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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:58 Do 20.10.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo, Leute!
Ich hab hier eine Aufgabe, und ich weiß auch, wie man sie eigentlich löst, allerdings komme ich nicht weiter. ich hab bis jetzt meinen fehler auch nicht gefunden. ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen. danke!
Folgende Sachen sind gegeben:
s [mm] \in \IR [/mm] fest
[mm] \alpha [/mm] : [0,1] [mm] \to \IR^{2} [/mm] mit [mm] \alpha(t) [/mm] = (s, 2 [mm] \pi [/mm] t) Weg
f: [mm] \IR^{2} \to \IR^{2} [/mm] mit f(r, [mm] \beta) [/mm] = (r [mm] cos\beta, [/mm] r sin [mm] \beta) [/mm] Polarkoordinatenabbildung.
Ich soll nun zunächst die Differentialform w= [mm] x^{2} [/mm] dy - y dx über den Bildweg f [mm] \circ \alpha [/mm] integrieren.
und so bin ich vorgegangen:
zunächst noch ne andere frage: ist es falsch, wenn ich sage:
w= [mm] x^{2} [/mm] dy - y dx = w(x,y) = [mm] (-y,x^{2})?
[/mm]
ich hab erst versucht, eine stammfunktion für w=dk zu suchen, bin aber auf keine gekommen, also bin ich anders vorgegangen.
[mm] \integral_{f \circ \alpha }^{} [/mm] {w(x,y)}
= [mm] \integral_{f \circ \alpha }^{} {x^{2} dy - y dx } [/mm]
= [mm] \integral_{f \circ \alpha }^{} {x^{2} dy} [/mm] - [mm] \integral_{f \circ \alpha}^{} [/mm] {y dx}
= [mm] \integral_{0}^{1} [/mm] {(f [mm] \circ \alpha)*x^{2} [/mm] dy} - [mm] \integral_{0}^{1} [/mm] {(f [mm] \circ \alpha)*y [/mm] dx}
ich hab die grenzen o und 1 eingesetzt, weil es der definitionsbereich von [mm] \alpha [/mm] ist.
jetzt habe ich einfach folgendes gesetzt:
h' (y) = [mm] x^{2} [/mm] und g'(x) = y
Also:
= [mm] \integral_{0}^{1} [/mm] {(f [mm] \circ \alpha)* [/mm] h'(y)} - [mm] \integral_{0}^{1} [/mm] {(f [mm] \circ \alpha)* [/mm] g'(x)}
= [mm] \integral_{0}^{1} [/mm] {h'((f [mm] \circ \alpha)(y)) [/mm] D(f [mm] \circ \alpha)(y)} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{1} [/mm] {g'((f [mm] \circ \alpha)(x)) [/mm] D(f [mm] \circ \alpha)(x)}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{1} [/mm] {h'(f [mm] (\alpha(y))) Df(\alpha(y)) D\alpha(y)} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{1} [/mm] {g'(f [mm] (\alpha(x))) Df(\alpha(x)) D\alpha(x)}
[/mm]
dann kann ich das f [mm] (\alpha(x)), Df(\alpha(x)) [/mm] und [mm] D\alpha(x) [/mm] weiterumschreiben, aber wie mach ich dann weiter?
bei f [mm] (\alpha(x)) [/mm] komme ich nach umformen auf 2 koordinaten. aber in h' (bzw. g') kann ich diese koordinaten nicht einsetzen.
könnt ihr mir bitte hier weiterhelfen? vielen dank im voraus!
VHN
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Hallo VHN,
nimms mir nicht übel, wenn ich nicht direkt auf deinen lösungsversuch eingehe, ich steige da zum schluß nicht mehr durch... 
ich erkläre dir stattdessen lieber, wie ich dieses integral berechnen würde. Um ein gefühl für solche integrale zu bekommen, würde ich an deiner stelle nicht ganz so abstrakt vorgehen, dh konkret: schreibe dir mal deinen weg [mm] $f\circ\alpha:[0,1]\to \IR^2$ [/mm] hin.
Du hast dann eine $x$- und eine $y$-Komponente, die jeweils von $t$ abhängen. Um über diesen Weg nun eine 1-Form zu integrieren, setzt du unter dem integral einfach statt $x$ die $x$-Komponente ein (für $y$ analog) und für $dx$ und $dy$ die entsprechenden eindimensionalen Differentiale (also die komponenten jeweils nach $t$ abgeleitet und mit $dt$ multipliziert). Somit erhälst du integrale in $t$ über das einheitsintervall, die du (hoffentlich!) wie gewohnt ausrechnen kannst.
