Differentialgleichung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:19 So 07.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Angenommen, man kennt eine Lösung [mm] y_{1} [/mm] der linearen Differentialgleichung [mm] y''+\alpha(t)*y'+\beta(t)*y=0.
[/mm]
Dann liefert der Ansatz [mm] y_{2}(t)=c(t)*y_{1}(t) [/mm] eine mit den bekannten Methoden [Dem Vorlesungsverlauf zufolge ist hier m.E. die Trennung der Variablen gemeint, Dennis] lösbare Differentialgleichung für eine weitere Lösung [mm] y_{2}. [/mm]
Führen Sie das aus und bestimmen Sie damit eine zweite Lösung der Schwingungsgleichung
[mm] y''+2py'+w^2*y=0
[/mm]
im aperiodischen Fall (also [mm] w_0^2=p^2), [/mm] wobei [mm] y_{1}(t)=c*e^{-pt}. [/mm] |
Es handelt sich hierbei um eine Differentialgleichung 2. Ordnung. Ich habe versucht zu verstehen, inwiefern der Ansatz [mm] y_{2}(t)=c(t)*y_{1}(t) [/mm] eine Differentialgleichung liefert, bin aber zu keinem Ergebnis gekommen.
Hierzu habe ich die gegebene Differentialgleichung, deren Lösung [mm] y_{1} [/mm] ist, nach [mm] y_{1} [/mm] umgeformt, aber ich weiß nicht, was ich damit bezwecke.
Anders gesagt: Mir fehlt eine Idee, wie diese Aufgabe anzugehen ist und wie das c(t) zu verstehen ist.
Wer kann mir helfen?
Danke im Voraus!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:29 So 07.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Differenziere den Ansatz
[mm] $y_2(t)=c(t)*y_1(t)$
[/mm]
zweimal, gehe damit in die DGL ein und verwende, dass [mm] y_1 [/mm] eine Lösung dieser DGL. ist
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:49 So 07.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
> Differenziere den Ansatz
>
> [mm]y_2(t)=c(t)*y_1(t)[/mm]
>
> zweimal
Das habe ich getan und bekomme:
[mm] y_{2}''(t)=c''(t)*y_{1}(t)+2*c'(t)*y_{1}'(t)+c(t)*y_{1}''(t).
[/mm]
Doch was ist gemeint mit: "[...] gehe damit in die DGL ein und verwende, dass [mm] y_{1} [/mm] eine Lösung dieser DGL ist." ?
Kannst Du es vllt. kurz erläutern?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:11 So 07.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
setz wirklich [mm] y_2 [/mm] und seine Ableitungen in die Dgl. ein
ordne nach c,c',c''
also c*(...)+c'*...+c''*=0
dann erst kannst du sehen, dass du benutzen kannst dass y1 die Dgl erfüllt.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:11 So 07.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | In Ordnung, ich habe das befolgt:
Ich habe also die ersten beiden Ableitungen von [mm] y_{2}(t)=c(t)*y_{1}(t) [/mm] gebildet:
[mm] y_{2}'(t)=c'(t)*y_{1}(t)+c(t)*y_{1}'(t) [/mm] sowie
[mm] y_{2}''(t)=c''(t)*y_{1}(t)+2*c'(t)*y_{1}'(t)+c(t)*y_{1}''(t).
[/mm]
Anschließend habe ich [mm] y_{2}(t), y_{2}'(t) [/mm] und [mm] y_{2}''(t) [/mm] in die gegebene Differentialgleichung [mm] y''+\alpha(t)*y'+\beta(t)*y=0 [/mm] eingesetzt und ich erhalte
[mm] c''(t)*y_{1}(t)+2*c'(t)*y_{1}'(t)+c(t)*y_{1}''(t)+\alpha(t)*(c'(t)*y_{1}(t)+c(t)*y_{1}'(t))+\beta(t)*(c(t)*y_{1}(t))=0.
[/mm]
Dies ist dann sortiert
[mm] c(t)*(y_{1}''(t)+\alpha(t)*y_{1}'(t)+\beta(t)*y_{1}(t))+c'(t)*(2*y_{1}'(t)+\alpha(t)*y_{1}(t))+c''(t)*y_{1}(t)=0.
[/mm]
Hierbei gilt, weil [mm] y_{1}(t) [/mm] als Lösung angenommen ist:
[mm] c(t)*(y_{1}''(t)+\alpha(t)*y_{1}'(t)+\beta(t)*y_{1}(t))=0.
[/mm]
D.h. es bleibt übrig(Sehe ich das richtig?):
[mm] c'(t)*(2*y_{1}'(t)+\alpha(t)*y_{1}(t))+c''(t)*y_{1}(t)=0. [/mm] |
Doch: Was nützt mir das nun für die Aufgabe?
