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Differentialformen integrieren: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:15 Mo 26.01.2015
Autor: Rocky14

Aufgabe
Gegeben sei die Abbildung [mm] \phi :\IR^2 \to \IR^3, \phi(x,y)=(x,y,xy). [/mm] Berechnen Sie das Integral [mm] \integral_{x^2+y^2<1}{\phi} [/mm] * w für w = x dx [mm] \wedge [/mm] dz - y dy [mm] \wedge [/mm] dz


Hallo Leute,
um obige Aufgabe zu lösen, muss ich ja zunächst einmal [mm] \phi [/mm] * w berechnen - doch daran scheitert es leider schon bei mir.
Ich habe bisher:

[mm] \phi [/mm] * w = [mm] w(\phi) [/mm]
= [mm] \phi_{1} d\phi_{1} \wedge d\phi_{3} [/mm] - [mm] \phi_{2} d\phi_{2} \wedge d\phi_{3} [/mm]
= x(1dx) [mm] \wedge [/mm] (ydz) - y(1dy) [mm] \wedge [/mm] (xdz)
= xy [mm] dx\wedge [/mm] dz - xy dy [mm] \wedge [/mm] dz

Stimmt das so? Ich bin mir sehr unsicher und habe das anhand eines Beispiels aus dem Internet gemacht. Allerdings hatten dort die [mm] \phi's [/mm] nur [mm] x_{1},x_{2} [/mm] und die w's nur [mm] y_{1},y_{2}. [/mm] Bei meinem Beispiel kommt ja in beiden Formen sowohl x als auch y vor..... Ich erkenne noch keine richtige Regel.

Wie berechne ich davon dann das Integral? Es gilt ja: Ist [mm] \phi: [/mm] U [mm] \to [/mm] V ein orientierungstreuer Diffeomorphismus und w eine integrierbare Top-Form auf V. Dann ist auch [mm] \phi [/mm] * w intbar und es gilt [mm] \integral_{U} \phi [/mm] * w = [mm] \integral_{V} [/mm] w. Bringt mich das irgendwie weiter?

Vielen Dank schonmal im Voraus für eure Hilfe !

        
Bezug
Differentialformen integrieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:54 Mo 26.01.2015
Autor: MathePower

Hallo Rocky14,

> Gegeben sei die Abbildung [mm]\phi :\IR^2 \to \IR^3, \phi(x,y)=(x,y,xy).[/mm]
> Berechnen Sie das Integral [mm]\integral_{x^2+y^2<1}{\phi}[/mm] * w
> für w = x dx [mm]\wedge[/mm] dz - y dy [mm]\wedge[/mm] dz
>  Hallo Leute,
>  um obige Aufgabe zu lösen, muss ich ja zunächst einmal
> [mm]\phi[/mm] * w berechnen - doch daran scheitert es leider schon
> bei mir.
>  Ich habe bisher:
>  
> [mm]\phi[/mm] * w = [mm]w(\phi)[/mm]
> = [mm]\phi_{1} d\phi_{1} \wedge d\phi_{3}[/mm] - [mm]\phi_{2} d\phi_{2} \wedge d\phi_{3}[/mm]
>  
> = x(1dx) [mm]\wedge[/mm] (ydz) - y(1dy) [mm]\wedge[/mm] (xdz)
>  = xy [mm]dx\wedge[/mm] dz - xy dy [mm]\wedge[/mm] dz
>  


Da z=x*y ist [mm]dz=y \ dx \ + x \ dy[/mm]

Dann hast Du hier stehen:

[mm]\phi \* w =x \ dx \wedge \left(y \ dx \ + x \ dy \right) - y \ dy \wedge \left(y \ dx \ + x \ dy \right)[/mm]

Dies ist zunächst zu berechnen.


> Stimmt das so? Ich bin mir sehr unsicher und habe das
> anhand eines Beispiels aus dem Internet gemacht. Allerdings
> hatten dort die [mm]\phi's[/mm] nur [mm]x_{1},x_{2}[/mm] und die w's nur
> [mm]y_{1},y_{2}.[/mm] Bei meinem Beispiel kommt ja in beiden Formen
> sowohl x als auch y vor..... Ich erkenne noch keine
> richtige Regel.
>  
> Wie berechne ich davon dann das Integral? Es gilt ja: Ist
> [mm]\phi:[/mm] U [mm]\to[/mm] V ein orientierungstreuer Diffeomorphismus und
> w eine integrierbare Top-Form auf V. Dann ist auch [mm]\phi[/mm] * w
> intbar und es gilt [mm]\integral_{U} \phi[/mm] * w = [mm]\integral_{V}[/mm]
> w. Bringt mich das irgendwie weiter?
>  
> Vielen Dank schonmal im Voraus für eure Hilfe !


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Differentialformen integrieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:16 Mo 26.01.2015
Autor: Rocky14

> [mm]\phi \* w =x \ dx \wedge \left(y \ dx \ + x \ dy \right) - y \ dy \wedge \left(y \ dx \ + x \ dy \right)[/mm]
>  
> Dies ist zunächst zu berechnen.

Okay... Dann habe ich also
xy dx [mm] \wedge [/mm] dx + [mm] x^2 [/mm] dx [mm] \wedge [/mm] dy - [mm] y^2 [/mm] dy [mm] \wedge [/mm] dx - yx dy [mm] \wedge [/mm] dy
= [mm] x^2 [/mm] dx [mm] \wedge [/mm] dy - [mm] y^2 [/mm] dy [mm] \wedge [/mm] dx
= [mm] x^2 [/mm] dx [mm] \wedge [/mm] dy + [mm] y^2 [/mm] dx [mm] \wedge [/mm] dy
= [mm] (x^2 [/mm] + [mm] y^2) [/mm] dx [mm] \wedge [/mm] dy

Und nun?

Bezug
                        
Bezug
Differentialformen integrieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:52 Di 27.01.2015
Autor: MathePower

Hallo Rocky14,



>  > [mm]\phi \* w =x \ dx \wedge \left(y \ dx \ + x \ dy \right) - y \ dy \wedge \left(y \ dx \ + x \ dy \right)[/mm]

>  
> >  

> > Dies ist zunächst zu berechnen.
>  
> Okay... Dann habe ich also
>  xy dx [mm]\wedge[/mm] dx + [mm]x^2[/mm] dx [mm]\wedge[/mm] dy - [mm]y^2[/mm] dy [mm]\wedge[/mm] dx - yx
> dy [mm]\wedge[/mm] dy
>  = [mm]x^2[/mm] dx [mm]\wedge[/mm] dy - [mm]y^2[/mm] dy [mm]\wedge[/mm] dx
>  = [mm]x^2[/mm] dx [mm]\wedge[/mm] dy + [mm]y^2[/mm] dx [mm]\wedge[/mm] dy
>  = [mm](x^2[/mm] + [mm]y^2)[/mm] dx [mm]\wedge[/mm] dy
>  
> Und nun?


Dies entspricht folgendem  Integral:

[mm]\integral_{x^{2}+y^{2}<1}^{}}x^{2}+y^{2}} \ dx \ dy [/mm]


Gruss
MathePower

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Differentialformen integrieren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:01 Di 27.01.2015
Autor: Rocky14

Ach so :D Jetzt hat es klick gemacht!
Danke für deine Hilfe!

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