Differentialgleichung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:51 So 13.06.2010 | | Autor: | gigi |
| Aufgabe | | Löse die Differentialgleichung y'=e^ysinx und skizziere den qualitativen Verlauf der Lösungskurven! |
Hallo,
ich habe leider noch nicht sonderlich viel Erfahrungen mit dem Lösen von Differentialgleichungen machen können. Deshalb wär es schön, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte, wie ich hier vorgehe! Denn ich kenne nur Formen wie y'=f(ax+by+c) oder y'=f(y/x) und die entsprechenden Substitutionen etc. - und die passen hier ja nicht auf die gegebene Gleichung, oder?
Besten Dank
|
|
| |
|
> Löse die Differentialgleichung y'=e^ysinx und skizziere
[mm] $y'=e^y \sin [/mm] x$
Die Form ist eine DGl mit getrennten Variablen:
[mm] $\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$
[/mm]
formales Auflösen und Integrieren...
> den qualitativen Verlauf der Lösungskurven!
> Hallo,
>
> ich habe leider noch nicht sonderlich viel Erfahrungen mit
> dem Lösen von Differentialgleichungen machen können.
> Deshalb wär es schön, wenn mir jemand einen Tipp geben
> könnte, wie ich hier vorgehe! Denn ich kenne nur Formen
> wie y'=f(ax+by+c) oder y'=f(y/x) und die entsprechenden
> Substitutionen etc. - und die passen hier ja nicht auf die
> gegebene Gleichung, oder?
>
> Besten Dank
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:44 Mo 14.06.2010 | | Autor: | gigi |
danke!
ich komme dann auf y=-cosx+c.
stimmt das soweit?
grüße
|
|
|
| |
|
Hallo gigi,
> ich komme dann auf y=-cosx+c.
> stimmt das soweit?
Mach doch mal die Probe: [mm] y'=\sin{x}
[/mm]
Gefordert war: [mm] y'=e^y\sin{x}
[/mm]
Wieschoos Tipp (getrennte Variablen) geht so:
[mm] \bruch{dy}{dx}=y'=e^y\sin{x} \quad \gdw
[/mm]
[mm] e^{-y}dy=\sin{x}dx
[/mm]
Jetzt integrieren:
[mm] \int{e^{-y}dy}=\int{\sin{x}dx}
[/mm]
[mm] \Rightarrow\ -e^{-y}=-cos{x}+C
[/mm]
Und jetzt noch umformen nach y.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 Mo 14.06.2010 | | Autor: | gigi |
soweit war ich auch- nur beim umformen habe ich mich dann vertan! aber auch jetzt komm ich immer noch nicht drauf- ich weiß nicht, wo mein denkfehler liegt, aber wenn ich mit "ln" auf beiden seiten weiterrechne, steht da doch: [mm] y=ln(-cosx)+c_2 [/mm] oder?! das passt bei der probe aber ja auch nicht!
theoretisch müsste ich doch [mm] y=-e^y [/mm] cosx+c erhalten, oder?
gruß und dank
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:27 Mo 14.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> soweit war ich auch- nur beim umformen habe ich mich dann
> vertan! aber auch jetzt komm ich immer noch nicht drauf-
> ich weiß nicht, wo mein denkfehler liegt, aber wenn ich
> mit "ln" auf beiden seiten weiterrechne, steht da doch:
> [mm]y=ln(-cosx)+c_2[/mm] oder?!
Nein. Was soll man dazu sagen ? Du verheimlichst Deine Rechnungen !
Wenn Du es richtig machst, kommst Du zunächst auf
[mm] $e^{-y}= [/mm] cos(x)+c$
Jetzt logarithmieren liefert
$-y = ???$
> das passt bei der probe aber ja auch
> nicht!
>
> theoretisch müsste ich doch [mm]y=-e^y[/mm] cosx+c erhalten, oder?
Nein, wieso den das ? Was soll "theoretisch " hier bedeuten ?
FRED
>
> gruß und dank
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Mo 14.06.2010 | | Autor: | gigi |
>
> Wenn Du es richtig machst, kommst Du zunächst auf
>
> [mm]e^{-y}= cos(x)+c[/mm]
>
> Jetzt logarithmieren liefert
>
> [mm]-y = ???[/mm]
y=-ln(cosx)+c
>
>
> > das passt bei der probe aber ja auch
> > nicht!
> >
> > theoretisch müsste ich doch [mm]y=-e^y[/mm] cosx+c erhalten, oder?
>
> Nein, wieso den das ? Was soll "theoretisch " hier bedeuten
> ?
ich habe mir einfach überlegt, dass [mm] y=-e^y [/mm] cosx+c nach x abgeleitet ja [mm] y'=e^y [/mm] sinx ergeben müsste.
>
> FRED
> >
> > gruß und dank
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:17 Mo 14.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. hast du beim Ableiten schon mal was von produktregel gehört?
also rechne y' richtig aus.
2. [mm] ln(a+c)\ne [/mm] lna+lnc oder lna+c
Gruss leduart
|
|
|
|
