Differentialgl. 2. Ordnung inh < Laplace-Transformation < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:06 Fr 15.10.2010 | | Autor: | Stift82 |
| Aufgabe | Lösen Sie die folgende Aufgabe mit ihren Anfangswerten!
y'' + 2y' + y = t + sin(t) y(0)=1 ; y'(0)=0 |
Hallo Leute,
ich habe die Aufgabe schon bis zur Partialbruchzerlegung gelöst, allerdings habe ich genau an dieser Stelle Probleme.
[mm] Y(s)=\bruch{1}{s^2(s+1)^2}+\bruch{1}{(s^2+1)(s+1)^2}+\bruch{s}{(s+1)^2}+\bruch{2}{(s+1)^2} [/mm]
die Nennernullstellen: [mm] s_{1,2}=0 [/mm] ; [mm] s_{3,4}= [/mm] -1 ; [mm] s_5= [/mm] +i
[mm] s_6= [/mm] -i
nach Partialbruchzerlegung habe ich folgenden Ansatz:
[mm] \bruch{A}{s}+\bruch{B}{s^2}+\bruch{C}{s+1}+\bruch{D}{(s+1)^2}+\bruch{Et+F}{s^2+1} [/mm]
nun bekomme ich allerdings mit den Nullstellen 0, -1 nicht alle Variable aufgelöst.
Wie kann ich denn die anderen Variablen rausbekommen oder ist mein Lösungsansatz schon verkehrt?
Liebe Grüße
Stift
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Hallo Stift82,
> Lösen Sie die folgende Aufgabe mit ihren Anfangswerten!
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> y'' + 2y' + y = t + sin(t) y(0)=1 ; y'(0)=0
> Hallo Leute,
>
> ich habe die Aufgabe schon bis zur Partialbruchzerlegung
> gelöst, allerdings habe ich genau an dieser Stelle
> Probleme.
>
> [mm]Y(s)=\bruch{1}{s^2(s+1)^2}+\bruch{1}{(s^2+1)(s+1)^2}+\bruch{s}{(s+1)^2}+\bruch{2}{(s+1)^2} [/mm]
>
> die Nennernullstellen: [mm]s_{1,2}=0[/mm] ; [mm]s_{3,4}=[/mm] -1 ; [mm]s_5=[/mm]
> +i
>
> [mm]s_6=[/mm] -i
>
>
> nach Partialbruchzerlegung habe ich folgenden Ansatz:
>
> [mm]\bruch{A}{s}+\bruch{B}{s^2}+\bruch{C}{s+1}+\bruch{D}{(s+1)^2}+\bruch{Et+F}{s^2+1} [/mm]
>
> nun bekomme ich allerdings mit den Nullstellen 0, -1 nicht
> alle Variable aufgelöst.
>
> Wie kann ich denn die anderen Variablen rausbekommen oder
> ist mein Lösungsansatz schon verkehrt?
Alle Variablen bekommst Du heraus, indem Du von der Gleichung
[mm]\bruch{1}{s^2(s+1)^2}+\bruch{1}{(s^2+1)(s+1)^2}+\bruch{s}{(s+1)^2}+\bruch{2}{(s+1)^2}=\bruch{A}{s}+\bruch{B}{s^2}+\bruch{C}{s+1}+\bruch{D}{(s+1)^2}+\bruch{Es+F}{s^2+1}[/mm]
jeweils die Zählerpolynome auf der linken und rechten Seite vergleichst.
Dazu musst Du die beide Seiten erstmal gleichnamig machen.
Dann vergleichst Du jeweilse die Potenzen [mm]s^{k}, \ k=0,1,2,3,4,5[/mm]
auf der linken und rechten Seite miteinander.
Das führt dann zu einem linearen Gleichungssystem zur
Bestimmung der Variablen A,B,C,D,E,F.
>
> Liebe Grüße
>
> Stift
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:46 So 17.10.2010 | | Autor: | Stift82 |
Hallo MathePower,
erstmal vielen Dank für ihren Tipp. Damit konnte ich die Aufgabe schon fast lösen.
Habe erst die Gleichung nach dem Hauptnenner aufgelöst, dann nach [mm] S^k [/mm] geordnet und mit dem Koeffizientenvergleich und Gauß schon ein Teil der Koeffizienten ausgerechnet. Nur bei dem Term
[mm] \bruch{s}{s^2+1} [/mm] habe ich noch einen Durchhänger.
Wie kommt der Term denn zustande?
Ich habe jetzt:
A+C+E=0
2A+B+C+D+2E+F=2
2A+2B+C+E+2F=1
2A+2B+C+D+F=4
A+2B=1
B=1
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> Hallo MathePower,
>
> erstmal vielen Dank für ihren Tipp. Damit konnte ich die
> Aufgabe schon fast lösen.
> Habe erst die Gleichung nach dem Hauptnenner aufgelöst,
> dann nach [mm]S^k[/mm] geordnet und mit dem Koeffizientenvergleich
> und Gauß schon ein Teil der Koeffizienten ausgerechnet.
> Nur bei dem Term
> [mm]\bruch{s}{s^2+1}[/mm] habe ich noch einen Durchhänger.
> Wie kommt der Term denn zustande?
wie ist die frage gemeint?!
>
> Ich habe jetzt:
>
> A+C+E=0
> 2A+B+C+D+2E+F=2
> 2A+2B+C+E+2F=1
> 2A+2B+C+D+F=4
> A+2B=1
> B=1
B kann ich noch bestätigen, für A hab ich -2 heraus (also das computerprogramm ;)), was mit der vorletzten formel aber nicht hinhaut?!
