Differentialgleichung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:57 Do 26.10.2006 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | | Eine kleine Kugel (als Massenpunkt m betrachtet) fällt in einer zähen Flüssigkeit wie z. B. Öl. Der Betrag der Reibungskraft sei durch [mm] $F_R [/mm] = -b*v$ gegeben, wobei b die Reibungskonstante ist. Die Bewegung verlaufe in z-Richtung sodass v=z mit einem Punkt oben drauf ist. Bestimme v(t) mit v(t=0) = 0 und die Endgeschwindigkeit [mm] v_e [/mm] für [mm] t\rightarrow \infty. [/mm] |
Hallo.
Erst einmal, wie stelle ich hier denn das z mit dem Punkt für die Ableitung da? Kann das jemand mal vor machen?
Aber das ist ja nicht die Hauptfrage, die Aufgabe schafft mich.
Also die Z-Richtung ist ja [mm] \vektor{0\\0\\1}
[/mm]
Wenn ich das jetzt aber ableite, erhalte ich doch [mm] \vektor{0\\0\\0}?
[/mm]
Wol eher nicht, also baue ich in die Z-Richtung noch ein tfür die Zeit ein
[mm] \vektor{0\\0\\1t} [/mm] Wenn ich das ableite, erhalte ich für v aber [mm] \vektor{0\\0\\1}
[/mm]
Ist auch irgendwie komisch. Dann integriere ich mal folgendes nach t
[mm] $F_R [/mm] = -b*v$
$v(t) = -bvt+c$
Scheint mir aber auch unsinnig zu sein.
Ich rechne, als Zeichen meines guten Willens, mal weiter
v(0) = c = 0
Dann habe ich die Lösung $v(t) = -bvt$
Und da setze ich jetzt für v einfach den Vektor in z Richtung ein
$v(t) = [mm] -bt*\vektor{0\\0\\1}$
[/mm]
Die Lösung macht aber keinen Sinn, jetzt würde die Kugel ja unendlich schnell werden.
Bitte alsoo um Hilfe!!!!
Viele Grüße
Johann
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:31 Do 26.10.2006 | | Autor: | galileo |
Hi Phoney
Das ist eine Physikaufgabe.
[mm]\dot{z}\stackrel{\mathrm{def}}{=}\bruch{dz}{dt}[/mm]
Du wendest das II. Newtonesche Prinzip an.
Für ein Massenpunkt gilt:
[mm]F=m\, \bruch{d^{2}z}{dt^{2}}[/mm]
wobei F die summe aller Kräfte ist, die auf den Massenpunkt wirken.
Aber:
[mm]v=\bruch{dz}{dt}[/mm]
Also, die gesuchte Differenzialgleichung ist:
[mm]mg-b\bruch{dz}{dt}-\rho gz=m\bruch{d^{2}z}{dt^{2}}[/mm]
Alles klar?
Gruss
galileo
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:04 Sa 28.10.2006 | | Autor: | Phoney |
Mojn Mojn.
> Das ist eine Physikaufgabe.
Also nächstes mal das Physikbrett?
> [mm]\dot{z}\stackrel{\mathrm{def}}{=}\bruch{dz}{dt}[/mm]
>
> Du wendest das II. Newtonesche Prinzip an.
>
> Für ein Massenpunkt gilt:
>
> [mm]F=m\, \bruch{d^{2}z}{dt^{2}}[/mm]
>
> wobei F die summe aller Kräfte ist, die auf den Massenpunkt
> wirken.
>
> Aber:
>
> [mm]v=\bruch{dz}{dt}[/mm]
>
> Also, die gesuchte Differenzialgleichung ist:
>
> [mm]mg-b\bruch{dz}{dt}-\rho gz=m\bruch{d^{2}z}{dt^{2}}[/mm]
>
> Alles klar?
Nein, die Idee schon, danke, dass du mir wenigstens einen Ansatz gibst.