Müssen nun für den "Restausdruck" die Koeffizienten mit denen der Ausgangsgleichung verglichen werden?
Ich sehe nicht, wie es weitergehen kann.
Dennis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:07 So 07.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
c'=z c''=z' gibt ne Dgl. 1. Ordung, die man mit Trennung der Variablen lösen kann,z'/z=.... explizit natürlich nur, wenn man y1(t) kennt.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 So 07.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Dennoch eine kurze weitere Frage:
Wenn man c'(t) und c''(t) durch z bzw. z' substituiert, so gilt:
[mm] z(t)*(2*y_{1}'(t)+\alpha(t)*y_{1}(t))+z'(t)*y_{1}(t)=0.
[/mm]
Das ist eine Differentialgleichung 1. Ordnung? Eine gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung darf doch nur die 0-te Ableitung und evtl. das t selbst enthalten, aber hier ist doch mit [mm] y_{1}'(t) [/mm] auch noch eine 1-te Ableitung enthalten. Wo liegt mein Denkfehler?
Wie kann man hier die Trennung der Variablen vollziehen?
Vielleicht hast Du ja so viel Geduld mir auch das noch kurz zu erklären... |
|
|
|
| |
|
Hallo dennis2,
> Entschuldige, aber ich bin ein solcher Neuling auf diesem
> Gebiet, dass ich tatsächlich zu blöd bin, das zu sehen:
>
> Wenn man c'(t) und c''(t) durch z bzw. z' substituiert, so
> gilt:
>
> [mm]z(t)*(2*y_{1}'(t)+\alpha(t)*y_{1}(t))+z'(t)*y_{1}(t)=0.[/mm]
>
> (Das ist eine Differentialgleichung 1. Ordnung? Eine
> gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung darf doch nur
> die 0-te Ableitung und evtl. das t selbst enthalten, aber
> hier ist doch mit [mm]y_{1}'(t)[/mm] auch noch eine 1-te Ableitung
> enthalten. Wo liegt mein Denkfehler?
Nun, [mm]y_{1}\left(t\right)[/mm] ist bekannt, somit auch [mm]y_{1}'\left(t\right)[/mm] .
>
> Wie kann man hier die Trennung der Variablen vollziehen?
> (Vielleicht hast Du ja so viel Geduld mir auch das noch
> kurz zu erklären...).
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 So 07.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | D.h. hier endet der erste Schritt der Aufgabe und man wendet sich nun dem konkreten Teil der Aufgabe zu, d.h. man setzt die Werte ein, die für die Schwingungsgleichung gegeben sind?
[mm] y_{1}(t)=c*e^{-pt};
[/mm]
[mm] w^2=p^2
[/mm]
Dann ist:
[mm] y_{1}'(t)=-c*p*e^{-pt}.
[/mm]
Einsetzen liefert:
[mm] z(t)*(-2*c*p*e^{-pt}+2*p*c*e^{-pt})+z'(t)*c*e^{-pt}=0.
[/mm]
Der erste Klammerausdruck ist 0.
Also: [mm] z'(t)*c*e^{-pt}=0. [/mm]
[mm] z´(t)=0, c''(t)=0 ??[/mm]
Was ist dann eine weitere Lösung der Schwingungsgleichung, wie es in der Aufgabe gefordert ist? |
|
|
|
| |
|
Hallo dennis2,
> D.h. hier endet der erste Schritt der Aufgabe und man
> wendet sich nun dem konkreten Teil der Aufgabe zu, d.h. man
> setzt die Werte ein, die für die Schwingungsgleichung
> gegeben sind?
>
> [mm]y_{1}(t)=c*e^{-pt};[/mm]
> [mm]w^2=p^2[/mm]
>
>
> Dann ist:
> [mm]y_{1}'(t)=-c*p*e^{-pt}.[/mm]
>
> Einsetzen liefert:
>
> z(t)*(-2*c*p*e^(-pt)+2*p*c*e^(-pt))+z'(t)*c*e^(-pt)=0.
>
> Der erste Klammerausdruck ist 0.
>
> Also: z'(t)*c*e^(-pt)=0.
>
> z´(t)=0, also c''(t)=0. ??
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Was ist dann eine weitere Lösung der Schwingungsgleichung,
> wie es in der Aufgabe gefordert ist?
>
> ...peinlich, wie blöd ich mich anstelle!
Aus [mm]c''\left(t\right)=0[/mm] folgt [mm]c\left(t\right)=K*t[/mm]
Damit ist
[mm]y_{2}\left(t\right)=c\left(t\right)*y_{1}\left(t\right)=K*t*c*e^{-p*t}=\left(K*c\right)*t*e^{-p*t}[/mm]
die zweite Lösung.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:06 So 07.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
Ich bedanke mich ganz herzlich für die Hilfe bei:
fred97, leduart, MathePower!
Dennis
|
|
|
|
