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Differentialform integrieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:56 So 22.01.2017
Autor: redhorse

Aufgabe
Hallo

folgende Aufgabe:

Sei $M = [mm] \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : x = yz \} [/mm] $

a) Bestimme die Orientierung von $M$
b) Sei $ [mm] \omega [/mm] = 2yz dz [mm] \wedge [/mm] dy + [mm] 2(y^2+z^2) [/mm] dx [mm] \wedge [/mm] dz + 6x dy [mm] \wedge [/mm] dx $. Berechne $ [mm] \int_K \omega [/mm] $ bzgl. der in a) gewählten Orientierung, wobei $ K = [mm] \{ (x,y,z) \in M : |y| \leq 1, |z| \leq 1 \} [/mm] $

Ich bräuchte eure Hilfe, denn diese Orientierungssache bei Untermannigfaltigkeiten verstehe ich noch nicht so ganz.

also erstmal zu b)
Wir haben einen Satz, der sagt: $ [mm] \int_K \omega [/mm] = [mm] \int_K [/mm] <f,v>$
Wobei $K$ eine Kompakte Teilmenge einer orientierbaren Hyperfläche $M$ (n-1 dim. Untermannigfaltigkeit) ist, $v: M [mm] \rightarrow \mathbb{R}^n [/mm] $ ein Einheitsnormalenfeld,
[mm] $\omega [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^n (-1)^{i-1} f_i dx_1 \wedge \dots \wedge \widehat{dx_i} \wedge \dots \wedge \dx_n [/mm] $ und $f = [mm] (f_1,\dots,f_n) [/mm] $.

Ich denke diesen Satz soll ich für diese Aufgabe benutzen. Also muss ich ein Einheitsnormalenfeld bestimmen, ich denke mal das ist bei a) gemeint oder?

also a)
ENF bestimmen:
$M$ kann ich ja auch als Nullstellenmenge einer Funktion beschreiben, nämlich der Funktion $g(x,y,z) = x - yz $.
Für ein $ (x,y,z) [mm] \in [/mm] M $ kann ich dann $v(x,y,z) = [mm] \frac{Dg(x,y,z)}{||Dg(x,y,z||} [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{1+z^2+y^2}}\begin{pmatrix}1\\-z\\-y\end{pmatrix}$ [/mm] definieren. Also habe ich mein ENF, also auch meine Orientierung? Oder brauch ich da noch mehr?

zurück zu b)
Wwenn ich mein [mm] $\omega [/mm] $ aus der Angabe erstmal in die Form umschreibe wie in dem angesprochenen Satz, dann ist
[mm] $\omega [/mm] = -6x dx [mm] \wedge [/mm] dy + [mm] 2(y^2+z^2)dx \wedge [/mm] dz - 2yz dy [mm] \wedge [/mm] dz $. Dann ist also
$ [mm] f_1(x,y,z) [/mm] = -6x $
$ [mm] f_2(x,y,z) [/mm] = -2 [mm] (y^2+z^2) [/mm] $
$ [mm] f_3(x,y,z) [/mm] = -2y $

also ist dann $ <f(x,y,z),v(x,y,z)> = [mm] \frac{1}{\sqrt{1+z^2+y^2}}(-6x [/mm] + [mm] 2z(y^2+z^2) [/mm] + [mm] 2y^2)$. [/mm]
Und $ [mm] \int_K \omega [/mm] = [mm] \int_K [/mm] <f,v> = [mm] \int_{-1}^1 \int_{-1}^1 \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1+z^2+y^2}}(-6x [/mm] + [mm] 2z(y^2+z^2) [/mm] + [mm] 2y^2) [/mm] dxdydz$

lg


Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=225800&start=0&lps=1647166#v1647166

        
Bezug
Differentialform integrieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:37 Mi 25.01.2017
Autor: huddel


> Hallo

Hi, also der ganze Differentialgeometriekram ist schon ein paar jahre her. Ich versuche mein bestes und hoffe, dass ich nicht irgendwas übersehe.