Also wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, kann ich die Differenzialgleichung auch als
[mm] $g-\br{b}{m}v=\br{dv}{dt}$ [/mm] schreiben
Wir lösen Differenzialgleichungen immer mit Exponentialfunkionen, also sage ich mal, dass gilt
$v(t) [mm] =a*e^{-\lambda t}+c [/mm] = v$
$v'(t) = [mm] -\lambda a*e^{-\lambda t} =\br{dv}{dt} [/mm] $
Setze ich das ein, ergibt sich
[mm] $g-\br{b}{m}a*e^{-\lambda t}+c =-\lambda*m a*e^{-\lambda t}$
[/mm]
Minus g, mal m ergibt erst einmal
[mm] $-\lambda [/mm] a [mm] e^{-\lambda t}m^2-gm [/mm] = [mm] -b(a*e^{\-lambda t}+c$
[/mm]
Nun teile ich durch -b, das ergibt dann
[mm] $\br{\lambda a e^{-\lambda t}m^2-gm}{b}=a*e^{\-lambda t}+c$
[/mm]
Allerdings habe ich hier als Kontrollergebnis stehen, [mm] $c=\br{m}{b}*g$
[/mm]
So sehe ich aber nicht, wie ich auf das Ergebnis komme.
Bitte um Hilfe.
Danke!
Wenn ich übrigens die Probe mache und das m/b*g für c einsetze, steht auf beiden seiten auch in der tat das selbe. wenn ich mich da jetzt nicht vertan habe.
Schöne Grüße
Johann
|
|
|
| |
|
Dein Ansatz ist völlig korrekt!
Aber ab hier machst du was komisches:
$ [mm] g-\br{b}{m}a\cdot{}e^{-\lambda t}+c =-\lambda\cdot{}m a\cdot{}e^{-\lambda t} [/mm] $
Teile hier erstmal durch die e-Funktion, und bestimme [mm] \lambda [/mm] !
Dieses [mm] \lambda [/mm] setzt du in deinen Ansatz ein, und auch in die DGL. Dann kannst du c ausrechnen.
Nun schau dir deinen Ansatz nochmal an. In der e-Funktion steht was negatives. Für großt t wird die e-Funktion zu 0, und dann steht nur noch das c da. Und das ist die Lösung!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:03 Sa 28.10.2006 | | Autor: | Phoney |
Guten Tag.
> Aber ab hier machst du was komisches:
>
> [mm]g-\br{b}{m}a\cdot{}e^{-\lambda t}+c =-\lambda\cdot{}m a\cdot{}e^{-\lambda t}[/mm]
>
> Teile hier erstmal durch die e-Funktion, und bestimme
> [mm]\lambda[/mm] !
Ai ai ai, das ist schwierig. Also ich teile durch [mm] e^{-\lambda t} [/mm] und komme nun auf
[mm] $-\br{g}{e^{-\lambda t}}-\br{b}{m}a+\br{c}{e^{-\lambda t}}=- \lambda [/mm] m a$
Also
[mm] $-ge^{\lambda t}-\br{b}{m}+ce^{\lambda t}=-\lambda [/mm] m a$
Dann klammere ich es aus
[mm] $e^{\lambda t}(-g+c)=-\lambda [/mm] a m$
teile durch m und a
[mm] $-\lambda [/mm] = [mm] \br{e^{\lambda t}}{ma}(-g+c)$
[/mm]
Oder hätte ich schon vorher t=0 einsetzen sollen? Weil so bekomme ich ja kein lambda. LN kann ich schlecht anwenden.
Lieben Gruß
Johann
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:06 Sa 28.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo phoney
[mm]g-\br{b}{m}v=\br{dv}{dt}[/mm] schreiben
>
> Wir lösen Differenzialgleichungen immer mit
> Exponentialfunkionen, also sage ich mal, dass gilt
Das geht aber nicht immer!
