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Forum "Partielle Differentialgleichungen" - Differentialgleichung
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Differentialgleichung: matrixform
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 16:03 Fr 21.05.2010
Autor: soljenitsin

Aufgabe 1

Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung

[mm] \vec{x}= \pmat{ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 } \vec{x} [/mm]


ich bin der meinung setzen wir erstmal [mm] \lambda [/mm] von oben links bis unten recht . 1- [mm] \lambda [/mm] ,3- [mm] \lambda [/mm] usw.
aber dann weiss ich nicht wie das geht

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
Differentialgleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:23 Fr 21.05.2010
Autor: steppenhahn

Hallo,

> Aufgabe 1
>  
> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der
> Differentialgleichung
>  
> [mm]\vec{x}= \pmat{ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 } \vec{x}[/mm]
>  
>
> ich bin der meinung setzen wir erstmal [mm]\lambda[/mm] von oben
> links bis unten recht . 1- [mm]\lambda[/mm] ,3- [mm]\lambda[/mm] usw.
>  aber dann weiss ich nicht wie das geht

Die Matrix ist nicht diagonalisierbar.
Bestimme trotzdem zunächst Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix.

Grüße,
Stefan

Bezug
                
Bezug
Differentialgleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:49 Sa 22.05.2010
Autor: soljenitsin

antwort zu steppenhahn

hallo

wie kommst du darauf dass die matrix nicht diagonalisierbar ist.wenn man da [mm] \lambda [/mm] setzt kommt denn 3 lambda werten raus.aber ich weiss es nicht wie es weiter geht

Bezug
        
Bezug
Differentialgleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:13 Fr 21.05.2010
Autor: MontBlanc

Hallo,

sollte da nicht sowas stehen wie

[mm] \bruch{d}{dt}\left(\vektor{x \\ y \\ z}\right)=M*\vektor{x \\ y \\ z} [/mm] ?? Was du dort aufgeschrieben hast beinhaltet ja keinerlei differentiale..

Lg

Bezug
                
Bezug
Differentialgleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:51 Sa 22.05.2010
Autor: soljenitsin

anwort zu MontBlanc

ja bin auch der meinung dass sowas da stehen soll ist aber nicht.

frage ist einfach sogegeben wie ich da geschrieben habe.nicht wenig ; nicht mehr.

ich stehe völlig auf dem schlauch :)



Bezug
        
Bezug
Differentialgleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:40 Fr 21.05.2010
Autor: wieschoo


> Aufgabe 1
>  
> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der
> Differentialgleichung
>  
> [mm]\vec{x}= \pmat{ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 } \vec{x}[/mm]

Du meintest bestimmt:
[mm]x'= \pmat{ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 } x[/mm] mit [mm] $x\in \IC^3$ [/mm]

>  
>
> ich bin der meinung setzen wir erstmal [mm]\lambda[/mm] von oben
> links bis unten recht . 1- [mm]\lambda[/mm] ,3- [mm]\lambda[/mm] usw.
>  aber dann weiss ich nicht wie das geht
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt


Den Ansatz, den ich kenne ist die Matrix als Jordan-Normalform zu schreiben:

$A=SJ [mm] S^{-1}$ [/mm]
[m] \pmat{ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 } = \left( \begin {array}{ccc} 1/9&-1/3&{\frac {8}{9}} \\ \noalign{\medskip}1/9&-1/3&-1/9\\ \noalign{\medskip}1/9&2/3&-1/9 \end {array} \right) \cdot \left( \begin {array}{ccc} 4&0&0\\ \noalign{\medskip}0&1&1 \\ \noalign{\medskip}0&0&1\end {array} \right) \cdot \left( \begin {array}{ccc} 1&5&3\\ \noalign{\medskip}0&-1&1 \\ \noalign{\medskip}1&-1&0\end {array} \right) [/m]

Der Ansatz ist für die Lösung der DGL ist ja [mm] $e^{A} [/mm] = S [mm] e^{t*J} S^{-1}$ [/mm]
Damit komme ich auf die Lösung

[m]vec{x}= \left( \begin {array}{ccc} 1/9\,{{\rm e}^{4\,t}}-1/3\,t{{\rm e}^{t}}+ {\frac {8}{9}}\,{{\rm e}^{t}}&5/9\,{{\rm e}^{4\,t}}-5/9\,{{\rm e}^{t}} +1/3\,t{{\rm e}^{t}}&1/3\,{{\rm e}^{4\,t}}-1/3\,{{\rm e}^{t}} \\ \noalign{\medskip}1/9\,{{\rm e}^{4\,t}}-1/3\,t{{\rm e}^{t}}-1/9\,{ {\rm e}^{t}}&5/9\,{{\rm e}^{4\,t}}+4/9\,{{\rm e}^{t}}+1/3\,t{{\rm e}^{ t}}&1/3\,{{\rm e}^{4\,t}}-1/3\,{{\rm e}^{t}}\\ \noalign{\medskip}1/9\, {{\rm e}^{4\,t}}+2/3\,t{{\rm e}^{t}}-1/9\,{{\rm e}^{t}}&5/9\,{{\rm e}^ {4\,t}}-5/9\,{{\rm e}^{t}}-2/3\,t{{\rm e}^{t}}&1/3\,{{\rm e}^{4\,t}}+2 /3\,{{\rm e}^{t}}\end {array} \right) * \vektor{a \\ b \\c} [/m]

Bezug
                
Bezug
Differentialgleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:53 Sa 22.05.2010
Autor: soljenitsin

antwort zu wieschoo

hallo

die frage ist einfach so gegeben wie ich geschriben habe
und wie kommst du auf jordan matrix.?also meinst du es ist einzigste lösungsweg oder gibts noch andere was du kennst.



Bezug
                        
Bezug
Differentialgleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:51 Sa 22.05.2010
Autor: leduart

Hallo
ohne ' an x ist das keine DGL!!
2. ihr habt sicher irgendwas über die lösung von linearen DGL gelernt. Das hier alles zu wiederholen führt zu weit. Ausserdem gibts dazu viel Quellen im netz. Also such mal in deinem script.
Gruss leduart

Bezug
                        
Bezug
Differentialgleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:12 Sa 22.05.2010
Autor: wieschoo


> antwort zu wieschoo
>  
> hallo
>  
> die frage ist einfach so gegeben wie ich geschriben habe

Wenn das so (ohne x') wäre, dann ist die Lösung [mm] $\vec{x}=\vektor{0 \\ 0 \\0}$ [/mm]

>  und wie kommst du auf jordan matrix.?also meinst du es ist

Das ist eigentlich eine Sache aus der Linearen Algebra. Du bestimmst die Eigenwerte und dann die Kerne von den entsprechenden Unterräumen.

> einzigste lösungsweg oder gibts noch andere was du
> kennst.

Den  einzigsten Lösungsweg gibt es nie!


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