Viele Grüße
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 Sa 22.10.2005 | | Autor: | VHN |
hallo matthias!
erst mal danke für deine antwort. ich habe nun versucht es so zu machen, wie du es in deiner antwort beschrieben hast, obwohl mir nicht wirklich klar ist, warum man das so machen kann.
allerdings komme ich auch hier nicht ganz weiter, wahrscheinlich weil mir so einige rechengesetze nicht mehr ganz geläufig sind.
könntest du mir bitte zeigen, wie ich hier weitermache? danke!
also:
mein bildweg sieht doch so aus:
f [mm] \circ \alpha [/mm] : [0,1] [mm] \to [/mm] \ [mm] \IR^{2}
[/mm]
[mm] f(\alpha(t)) [/mm] = f (s, [mm] 2t\pi [/mm] t) = (s cos(2 [mm] \pi [/mm] t), s sin(2 [mm] \pi [/mm] t))
[mm] \integral_{f \circ \alpha}^{} [/mm] {w} = [mm] \integral_{0}^{1} [/mm] {(s cos(2 [mm] \pi t))^{2} [/mm] d(s sin(2 [mm] \pi [/mm] t)) - s sin(2 [mm] \pi [/mm] t) d(s cos(2 [mm] \pi [/mm] t)}
ich hab hier statt dem x (in w) die x-komponente von f [mm] \circ \alpha [/mm] eingesetzt, analog für y (in w). stimmt das bis hierhin?
und hier ist auch schon mein erstes problem: stimmt die folgende anleitung nach t?
d(s sin(2 [mm] \pi [/mm] t)) = s cos(2 [mm] \pi [/mm] t) [mm] 2\pi
[/mm]
wenn ja, dann hab ich so weitergemacht:
... = [mm] \integral_{0}^{1} {s^{2} (cos(2 \pi t))^{2} s cos(2 \pi t) 2\pi dt
- s sin(2 \pi t) (-s sin(2 \pi t) 2\pi dt}
[/mm]
= [mm] 2\pi s^{3} \integral_{0}^{1} [/mm] {cos(2 [mm] \pi t))^{3} [/mm] dt} + [mm] 2\pi s^{2} \integral_{0}^{1} [/mm] {sin(2 [mm] \pi t))^{2} [/mm] dt}
und hier ist mein zweites rechenproblem: wie integriere ich cos(2 [mm] \pi t))^{3} [/mm] bzw. sin(2 [mm] \pi t))^{2}?
[/mm]
etwa mithilfe von partieller integration? ich habe es versucht, aber es kommt nix gescheites heraus:
[mm] \integral_{0}^{1} [/mm] {cos(2 [mm] \pi t))^{3}dt} [/mm] = [mm] [\bruch{1}{2\pi} [/mm] sin(2 [mm] \pi [/mm] t) (cos(2 [mm] \pi t))^{2}] [/mm] + 2 [mm] \integral_{0}^{1} [/mm] {(sin(2 [mm] \pi t))^{2} [/mm] cos(2 [mm] \pi [/mm] t) dt}
der erste term [...] fällt weg, weil sin(2 [mm] \pi [/mm] t) = 0 ist für t=0,1.
nun weiß ich nicht, wie ich weitermachen soll. integriere ich weiter mit partieller integration, so kommt immer dasselbe raus.
ich wäre dir, matthias, oder auch allen anderen so dankbar, wenn ihr mir sagen könntet, ob ich bis hierhin alles richtig gemacht habe, und wo mein fehler liegt.
vielen danke!
VHN
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Hallo VHN,
> hallo matthias!
>
> erst mal danke für deine antwort. ich habe nun versucht es
> so zu machen, wie du es in deiner antwort beschrieben hast,
> obwohl mir nicht wirklich klar ist, warum man das so machen
> kann.
> allerdings komme ich auch hier nicht ganz weiter,
> wahrscheinlich weil mir so einige rechengesetze nicht mehr
> ganz geläufig sind.
> könntest du mir bitte zeigen, wie ich hier weitermache?
> danke!