> [mm]v(t) =a*e^{-\lambda t}+c = v[/mm]
> [mm]v'(t) = -\lambda a*e^{-\lambda t} =\br{dv}{dt}[/mm]
>
> Setze ich das ein, ergibt sich
>
> [mm]g-\br{b}{m}a*e^{-\lambda t}+c =-\lambda*m a*e^{-\lambda t}[/mm]
Da steckt der Fehler, du hast c nicht mit b/m multipliziert.
richtig ist mit deinem Ansatz:
[mm]g-\br{b}{m}a*e^{-\lambda t}+\br{b}{m}*c =-\lambda*m a*e^{-\lambda t}[/mm]
hier gibts die 2 Möglichkeiten :
1. muss für alle a, also auch a=0 stimmen, daraus c=g*m/b
oder 2. muss für t gegen unendlich gelten, also für [mm] a*e^{-\lambda t}=0
[/mm]
wieder c.
dann fällt g-c*b/m weg und du kannst [mm] \lambda [/mm] bestimmen.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 Sa 28.10.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
> [mm]g-\br{b}{m}v=\br{dv}{dt}[/mm] schreiben
> >
> > Wir lösen Differenzialgleichungen immer mit
> > Exponentialfunkionen, also sage ich mal, dass gilt
> Das geht aber nicht immer!
> > [mm]v(t) =a*e^{-\lambda t}+c = v[/mm]
> > [mm]v'(t) = -\lambda a*e^{-\lambda t} =\br{dv}{dt}[/mm]
> >
> > Setze ich das ein, ergibt sich
> >
> > [mm]g-\br{b}{m}a*e^{-\lambda t}+c =-\lambda*m a*e^{-\lambda t}[/mm]
>
> Da steckt der Fehler, du hast c nicht mit b/m
> multipliziert.
> richtig ist mit deinem Ansatz:
> [mm]g-\br{b}{m}a*e^{-\lambda t}+\br{b}{m}*c =-\lambda*m a*e^{-\lambda t}[/mm]
>
> hier gibts die 2 Möglichkeiten :
> 1. muss für alle a, also auch a=0 stimmen, daraus c=g*m/b
> oder 2. muss für t gegen unendlich gelten, also für
> [mm]a*e^{-\lambda t}=0[/mm]
> wieder c.
Das bringt mich auf das Ergebnis :)
> dann fällt g-c*b/m weg und du kannst [mm]\lambda[/mm] bestimmen.
Jetzt sehe ich alt aus. Bin wieder völlig überfordert.
Also c habe ich jetzt einfach mal so berechnet, dass a gleich null ist und ich dann nur noch habe
[mm] $g-\br{b}{m}c=0 \Rightarrow c=\br{gm}{b}$
[/mm]
Und wie bestimme ich nun [mm] \lambda? [/mm] Ich habe dazu zwei Rechnungen probiert, einmal, indem ich das c in die Gleichung $ [mm] g-\br{b}{m}a\cdot{}e^{-\lambda t}+\br{b}{m}\cdot{}c =-\lambda\cdot{}m a\cdot{}e^{-\lambda t} [/mm] $ eingesetzt habe
[mm] $g-\br{b}{m}ae^{-\lambda t}+\br{b}{m}\br{m}{b}g=-\lambda [/mm] m a [mm] e^{-\lambda t}$
[/mm]
Die Überlegung, dass t gegen Unendlich geht, hilft mir ja hier nicht weiter,d enn dann fällt das lambda weg. Und auch das mit dem a null hilft mir nicht weiter.
Also zu meinem zweiten Ansatz, dass [mm] g-\br{b}{m}c=0 [/mm] gleich Null ist.
Dann würde ich einfach v(t=0) = 0 berechnen
[mm] $a*e^{-\lambda 0} [/mm] + c = [mm] g-\br{b}{m}c$
[/mm]
Nun setze ich für c die Lösung ein
[mm] $a*e^{-\lambda 0} [/mm] + [mm] \br{gm}{b} [/mm] = [mm] g-\br{b}{m}\br{gm}{b}$
[/mm]
So fällt das Lambda ja weg...Ist also auch nicht die richtige Lösung.
