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| Aufgabe | Bestimmen Sie die allgm. Lsg der Diffgl:
[mm] (x^{2}+1)y'+xy^{2}-x=0
[/mm]
Berechnen Sie [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] y(x) |
Hallo,
so richtig habe ich noch keine Idee wie ich das anfange...
Wir hatten es kurz in der Vorlesung, sollen es als HA machen, aber in der Übung eben noch nicht...
Danke
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[mm](x^{2}+1)y'+xy^{2}-x=0[/mm]
Sieht nach Separation aus:
[mm](x^{2}+1)y'+x(y^{2}-1)=0[/mm]
[mm]\bruch{x}{x^{2}+1}=-\bruch{y'}{y^{2}-1}[/mm]
Integriert ist das ganz fix:
[mm]\bruch{1}{2}\ln{(x^{2}+1)}=-\bruch{1}{2}\ln{(y^{2}-1)}+C[/mm]
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Oh danke, das hilft natürlich...manchmal macht man sich einen Knoten im Kopf
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Danke nochmal, aber ich weiß leider nicht genau, wie man denn von
[mm] -\bruch{y'}{y^{2}-1} [/mm] auf
[mm] -\bruch{1}{2}\ln{(y^{2}-1)}+C
[/mm]
kommt?
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nach meiner rechnung ergibt das $-arctan(x)$
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Wie was meinst du mit arctan?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:39 Mo 27.11.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo useratmathe!
mit dem [mm] $\arctan(x)$ [/mm] ist die Umkehrfunktion zur [mm] $\tan(x)$-Funktion [/mm] gemeint. Dieser ist hier jedoch fehl am Platze.
Deine Aufgaben von [mm] $\bruch{y'}{y^2-1}$ [/mm] auf [mm] $-\bruch{1}{2}*\ln\left|\bruch{y-1}{y+1}\right|+C$ [/mm] funktioniert durch Partialbruchzerlegung und anschließender Anwendung von  Logarithmusgesetzen:
[mm] $\bruch{1}{y^2-1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y'}{(y+1)*(y-1)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{y+1}+\bruch{B}{y-1} [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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