>
> also:
> mein bildweg sieht doch so aus:
> f [mm]\circ \alpha[/mm] : [0,1] [mm]\to[/mm] \ [mm]\IR^{2}[/mm]
> [mm]f(\alpha(t))[/mm] = f (s, [mm]2t\pi[/mm] t) = (s cos(2 [mm]\pi[/mm] t), s sin(2
> [mm]\pi[/mm] t))
>
> [mm]\integral_{f \circ \alpha}^{}[/mm] {w} = [mm]\integral_{0}^{1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{(s
> cos(2 [mm]\pi t))^{2}[/mm] d(s sin(2 [mm]\pi[/mm] t)) - s sin(2 [mm]\pi[/mm] t) d(s
> cos(2 [mm]\pi[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
t)}
>
> ich hab hier statt dem x (in w) die x-komponente von f
> [mm]\circ \alpha[/mm] eingesetzt, analog für y (in w). stimmt das
> bis hierhin?
>
> und hier ist auch schon mein erstes problem: stimmt die
> folgende anleitung nach t?
> d(s sin(2 [mm]\pi[/mm] t)) = s cos(2 [mm]\pi[/mm] t) [mm]2\pi[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> wenn ja, dann hab ich so weitergemacht:
> ... = [mm]\integral_{0}^{1} {s^{2} (cos(2 \pi t))^{2} s cos(2 \pi t) 2\pi dt
- s sin(2 \pi t) (-s sin(2 \pi t) 2\pi dt}[/mm]
>
> = [mm]2\pi s^{3} \integral_{0}^{1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{cos(2 [mm]\pi t))^{3}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
dt} +
> [mm]2\pi s^{2} \integral_{0}^{1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{sin(2 [mm]\pi t))^{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
dt}
>
> und hier ist mein zweites rechenproblem: wie integriere ich
> cos(2 [mm]\pi t))^{3}[/mm] bzw. sin(2 [mm]\pi t))^{2}?[/mm]
Hier verwendest Du Additionstheoreme.
[mm]
\begin{gathered}
\cos ^3 \left( {2\;\pi \;t} \right)\; = \;\cos \left( {2\;\pi \;t} \right)\;\left( {1\; - \;\sin ^2 \left( {2\;\pi \;t} \right)} \right) \hfill \\
\sin ^2 \left( {2\;\pi \;t} \right)\; = \;\frac{{1\; - \;\cos \left( {4\;\pi \;t} \right)}}
{2} \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
> etwa mithilfe
> von partieller integration? ich habe es versucht, aber es
> kommt nix gescheites heraus:
> [mm]\integral_{0}^{1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{cos(2 [mm]\pi t))^{3}dt}[/mm] =
> [mm][\bruch{1}{2\pi}[/mm] sin(2 [mm]\pi[/mm] t) (cos(2 [mm]\pi t))^{2}][/mm] + 2
> [mm]\integral_{0}^{1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{(sin(2 [mm]\pi t))^{2}[/mm] cos(2 [mm]\pi[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
t) dt}
> der erste term [...] fällt weg, weil sin(2 [mm]\pi[/mm] t) = 0 ist
> für t=0,1.
> nun weiß ich nicht, wie ich weitermachen soll. integriere
> ich weiter mit partieller integration, so kommt immer
> dasselbe raus.
Der Integrand des rechtsstehenden Integrals ist bis auf einen konstanten Faktor sowas wie
[mm]\int\limits_0^1 {f^2 \;f'\;dt} [/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 Mo 24.10.2005 | | Autor: | VHN |
hallo mathepower!
erstmal danke für deine hilfe!
aber leider habe ich wieder ein problem, das ich nicht lösen kann.
ich hoffe, du kannst mir da weiterhelfen.
ich habe nun wie du gesagt hast, die additionstheoreme benützt und versucht zu integrieren, aber ich komm leider wieder nicht auf ein ergebnis.
soweit bin ich gekommen:
... = [mm] 4\pi^{2}s^{3} \integral_{0}^{1} {cos(2\pi t) (1-sin^{2}(2\pi t) dt}
[/mm]
= ... = [mm] 4\pi^{2}s^{3} \integral_{0}^{1} {cos(2\pi t) (\bruch{1}{2} + \bruch{cos(4\pi t)}{2}) dt}
[/mm]
= [mm] 4\pi^{2}s^{3} \integral_{0}^{1} {\bruch{1}{2}cos(2\pi t) + \bruch{1}{2} cos(4\pi t) cos(2\pi t) dt}
[/mm]
= ... = [mm] 2\pi^{2}s^{3} \integral_{0}^{1} {cos(2\pi t)} [/mm] + [mm] 2\pi^{2}s^{3} \integral_{0}^{1} {cos(4\pi t) cos(2\pi t) dt}
[/mm]
wenn ich nun den ersten term integriere, kommt 0 heraus, weil ja der [mm] sin(2\pi [/mm] t) = 0 für t=0,1.
aber wie integriere ich jetzt weiter den zweiten term? ich hab schon geschaut, aber ich wüsste jetzt nicht, wie ich das mit additionstheoremen machen könnte.
kannst du mir bitte helfen? langsam verzweifle ich an diesem "teufelskreis".
vielen dank!
