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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:31 Di 05.02.2008 | | Autor: | Irmchen |
| Aufgabe | Berechnen Sie die folgenden Differentialformen:
(i) [mm] df [/mm] für [mm] f \in \Omega^0 ( \mathbb R^2, \mathbb R ); & f(x,y) = 3x - \cos(y) + ye^{x^2} [/mm]
(ii) [mm] d \omega [/mm] für [mm] \omega \in \Omega^1 ( \mathbb R^3, \mathbb R ), & \omega = 10xy dx + ( 5x^2 - \cos(z) ) dy + y \sin (z) dz [/mm]
(iii) [mm] df \wedge d \omega [/mm]
(iv) [mm] g^{ \*} \nu [/mm] für [mm] g: \mathbb R^2 \to \mathbb R^2 , & g(x,y) = ( x \cos(y), x \sin(y) ) [/mm] und [mm] \nu \in \Omega^1 ( \mathbb R^2, \mathbb R ), \nu = e^{x^2 + y^2 } dx + 2xy^2 dy [/mm] |
Guten Abend!
Ich komme hier leider nicht weiter.
(i) Da f eine 0-Form ist, ist das Ergebnis
[mm] df = \bruch{ \partial f }{ \partial x } dx + \bruch{ \partial f}{ \partial y } dy [/mm]
[mm] = (3 - ye^{x} dx) +( \sin(y) + e^{x} dy ) [/mm]
Richtig?
(ii)Hier habn wir eine 1- Form. Deswegen ist
[mm] d \omega = d ( 10xy dx + ( 5x^2 - \cos(z) ) dy + y \sin (z) dz ) [/mm]
[mm] = d 10xy \wedge dx + 1o xy \wedge ddx + d(5x^2 - \cos(z)) \wedge dy + ( 5x^2 - \cos(z) \wedge ddy ) + d y \sin(z) \wedge dz + y \sin(z) \wegde ddz [/mm]
[mm] = d 10xy \wedge dx + d(5x^2 - \cos(z)) \wedge dy + d y \sin(z) \wedge dz [/mm].
Hier komme ich leider nicht weiter :-(.
Viele Grüße
Irmchen
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(i)
Heißt es nun [mm]y \operatorname{e}^x[/mm] oder [mm]y \operatorname{e}^{x^2}[/mm]? Des weiteren stimmen die Vorzeichen im Ergebnis nicht, und auch die Differentiale stehen falsch. Ich hatte dich schon hier darauf hingewiesen, daß zwischen dem Integranden und dem Differential eine formale Multiplikation besteht. Genau so ist das auch hier bei Differentialformen. Bei einfachen Integralen fällt dieser Pfusch nicht auf. Hier aber trifft es den Nerv.
(ii)
Du beginnst richtig, aber dann wird die Klammersetzung wieder konfus, so daß man nicht sagen kann, wo eigentlich der Fehler liegt. Ich rechne dir das einmal vor:
Additivität von [mm]\mathrm{d}[/mm]:
[mm]\mathrm{d} \omega = \mathrm{d} \left( 10xy ~ \mathrm{d}x \right) + \mathrm{d} \left( \left( 5x^2 - \cos z \right) \mathrm{d}y \right) + \mathrm{d} \left( y \sin z ~ \mathrm{d}z \right)[/mm]
Regel [mm]\mathrm{d} \left( u ~ \mathrm{d}x \right) = \mathrm{d}u \wedge \mathrm{d}x[/mm], wenn [mm]u[/mm] eine 0-Form ist:
[mm]\mathrm{d} \omega = \mathrm{d} \left( 10xy \right) \wedge \mathrm{d}x + \mathrm{d} \left(5x^2 - \cos z \right) \wedge \mathrm{d}y + \mathrm{d} \left( y \sin z \right) \wedge \mathrm{d}z[/mm]
Regel [mm]\mathrm{d}u = \frac{\partial u}{\partial x} ~ \mathrm{d}x + \frac{\partial u}{\partial y} ~ \mathrm{d}y + \frac{\partial u}{\partial z} ~ \mathrm{d}z[/mm]:
[mm]\mathrm{d} \omega = \left( 10y ~ \mathrm{d}x + 10x ~ \mathrm{d}y \right) \wedge \mathrm{d}x + \left( 10x ~ \mathrm{d}x + \sin z ~ \mathrm{d}z \right) \wedge \mathrm{d}y + \left( \sin z ~ \mathrm{d}y + y \cos z ~ \mathrm{d}z \right) \wedge \mathrm{d}z[/mm]
Und jetzt muß man das Dachprodukt distributiv ausmultiplizieren. Die Funktionsterme werden wie Skalare behandelt und nach vorne gezogen. Ein Ausdruck der Form [mm]u ~ \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}x[/mm] verschwindet dabei. Die Reihenfolge der Faktoren des Dachproduktes ist zu berücksichtigen.
