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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Differentialgleichung
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Differentialgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:45 Fr 17.04.2020
Autor: makke306

Aufgabe
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung mittels Exponentialansatz [mm]y''+10y'=x^2 \cdote e^x[/mm]


Ich habe für die Homogene Lösung folgendes herausbekommen:
[mm] y_h=C_1+C_2*e^{-10x} [/mm]

Ich verstehe nicht ganz wie ich nun auf die Partikuläre Lösung komme. Muss ich da diese Form wählen: [mm]y_p=(Ax^2+B)e^x[/mm] ? Ich habe den Ansatz von einem youtube video abgeschaut :)

        
Bezug
Differentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:42 Fr 17.04.2020
Autor: fred97


> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der
> Differentialgleichung mittels Exponentialansatz
> [mm]y''+10y'=x^2 \cdote e^x[/mm]
>  
> Ich habe für die Homogene Lösung folgendes
> herausbekommen:
>  [mm]y_h=C_1+C_2*e^{-10x} [/mm]
>  
> Ich verstehe nicht ganz wie ich nun auf die Partikuläre
> Lösung komme. Muss ich da diese Form wählen:
> [mm]y_p=(Ax^2+B)e^x[/mm] ? Ich habe den Ansatz von einem youtube
> video abgeschaut :)

Fast. Mache den Ansatz [mm] y_p(x)=(Ax^2+Bx+C)e^x. [/mm]




Bezug
                
Bezug
Differentialgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:31 Fr 17.04.2020
Autor: makke306

Habe gerade diesen Ansatz gefunden:
[mm] a_1*e^x+a_2*e^x*x+a_3*e^x*x^2 [/mm]
Kann ich diesen auch hernehmen?

Bezug
                        
Bezug
Differentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:41 Fr 17.04.2020
Autor: chrisno

klar doch, löse mal die Klammer bei dem, was Fred geschrieben hat auf

Bezug
                                
Bezug
Differentialgleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:24 Sa 18.04.2020
Autor: makke306

Haha ja stimmt :)

Ich bin nun auf folgende Lösung gekommen:

[mm] y(x)=e^x( \bruch{1}{11}x^2-\bruch{24}{121}x+\bruch{266}{1331})+c_1+c_2*e^{-10x} [/mm]

Aber jetzt muss ich noch die spezielle Lösung finden die mit einer Steigung von k=1 durch denk Punkt p(0|2) geht.

Wie mache ich das? Muss ich da etwas mit den Randwerten [mm] C_1 [/mm] und [mm] C_2 [/mm] machen?
thx

Bezug
                                        
Bezug
Differentialgleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:34 Sa 18.04.2020
Autor: HJKweseleit

Ja klar!

Da y' das [mm] C_1 [/mm] nicht mehr enthält, fängst du am besten damit an, indem du y'(0) berechnest und = 1 setzt. Damit erhältst du [mm] C_2 [/mm] und setzt das in y ein. Nun verlangst du noch y(0)=2, indem du 0 in y einsetzt. Daraus ergibt sich dann [mm] C_1. [/mm]

Bezug
                                                
Bezug
Differentialgleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:38 Mo 20.04.2020
Autor: makke306

Ok vielen Dank für die Hilfe.
Achso aber eine Frage hätte ich noch: Wieso muss ich diesen Ansatz:t $ [mm] y_p(x)=(Ax^2+Bx+C)e^x. [/mm] $ Wählen und nicht diesen hier $ [mm] y_p=(Ax^2+B)e^x [/mm] $? Wieso muss ich da C mitnehmen

Bezug
                                                        
Bezug
Differentialgleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:47 Mo 20.04.2020
Autor: fred97


> Ok vielen Dank für die Hilfe.
>  Achso aber eine Frage hätte ich noch: Wieso muss ich
> diesen Ansatz:t [mm] y_p(x)=(Ax^2+Bx+C)e^x.[/mm] Wählen und nicht
> diesen hier [mm] y_p=(Ax^2+B)e^x [/mm]? Wieso muss ich da C
> mitnehmen


Probiers doch einfach aus. Dann solltest Du sehen , das nix gescheites heraus kommt.

Die rechte Seite der DGL ist [mm] x^2e^x, [/mm] also [mm] e^x \cdot [/mm] Polynom vom Grad 2.

Entspr. lautet das Polynom im Ansatz für [mm] y_p. [/mm] Ein Polynom vom Grad 2 hat nun mal die Form [mm] Ax^2+Bx+C. [/mm]

Bezug
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