VHN
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Hallo VHN,
> hallo mathepower!
>
> erstmal danke für deine hilfe!
> aber leider habe ich wieder ein problem, das ich nicht
> lösen kann.
> ich hoffe, du kannst mir da weiterhelfen.
>
> ich habe nun wie du gesagt hast, die additionstheoreme
> benützt und versucht zu integrieren, aber ich komm leider
> wieder nicht auf ein ergebnis.
>
> soweit bin ich gekommen:
> ... = [mm]4\pi^{2}s^{3} \integral_{0}^{1} {cos(2\pi t) (1-sin^{2}(2\pi t) dt}[/mm]
>
> = ... = [mm]4\pi^{2}s^{3} \integral_{0}^{1} {cos(2\pi t) (\bruch{1}{2} + \bruch{cos(4\pi t)}{2}) dt}[/mm]
>
> = [mm]4\pi^{2}s^{3} \integral_{0}^{1} {\bruch{1}{2}cos(2\pi t) + \bruch{1}{2} cos(4\pi t) cos(2\pi t) dt}[/mm]
>
> = ... = [mm]2\pi^{2}s^{3} \integral_{0}^{1} {cos(2\pi t)}[/mm] +
> [mm]2\pi^{2}s^{3} \integral_{0}^{1} {cos(4\pi t) cos(2\pi t) dt}[/mm]
>
> wenn ich nun den ersten term integriere, kommt 0 heraus,
> weil ja der [mm]sin(2\pi[/mm] t) = 0 für t=0,1.
> aber wie integriere ich jetzt weiter den zweiten term? ich
> hab schon geschaut, aber ich wüsste jetzt nicht, wie ich
> das mit additionstheoremen machen könnte.
> kannst du mir bitte helfen? langsam verzweifle ich an
> diesem "teufelskreis".
ich habe das so gemeint, daß Du das erste Additionstheorem auf das Integral [mm]\int {\cos ^3 \left( {2\;\pi \;t} \right)\;dt} [/mm] anwendest:
[mm]
\begin{gathered}
f(t)\; = \;\sin \left( {2\;\pi \;t} \right) \hfill \\
f'(t)\; = \;2\;\pi \;\cos \left( {2\;\pi \;t} \right) \hfill \\
s^3 \int {\cos \left( {2\;\pi \;t} \right)\;\left( {1\; - \;\sin ^2 \left( {2\;\pi \;t} \right)} \right)\;dt} \hfill \\
= \;\frac{{s^3 }}
{{2\;\pi }}\int {f'(t)\;\left( {1\; - \;f^2 \left( t \right)} \right)\;dt} \hfill \\
= \;\frac{{s^3 }}
{{2\;\pi }}\;\int {f'(t)\;dt} \; - \;\frac{{s^3 }}
{{2\;\pi }}\int {f'(t)\;f^2 \left( t \right)\;dt} \hfill \\
= \;\frac{{s^3 }}
{{2\;\pi }}\;f(t)\; - \;\frac{{s^3 }}
{{6\;\pi }}\;f^3 \left( t \right) \hfill \\
= \;\frac{{s^3 }}
{{2\;\pi }}\;\sin \left( {2\;\pi \;t} \right)\; - \;\frac{{s^3 }}
{{6\;\pi }}\;\sin ^3 \left( {2\;\pi \;t} \right) \hfill \\
\end{gathered}
[/mm]
Und das zweite Additionstheorem ist dann auf das Integral [mm]\int {\sin ^2 \left( {2\;\pi \;t} \right)\;dt} [/mm] anzuwenden.
So, ich hoffe Du kannst das jetzt nachvollziehen.
Nebenbei bemerkt: Der Faktor [mm]4 \pi^2[/mm] stimmt nicht. Nach meiner Rechnung habe ich nur einen Faktor [mm]2 \pi[/mm].
Gruß
MathePower
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