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Forum "Partielle Differentialgleichungen" - Differentialgleichung
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Differentialgleichung: AWP
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:56 Fr 21.05.2010
Autor: soljenitsin

Aufgabe
y'''-2y"+7y'-14y=0

y(0)=0 , y'(0)=1 , y"(0)=1

------------------


y"+2y'+10y=0

Aufgabe 1

a) Bestimmen Sie eine reelle Lösung der DGl und lösen Sie das zugehörige AWP

y'''-2y"+7y'-14y=0

y(0)=0 , y'(0)=1 , y"(0)=1

b) Bestimmen Sie die allgemeine (reelle) Lösung der Differentialgleichung

y"+2y'+10y=0

hat jemand eine idee dafür wie man das löst

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Differentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:08 Fr 21.05.2010
Autor: abakus


> y'''-2y"+7y'-14y=0

Hallo,
Umstellen liefert y'''+7y'=2(y''+7y),  und  y'''+7y' ist ja die Ableitung von (y''+7y),
Jede Funktion, deren Ableitung doppelt so groß ist wie die Funktion selbst, erfüllt also die DGL.
Wie wäre es z.B. mit [mm] e^{2x}? [/mm]
Gruß Abakus

>  
> y(0)=0 , y'(0)=1 , y"(0)=1
>  
> ------------------
>  
>
> y"+2y'+10y=0
>  Aufgabe 1
>  
> a) Bestimmen Sie eine reelle Lösung der DGl und lösen Sie
> das zugehörige AWP
>  
> y'''-2y"+7y'-14y=0
>  
> y(0)=0 , y'(0)=1 , y"(0)=1
>  
> b) Bestimmen Sie die allgemeine (reelle) Lösung der
> Differentialgleichung
>  
> y"+2y'+10y=0
>  
> hat jemand eine idee dafür wie man das löst
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.  


Bezug
                
Bezug
Differentialgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:56 Sa 22.05.2010
Autor: soljenitsin

hi

ja umstellen habe ich mir auch gedacht aber war mir nicht sicher.wie meinst du denn mit e^2x?
ich verstehe nicht so ganz

Bezug
                        
Bezug
Differentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:48 Sa 22.05.2010
Autor: MontBlanc

Hallo,

bestimme das charakteristische Polynom von y'''-2y"+7y'-14y=0 . das ist gegeben durch

[mm] \lambda^3-2*\lambda^2+7*\lambda-14=0 [/mm] . Die hat Lösungen [mm] \lambda_1=2 [/mm] , [mm] \lambda_2=i*\wurzel{7} [/mm] , [mm] \lambda_3=-i*\wurzel{7}... [/mm] Kommst du damit weiter ?

LG

Bezug
                        
Bezug
Differentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:47 Sa 22.05.2010
Autor: abakus


> hi
>  
> ja umstellen habe ich mir auch gedacht aber war mir nicht
> sicher.wie meinst du denn mit e^2x?
>  ich verstehe nicht so ganz

Die Ableitung von [mm] y=e^{2x} [/mm] ist [mm] y'=2e^{2x} [/mm] und damit doppelt so groß wie die Funktion selbst.



Bezug
                        
Bezug
Differentialgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:00 So 23.05.2010
Autor: soljenitsin

also ich habe so gemacht

[mm] \lambda^{3}-2\lambda^{2}+7\lambda-14=0 [/mm]
dann kommt 3 lambda werte raus
[mm] \lambda [/mm] 1 = 2
[mm] \lambda [/mm] 2 = [mm] i\wurzel{7} [/mm]
[mm] \lambda [/mm] 3 = [mm] -i\wurzel{7} [/mm]

dann geht so weiter

[mm] y(x)=A.e^{2x}+B.e^{i\wurzel{7}x}+C.e^{-i\wurzel{7}x} [/mm]

A,B,C [mm] \in \IC [/mm]

so bin da stehen geblieben
was schon gegeben ist
y(0)=0 , y'(0)=1 , y''(0)=1
das muss ich irgendwie da reinsetzen.oder habe ich schon bei y(x) stellung falsch gemacht.bin völlig durcheinander gekommen

Bezug
                                
Bezug
Differentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:02 So 23.05.2010
Autor: MontBlanc

Hallo,

> also ich habe so gemacht
>  
> [mm]\lambda^{3}-2\lambda^{2}+7\lambda-14=0[/mm]
>  dann kommt 3 lambda werte raus
>  [mm]\lambda[/mm] 1 = 2
>  [mm]\lambda[/mm] 2 = [mm]i\wurzel{7}[/mm]
>  [mm]\lambda[/mm] 3 = [mm]-i\wurzel{7}[/mm]
>  
> dann geht so weiter
>  
> [mm]y(x)=A.e^{2x}+B.e^{i\wurzel{7}x}+C.e^{-i\wurzel{7}x}[/mm]

Richtig, jedoch unschön... bedenke, dass du jede komplexe zahl als r*(cos(x)+i*sin(x)) schreiben kannst...

> A,B,C [mm]\in \IC[/mm]
>  
> so bin da stehen geblieben
>  was schon gegeben ist
>  y(0)=0 , y'(0)=1 , y''(0)=1
>  das muss ich irgendwie da reinsetzen.oder habe ich schon
> bei y(x) stellung falsch gemacht.bin völlig durcheinander
> gekommen

Einsetzen, dann kriegst du drei gleichungen mit drei unebkannten.

LG


Bezug
                                        
Bezug
Differentialgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:19 So 23.05.2010
Autor: soljenitsin

na dann wird so

[mm] y(x)=A.e^{2x}+B.e^{\wurzel{7}(cosx+isinx)}+C.e^{\wurzel{-7}(cosx+isinx)} [/mm]

jetzt sieht so aus.noch bescheuerte:))
jetzt muss ich dir y(0) werte finden

y(0)=A+B+C=0
was ist mit anderen hier muss ich noch ableitung machen für die hier

y'(0)=1  ????
y''(0)=1 ????



Bezug
                                                
Bezug
Differentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:41 So 23.05.2010
Autor: MontBlanc

hallo,

was hast du denn da gemacht ?? Du sollst nicht das i umschreiben... eine komplexe zahl der form [mm] e^{i\theta} [/mm] kann geschrieben werden als [mm] cos(\theta)+i*sin(\theta) [/mm] ... Hast du also [mm] e^{(\mu+i*\lambda)*x} [/mm] dann ist das

[mm] =e^{\mu}*(cos(\lambda*x)+i*sin(\lambda*x)) [/mm] ...

Leite deine allgemeine Lösung ab, setze die werte ein. Dann bekommst du die drei gleichungen mit drei unbekannten, die leicht zu lösen sind.

LG

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