Kann man mir noch einmal helfen?
Ganz liebes Danke schon mal!
Grüße,
Johann
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:44 Sa 28.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Johann
> > Da steckt der Fehler, du hast c nicht mit b/m
> > multipliziert.
richtig ist mit deinem Ansatz:
[mm] g-\br{b}{m}a*e^{-\lambda t} [/mm] - [mm] \br{b}{m}*c =-\lambda* [/mm] m [mm] a*e^{-\lambda t}
[/mm]
Da war noch ein Vorzeichenfehler.
und m auf der rechten Seite stand da auch ohne jeden Grund!
c=g*m/b
> > oder 2. muss für t gegen unendlich gelten, also für
> > [mm]a*e^{-\lambda t}=0[/mm]
> > wieder c.
>
> Das bringt mich auf das Ergebnis :)
>
> > dann fällt g-c*b/m weg und du kannst [mm]\lambda[/mm] bestimmen.
>
> Jetzt sehe ich alt aus. Bin wieder völlig überfordert.
>
> Also c habe ich jetzt einfach mal so berechnet, dass a
> gleich null ist und ich dann nur noch habe
>
> [mm]g-\br{b}{m}c=0 \Rightarrow c=\br{gm}{b}[/mm]
da hast du gemogelt, siehe oben
>
> Und wie bestimme ich nun [mm]\lambda?[/mm] Ich habe dazu zwei
> Rechnungen probiert, einmal, indem ich das c in die
> Gleichung [mm]g-\br{b}{m}a\cdot{}e^{-\lambda t}+\br{b}{m}\cdot{}c =-\lambda\cdot{}m a\cdot{}e^{-\lambda t}[/mm]
> eingesetzt habe
richtig!
[mm]g-\br{b}{m}ae^{-\lambda t}-\br{b}{m}\br{m}{b}g=-\lambda a e^{-\lambda t}[/mm]
mit verbessertem Vorzeichen! und ohne das m
> Die Überlegung, dass t gegen Unendlich geht, hilft mir ja
> hier nicht weiter,d enn dann fällt das lambda weg. Und auch
> das mit dem a null hilft mir nicht weiter.
>
> Also zu meinem zweiten Ansatz, dass [mm]g-\br{b}{m}c=0[/mm] gleich
> Null ist.
das ist es auf jeden Fall!
Dann hast du
[mm] -br{b}{m}ae^{-\lambda t}=-\lambda [/mm] a [mm] e^{-\lambda t}
[/mm]
jetzt kannst du durch [mm] e^{-\lambda t} [/mm] dividieren, oder einfach
[mm] \lambda=-\br{b}{m}
[/mm]
klar? da waren ein paar zu viele Leichtsinnsfehler drin.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:41 Sa 28.10.2006 | | Autor: | Phoney |
Nabend.
> richtig ist mit deinem Ansatz:
> [mm]g-\br{b}{m}a*e^{-\lambda t}[/mm] - [mm]\br{b}{m}*c =-\lambda*[/mm] m
> [mm]a*e^{-\lambda t}[/mm]
> richtig!
> [mm]g-\br{b}{m}ae^{-\lambda t}-\br{b}{m}\br{m}{b}g=-\lambda a e^{-\lambda t}[/mm]
>
> mit verbessertem Vorzeichen! und ohne das m
Wieso fällt denn das m weg? Es ist doch [mm] m*\br{dv}{dt}. [/mm] also m*v'
Und warum fällt es nun weg?
Gruß
Phoney
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:43 Sa 28.10.2006 | | Autor: | Phoney |
Oh man, ich verpfusche alles.
Ziemlich am Anfang haben wir durch m geteilt, daher verschwindet es da auch.
Ich danke euch allen. Toll, dass es dieses Forum gibt. Hier lerne ich ja richtig etwas :)
Also vielen vielen dank!
Gruß
Johann
|
|
|
|