Das Dachprodukt ist antikommutativ: [mm]\mathrm{d}y \wedge \mathrm{d}x = - \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y[/mm]. Du kannst daher entsprechend vertauschen, wenn du das Vorzeichen änderst, und weiter vereinfachen. Was bekommst du für [mm]\mathrm{d} \omega[/mm] heraus?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:20 Mi 06.02.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Abend!
So, dass sind meine Ergebnisse zu dieser Aufgabe und hoffe die richtigen Ergebnisse...
(i)
[mm] df = ( 3 + 2xye^{x^2} ) dx + ( \sin(y) + e^{x^2} ) dy [/mm]
Also erhalte ich hier eine 1-Form.
(ii)
[mm] d \omega = ( 10y dx + 10x dy ) \wedge dx + ( 10x dx + \sin(z) dz ) \wedge dy + ( \sin(z) dy + y \cdot \cos(z) dz ) \wegde dz [/mm]
[mm] = 10 x dy \wedge dz + 10x dx \wedge dy + \sin(z) dz \wedge dy + \sin(z) dy \wedge dz = 0 [/mm]
(iii)
[mm]
df \wedge dx = ( ( 3 + 2xye^{x^2} ) dx + ( \sin(y) + e^{x^2} ) dy ) \wedge dx [/mm]
[mm] = - ( \sin(y) + e^{x^2} ) dx \wedge dy [/mm]
(iv)
[mm] g^{\*} \nu = g^{\*} (e^{x^2 + y^2 } dx + 2xy^2 dy ) [/mm]
[mm] g(x,y) = (x \cos(y), x \sin(y) ) [/mm]
Somit ist:
[mm] g^{\*} \nu = g^{\*} (e^{x^2 + y^2 } dx + 2xy^2 dy ) [/mm]
[mm] g^{\*} ( e^{x^2 + y^2 } ) \wedge g^{\*} (dx) +g^{\*} ( 2xy^2 ) \wedge g^{\*} (dy) [/mm]
[mm] e^{x^2 \cos^2 (y) + x^2 \sin^2 (y) } \wedge ( \cos(y) dx - x \sin(y) dy ) + 2 x \cos(y) \cdot x^2 \sin^2 (y) \wedge ( \sin (y) dx + x \cos(y) dy ) [/mm]
[mm] ( e^{x^2 } \cdot \cos(y) + 2 x^3 \cos(y) \sin^2 (y) ) dx + ( - e^{x^2} x \sin(y) + 2 x^4 \cos^2 (y ) \sin ^2(y) ) dy [/mm]
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Hi Irmchen!
Ich schon wieder!
I) Korrekt
II) den letzten Schritt bei Dir verstehe ich nicht.
$ d [mm] \omega [/mm] = ( 10y dx + 10x dy ) [mm] \wedge [/mm] dx + ( 10x dx + [mm] \sin(z) [/mm] dz ) [mm] \wedge [/mm] dy + ( [mm] \sin(z) [/mm] dy + y [mm] \cdot \cos(z) [/mm] dz ) [mm] \wegde [/mm] dz $ hab ich auch. Aber wenn Du dann weiter rechnest, kommst Du doch mit dxdx = 0 auf
$ d [mm] \omega [/mm] = 10x dy dx + 10x dx dy + [mm] \sin(z)dzdy [/mm] + [mm] \sin(z) [/mm] dydz $
Nun folgt mit der Antisymmetrie doch das
$ d [mm] \omega [/mm] = 0$
III) Korrekt
IV) fast einverstanden. Im letzten Schritt müsste es meines Erachtens nach
$ ( [mm] e^{x^2 } \cdot \cos(y) [/mm] + 2 [mm] x^3 \cos(y) \sin^{\red{3}} [/mm] (y) ) dx + ( - [mm] e^{x^2} [/mm] x [mm] \sin(y) [/mm] + 2 [mm] x^4 \cos^2 [/mm] (y ) [mm] \sin [/mm] ^2(y) ) dy $
heissen.
SChöne Grüße
Chris
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:29 Do 07.02.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo !
Oh, sorry ... Habe mich vertippt... War zu voreilig  !
Danke!
Schöne Grüße
Irmchen
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