}*\cos\left(t\right)}{\wurzel{1-v^{2}*\cos^{2}\left(t\right)}} \ dt} \ dv}=\integral_{-1}^{+1}{\integral_{ -\bruch{\pi}{2} }^{ +\bruch{\pi}{2}} }{1 \ dt} \ dv}[/mm]
>
> So und jetzt kannst das auch Du lösen.
Ja, jetzt habe ich es auch geschafft, DANKESCHÖN, du warst eine große Hilfe
Liebe Grüße
Kittycat
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:09 So 11.05.2008 | | Autor: | MathePower |
Hallo kittycat,
> Hallo Mathepower,
>
> vielen, vielen Dank für deine Hilfe. Soweit bin ich
> irgendwann auch gekommen
>
> > Zuerst vereinfachen wir den Integranden:
> >
> >
> [mm]\bruch{u^{2}+v^{2}}{\wurzel{1-u^{2}-v^{2}}}+\wurzel{1-u^{2}-v^{2}}=\bruch{u^{2}+v^{2}}{\wurzel{1-u^{2}-v^{2}}}+\wurzel{1-u^{2}-v^{2}}*\bruch{\wurzel{1-u^{2}-v^{2}}}{\wurzel{1-u^{2}-v^{2}}}[/mm]
> >
> >
> [mm]=\bruch{u^{2}+v^{2}}{\wurzel{1-u^{2}-v^{2}}}+\bruch{1-u^{2}-v^{2}}{\wurzel{1-u^{2}-v^{2}}}=\bruch{1}{\wurzel{1-u^{2}-v^{2}}}[/mm]
> >
> > Somit haben wir:
> >
> >
> [mm]\integral_{}^{}{\integral_{}^{}{\bruch{u^{2}+v^{2}}{\wurzel{1-u^{2}-v^{2}}}+\wurzel{1-u^{2}-v^{2}} \ du} \ dv}=\integral_{}^{}{\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{1-u^{2}-v^{2}}} \ du} \ dv}[/mm]
>
> Nur das mit den Grenzen und der Substitution war zu schwer
> für mich. Wie kommt man auf so eine Substitution? Ich habe
> alles mögliche versucht zu substituieren, aber an cos und
> sin habe ich auf keinen Fall gedacht...
Da man daran interessiert ist, den Integranden so einfach wie möglich zu haben, wählt man eine geeeignete Subsitution.
Der Nenner stellt ja so was wie eine Kreisgleichung dar.
Und die Gleichung des Einheitskreises lautet bekanntlich [mm]y=\pm \wurzel{1-x^{2}}[/mm]
Die Parameterdarstellung des Einheitskreises ist wiederum
[mm]x=\cos\left(t\right), \ y = \sin\left(t\right)[/mm]
Die Grenzen für u und v folgen unmittelbar aus der Parameterdarstlellung von z.
>
> >
> > Nun zu den Grenzen, da [mm]z=\wurzel{1-u^{2}-v^{2}}[/mm] gilt
> > offenbar
> >
> > [mm]0 \le 1-u^{2}-v^{2} \le 1[/mm]
> >
> > Daraus ergeben sich:
> >
> > [mm]1-u^{2}-v^{2} \ge 0 \Rightarrow u^{2}+v^{2} \le 1[/mm]
> >
> > [mm]\Rightarrow u^{2} \le 1-v^{2} \gdw \vmat{u} \le \wurzel{1-v^{2}}[/mm]
>
> >
> > Und da [mm]0 \le \wurzel{1-v^{2}} \le 1[/mm]gilt
> >
> > [mm]1- v^{2} \ge 0 \Rightarrow v^{2} \le 1 \gdw \vmat{v} \le 1[/mm]
>
> >
> > Demnach ist folgendes Integral zu lösen:
> >
> > [mm]\integral_{-1}^{+1}{\integral_{ -\wurzel{1-v^{2}} }^{ +\wurzel{1-v^{2}} }{\bruch{1}{\wurzel{1-u^{2}-v^{2}}} \ du} \ dv}[/mm]
>
> >
> > Nun wie löst man so ein Integral?
> >
> > Substituiere hier: [mm]u=\wurzel{1-v^{2}}*\sin\left(t\right)[/mm]
> >
> > Dann ist [mm]du = \wurzel{1-v^{2}}*\cos\left(t\right) \ dt[/mm]
> >
>
> > Mit den Grenzen:
> >
> > [mm]u_{2}=+\wurzel{1-v^{2}}=\wurzel{1-v^{2}}*\sin{t_{2}} \Rightarrow t_{2}=\bruch{\pi}{2}[/mm]
>
> >
> > [mm]u_{1}=+\wurzel{1-v^{2}}=\wurzel{1-v^{2}}*\sin{t_{1}} \Rightarrow t_{1}=-\bruch{\pi}{2}[/mm]
>
> >
> >
> > Demnach ergibt sich:
> >
> > [mm]\integral_{-1}^{+1}{\integral_{ -\wurzel{1-v^{2}} }^{ +\wurzel{1-v^{2}} }{\bruch{1}{\wurzel{1-u^{2}-v^{2}}} \ du} \ dv}=\integral_{-1}^{+1}{\integral_{ -\bruch{\pi}{2} }^{ +\bruch{\pi}{2}} }{\bruch{\wurzel{1-v^{2}}*\cos\left(t\right)}{\wurzel{1-v^{2}-\left(1-v^{2}\right)*\sin^{2}\left(t\right)}} \ dt} \ dv}[/mm]
>
> >
> > [mm]=\integral_{-1}^{+1}{\integral_{ -\bruch{\pi}{2} }^{ +\bruch{\pi}{2}} }{\bruch{\wurzel{1-v^{2}}*\cos\left(t\right)}{\wurzel{1-v^{2}*\cos^{2}\left(t\right)}} \ dt} \ dv}=\integral_{-1}^{+1}{\integral_{ -\bruch{\pi}{2} }^{ +\bruch{\pi}{2}} }{1 \ dt} \ dv}[/mm]
>
> >
> > So und jetzt kannst das auch Du lösen.
>
> Ja, jetzt habe ich es auch geschafft, DANKESCHÖN, du warst
> eine große Hilfe
>
> Liebe Grüße
> Kittycat
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:17 Mo 12.05.2008 | | Autor: | kittycat |
vielen, vielen lieben Dank nochmal für die Erklärung!!!!
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