> folgende Aufgabe:
>  
> Sei [mm]M = \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : x = yz \}[/mm]
>  
> a) Bestimme die Orientierung von [mm]M[/mm]
>  b) Sei [mm]\omega = 2yz dz \wedge dy + 2(y^2+z^2) dx \wedge dz + 6x dy \wedge dx [/mm].
> Berechne [mm]\int_K \omega[/mm] bzgl. der in a) gewählten
> Orientierung, wobei [mm]K = \{ (x,y,z) \in M : |y| \leq 1, |z| \leq 1 \}[/mm]

Sollte hier nich auch $|x| [mm] \leq [/mm] 1$ gelten? Zumindest nutzt du das später bei der Inetragtion

> Ich bräuchte eure Hilfe, denn diese Orientierungssache bei
> Untermannigfaltigkeiten verstehe ich noch nicht so ganz.
>  
> also erstmal zu b)
>  Wir haben einen Satz, der sagt: [mm]\int_K \omega = \int_K [/mm]
>  
> Wobei [mm]K[/mm] eine Kompakte Teilmenge einer orientierbaren
> Hyperfläche [mm]M[/mm] (n-1 dim. Untermannigfaltigkeit) ist, [mm]v: M \rightarrow \mathbb{R}^n[/mm]
> ein Einheitsnormalenfeld,
> [mm]\omega = \sum_{i=1}^n (-1)^{i-1} f_i dx_1 \wedge \dots \wedge \widehat{dx_i} \wedge \dots \wedge \dx_n[/mm]
> und [mm]f = (f_1,\dots,f_n) [/mm].
>  
> Ich denke diesen Satz soll ich für diese Aufgabe benutzen.
> Also muss ich ein Einheitsnormalenfeld bestimmen, ich denke
> mal das ist bei a) gemeint oder?

Jain, das mit der Orientierung ist ein wenig... schwierig... du gibst eine Basis des Tangentialraums an und sagst diese ist positiv orientiert. Damit kannst du bei allen weiteren Basen sagen, ob diese positive oder negative Orientierung hat. Du könntest aber genau so gut behaupten, dass deine Basis negativ orientiert ist. Damit dreht sich alles um. Lange Rede, kurzer Sinn: eigentlich ist genau das in a gefragt, nur nicht so ganz.
Was du noch zeigen solltest, dass die gewähle Orientierung stetig vom Fußpunkt abhängt, aber das ist hier ziemlich trivial, da du nur eine Karte hast.

> also a)
>  ENF bestimmen:
>  [mm]M[/mm] kann ich ja auch als Nullstellenmenge einer Funktion
> beschreiben, nämlich der Funktion [mm]g(x,y,z) = x - yz [/mm].
>  
> Für ein [mm](x,y,z) \in M[/mm] kann ich dann [mm]v(x,y,z) = \frac{Dg(x,y,z)}{||Dg(x,y,z||} = \frac{1}{\sqrt{1+z^2+y^2}}\begin{pmatrix}1\\-z\\-y\end{pmatrix}[/mm]
> definieren. Also habe ich mein ENF, also auch meine
> Orientierung? Oder brauch ich da noch mehr?

für die b. nicht.

> zurück zu b)
>  Wwenn ich mein [mm]\omega[/mm] aus der Angabe erstmal in die Form
> umschreibe wie in dem angesprochenen Satz, dann ist
>  [mm]\omega = -6x dx \wedge dy + 2(y^2+z^2)dx \wedge dz - 2yz dy \wedge dz [/mm].
> Dann ist also
> [mm]f_1(x,y,z) = -6x[/mm]
>  [mm]f_2(x,y,z) = -2 (y^2+z^2)[/mm]
>  [mm]f_3(x,y,z) = -2y[/mm]

hier hab ich jetzt nicht genau nachgerechnet, aber ich denke du hast verstanden, um was es geht.

> also ist dann [mm] = \frac{1}{\sqrt{1+z^2+y^2}}(-6x + 2z(y^2+z^2) + 2y^2)[/mm].
> Und [mm]\int_K \omega = \int_K = \int_{-1}^1 \int_{-1}^1 \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1+z^2+y^2}}(-6x + 2z(y^2+z^2) + 2y^2) dxdydz[/mm]

hier weiß ich nicht, ob die Integration über $x$ von -1 bis 1 geht, da das oben nicht steht, aber sonst sieht es gut aus.

> lg
>  
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=225800&start=0&lps=1647166#v1647166

LG
der Huddel :)


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