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Differentialgleichung: Korrektur / Frage
Status: (Frage) für Interessierte Status 
Datum: 14:43 Sa 11.02.2006
Autor: kunzm

Aufgabe
A1 Lineare homogene Differentialgleichung

Bestimme ein reelles Fundamentalsystem sowie die Lösung von:

[mm] $y'(t)=\left(\begin{matrix}1&0&0\\2&1&-2\\3&2&1\end{matrix}\right)\,y(t)\,,\,\, y(0)=\left(\begin{matrix}0\\1\\1\end{matrix}\right)$ [/mm]


Hallo,

ich habe bisher folgendes versucht, bin mir aber wie gesagt nicht sicher was das mit dem Fundamentalsystem auf sich hat:


Zunächst kann man Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix bestimmen:

[mm] $\det(A-\lambda [/mm] E)= [mm] \det\left(\begin{matrix}1-\lambda&0&0\\2&1-\lambda&-2\\3&2&1-\lambda\end{matrix}\right)=(1-\lambda)\left((1-\lambda)^2+4\right)$ [/mm]

Man sieht direkt die erste Nullstelle des char. Polynoms [mm] $\lambda_1=1$. [/mm] Die weiteren Nullstellen folgen aus [mm] $(1-\lambda)^2+4:=0$ [/mm] zu [mm] $\lambda_2=1+2i$ [/mm] und [mm] $\lambda_3=1-2i$. [/mm] Die zugehörigen Eigenvektoren ergeben sich aus

[mm] $\left(\begin{matrix}1-\lambda_i&0&0\\2&1-\lambda_i&-2\\3&2&1-\lambda_i\end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}v_{i1}\\v_{i2}\\v_{i3}\end{matrix}\right)=0$ [/mm]

zu

[mm] $V_1=(2,-3,2)$, [/mm]
[mm] $V_2=(0,1,-i)$, [/mm]
[mm] $V_3=(0,1,i)$. [/mm]


Es gilt o.B.d.A:

[mm] $AV_1=\lambda_1 V_1$ [/mm]

[mm] $\left(e^{\lambda_1 t}V_1\right)'=\lambda e^{\lambda_1 t}V_1$ [/mm]

[mm] $A\left(e^{\lambda_1 t}V_1\right)=e^{\lambda_1 t}A V_1=\lambda e^{\lambda_1 t}V_1$. [/mm]

Daher ist:

[mm] $\left(e^{\lambda_1 t}V_1\right)'=A\left(e^{\lambda_1 t}V_1\right)$, [/mm]

beziehungsweise [mm] $e^{\lambda_1 t}V_1$ [/mm] löst die Differentialgleichung. Existiert wie ein diesem Beispiel ein mehrdimensionales Eigensystem, so ist die Linearkombination der Eigenwerte bzw. -Vektoren auch eine Lösung des Gleichungssystems von der allgemeinen Form:

[mm] $y(t)=c_1V_1e^{\lambda_1 t}+c_2V_2e^{\lambda_2 t}+c_3V_3e^{\lambda_3 t}$ [/mm]

beziehungsweise

[mm] $y_1(t)= c_1 2e^t$ [/mm]
[mm] $y_2(t)=c_1 3e^t+c_2e^{(1+2i)t}-c_3 ie^{(1-2i)t}$ [/mm]
[mm] $y_3(t)=c_1 2e^t-c_2e^{(1+2i)t}+c_3 ie^{(1-2i)t}$ [/mm]


Is dieses jetzt so ein gewünschtes Fundamentalsystem? Un wenn ja, bekomme ich das reell indem  ich das Betragsquadtrat der Gleichung bilde und dann quasi nach $y(x)$ "auflöse"?

Bitte um einen Kommentar, Danke und Grüße, Martin.



        
Bezug
Differentialgleichung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:20 Di 14.02.2006
Autor: matux

Hallo Martin!


Leider konnte Dir keiner mit Deinem Problem in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.

Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück [kleeblatt] .


Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent

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