>
>
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:13 So 17.10.2010 | | Autor: | Stift82 |
Hallo fencheltee,
ich habe die Rechnung nochmal überarbeitet.
Nun habe ich:
A+C+E=1
2A+B+C+D+2E+F=2
2A+2B+C+E+2F=1
2A+2B+C+D+F=4
A+2B=0
B=1
das ergibt dann:
A=-2
B=1
C=7/2
D=5/2
E=-1/2
F=0
irgendwas stimmt da immer noch nicht. ist auch egal, das sind die Flüchtigkeitsfehler auf den 4 Seiten Mathe...man soll sich mal vorstellen....das ist eine Prüfungsaufgabe neben 5 weiteren Aufgaben mit angesetzter Zeit von 189 Min.
Das schafft man vielleicht mal, wenn man Doktor der Mathematik ist.
Allerdings kann ich mir immernoch nicht erklären, wo in der Auflösung der Term [mm] \bruch{s}{(s+1)^2} [/mm] herkommt, denn selbst wenn ich alle Koeffizienten ausgerechnet habe existiert nach meinem Ansatz dieser Term nicht.
Liebe Grüße
Stift
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> Hallo fencheltee,
>
> ich habe die Rechnung nochmal überarbeitet.
> Nun habe ich:
>
> A+C+E=1
> 2A+B+C+D+2E+F=2
> 2A+2B+C+E+2F=1
> 2A+2B+C+D+F=4
> A+2B=0
> B=1
>
> das ergibt dann:
>
> A=-2
> B=1
> C=7/2
> D=5/2
> E=-1/2
> F=0
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> irgendwas stimmt da immer noch nicht. ist auch egal, das
> sind die Flüchtigkeitsfehler auf den 4 Seiten Mathe...man
> soll sich mal vorstellen....das ist eine Prüfungsaufgabe
> neben 5 weiteren Aufgaben mit angesetzter Zeit von 189
> Min.
naja ne halbe stunde is schon ne menge zeit für so eine aufgabe eigentlich.
übung macht den meister
> Das schafft man vielleicht mal, wenn man Doktor der
> Mathematik ist.
>
> Allerdings kann ich mir immernoch nicht erklären, wo in
> der Auflösung der Term [mm]\bruch{s}{(s+1)^2}[/mm] herkommt, denn
> selbst wenn ich alle Koeffizienten ausgerechnet habe
> existiert nach meinem Ansatz dieser Term nicht.
naja
dein ansatz war doch
$ [mm] \bruch{A}{s}+\bruch{B}{s^2}+\bruch{C}{s+1}+\bruch{D}{(s+1)^2}+\bruch{Et+F}{s^2+1} [/mm] $
wenn du im letzten bruch den fehler E*t mit E*s ersetzt (linearer ansatz im zähler) dann hast du ihn doch?!
oder versteh ich das problem immer noch nicht?
>
> Liebe Grüße
>
> Stift
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 So 17.10.2010 | | Autor: | Stift82 |
> dein ansatz war doch
> $ [mm] \bruch{A}{s}+\bruch{B}{s^2}+\bruch{C}{s+1}+\bruch{D}{(s+1)^2}+\bruch{Et+F}{s^2+1} [/mm] $
> wenn du im letzten bruch den fehler E*t mit E*s ersetzt > (linearer ansatz im zähler) dann hast du ihn doch?!
> oder versteh ich das problem immer noch nicht?
das hab ich mal versucht:
dann komme ich auf $ E * [mm] \bruch{s}{s^2+1} [/mm] $ und in der Auflösung steht aber:
$ [mm] \bruch{s}{(s+1)^2} [/mm] $ also $ [mm] \bruch{s}{s^2+2s+1} [/mm] $ (der Term an der 5. Stelle in der Auflösung)
das verstehe ich bisher noch nicht...
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Hallo Stift82,
> > dein ansatz war doch
> >
> [mm]\bruch{A}{s}+\bruch{B}{s^2}+\bruch{C}{s+1}+\bruch{D}{(s+1)^2}+\bruch{Et+F}{s^2+1}[/mm]
> > wenn du im letzten bruch den fehler E*t mit E*s ersetzt
> > (linearer ansatz im zähler) dann hast du ihn doch?!
> > oder versteh ich das problem immer noch nicht?
>
> das hab ich mal versucht:
>
> dann komme ich auf [mm]E * \bruch{s}{s^2+1}[/mm] und in der
> Auflösung steht aber:
>
> [mm]\bruch{s}{(s+1)^2}[/mm] also [mm]\bruch{s}{s^2+2s+1}[/mm] (der Term an
> der 5. Stelle in der Auflösung)
Nun, das muss ein Schreibfehler in der Auflösung sein.
Andernfalls könnte es sein, daß
[mm]\bruch{C}{s+1}+\bruch{D}{\left(s+1\right)^{2}}[/mm]
zusammengefaßt wurde zu
[mm]\bruch{C*\left(s+1\right)+D}{\left(s+1\right)^{2}}=C*\bruch{s}{\left(s+1\right)^{2}}+\left(C+D\right)*\bruch{1}{\left(s+1\right)^{2}}[/mm]
>
> das verstehe ich bisher noch nicht...
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:37 So 17.10.2010 | | Autor: | Stift82 |
Hallo Mathepower,
das kann sein, dass sie es zusammen gefasst haben. Dann vielen Dank euch beiden.
Liebe Grüße
Stift
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