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Forum "Differentiation" - Differentialgleichung
Differentialgleichung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Differentialgleichung: Berechnung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:07 Mo 06.12.2010
Autor: Masseltof

Aufgabe
Sei M [mm] \subseteq \mathbb{R}. f,\,g:\,M \to \mathbb{R} [/mm] seien differenzierbare Funktionen,

und g(x) [mm] \,>\, [/mm] 0 für alle [mm] x\in [/mm] M.

Finden Sie die Lösung für:
[mm] \left(\frac{\big(f(x)\big)^{n}}{\sqrt{g(x)}}\right)'\, [/mm]


Hallo.

Ich soll die o.g Aufgabe berechnen.

Ein kleines Problem sind für mich die Ausdrücke [mm] (f(x))^n [/mm] und [mm] \wurzel{g(x)} [/mm]

Ich gehe davon aus, dass beide Funktionen einer Verkettung zu Grunde liegen.

f(x)=f(x)        
[mm] t(y)=y^n [/mm]
-> y=f(x)

t(f(x))= [mm] (t\circ{f})(x) [/mm]

g(x)=g(x)
[mm] q(z)=\wurzel{z} [/mm]
z=g(x)

q(g(x))= [mm] (q\circ{g})(x) [/mm]

[mm] ((f(x))^n)' [/mm] = [mm] (n*f(x))^{n-1} [/mm] * f'(x)

[mm] (\wurzel{g(x)})‘= \bruch{1}{2}*g(x)^{-\bruch{1}{2}}*g'(x) [/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}*\bruch{1}{\wurzel{g(x)}}*g'{x} [/mm]

Ist das soweit richtig?

Grüße und danke im Voraus.

        
Bezug
Differentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:25 Mo 06.12.2010
Autor: schachuzipus

Hallo Masseltof,


> Sei M [mm]\subseteq \mathbb{R}. f,\,g:\,M \to \mathbb{R}[/mm] seien
> differenzierbare Funktionen,
>  
> und g(x) [mm]\,>\,[/mm] 0 für alle [mm]x\in[/mm] M.
>  
> Finden Sie die Lösung für:
> [mm]\left(\frac{\big(f(x)\big)^{n}}{\sqrt{g(x)}}\right)'\,[/mm]
>  
> Hallo.
>  
> Ich soll die o.g Aufgabe berechnen.
>  
> Ein kleines Problem sind für mich die Ausdrücke [mm](f(x))^n[/mm]
> und [mm]\wurzel{g(x)}[/mm]
>  
> Ich gehe davon aus, dass beide Funktionen einer Verkettung
> zu Grunde liegen.
>  
> f(x)=f(x)        
> [mm]t(y)=y^n[/mm]
>  -> y=f(x)

>  
> t(f(x))= [mm](t\circ{f})(x)[/mm]
>  
> g(x)=g(x)
>  [mm]q(z)=\wurzel{z}[/mm]
>  z=g(x)
>  
> q(g(x))= [mm](q\circ{g})(x)[/mm]
>  
> [mm]((f(x))^n)'[/mm] = [mm](n*f(x))^{n-1}[/mm] * f'(x)

Fast, da stimmt nur die Klammerung nicht, besser: [mm]n\cdot{}\left(f(x)\right)^{n-1}\cdot{}f'(x)[/mm]

>
> [mm](\wurzel{g(x)})‘= \bruch{1}{2}*g(x)^{-\bruch{1}{2}}*g'(x)[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{\wurzel{g(x)}}*g'{x}[/mm] [ok]
>  
> Ist das soweit richtig?

Ja, nun alles gem. Quotientenregel zusammenschustern

>  
> Grüße und danke im Voraus.  

LG

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Differentialgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:44 Mo 06.12.2010
Autor: Masseltof

Hallo und danke für die Antwort.

So habe ich dann weiter gerechnet:

[mm] \bruch{v(x)}{g(x)}=\bruch{v'{x}*g(x)-v(x)*g'(x)}{g(x)^2} [/mm]

[mm] \Rightarrow [/mm]

[mm] \bruch{n*(f(x))^{n-1}*f'(x)*\wurzel{g(x)}-(f(x))^n*\bruch{1}{2\wurzel{g(x)}}}{\wurzel{g(x)}^2} [/mm]

$ [mm] =\bruch{n\cdot{}(f(x))^{n-1}\cdot{}f'(x)\cdot{}\wurzel{g(x)}-(f(x))^n\cdot{}\bruch{1}{2\wurzel{g(x)}}}{g(x)} [/mm] $



Ist das so richtig?
Kann man das noch irgendwie kürzen?


Viele Grüße und danke im Voraus.

Bezug
                        
Bezug
Differentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:58 Mo 06.12.2010
Autor: leduart

Hallo
1. ist ein g' verlorengegangen, was im vorigen post noch stand.
2. doppelbrüche löst man immer auf, also erweitere mit [mm] \wurzel{g(x)} [/mm]
Gruss leduart


Bezug
                                
Bezug
Differentialgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:23 Mo 06.12.2010
Autor: Masseltof

Hallo und danke für die schnelle Antwort.

Ist mir gerade auch aufgefallen mit dem g.
Statt:
$ [mm] =\bruch{n\cdot{}(f(x))^{n-1}\cdot{}f'(x)\cdot{}\wurzel{g(x)}-(f(x))^n\cdot{}\bruch{1}{2\wurzel{g(x)}}}{g(x)} [/mm] $

Sollte hier stehen:
$ [mm] =\bruch{n\cdot{}(f(x))^{n-1}\cdot{}f'(x)\cdot{}\wurzel{g(x)}-(f(x))^n\cdot{}\bruch{1}{2\wurzel{g(x)}}*g'(x)}{\wurzel(g(x))^2} [/mm] $

$ [mm] =\bruch{n\cdot{}(f(x))^{n-1}\cdot{}f'(x)\cdot{}\wurzel{g(x)}-(f(x))^n\cdot{}\bruch{1}{2}*\bruch{1}{1\wurzel{g(x)}}*g'(x)}{g(x)} [/mm] $

$ [mm] =\bruch{n\cdot{}(f(x))^{n-1}\cdot{}f'(x)\cdot{}{g(x)}-(f(x))^n\cdot{}\bruch{1}{2}*g'(x)}{g(x)*\wurzel{g(x)}} [/mm] $


$ [mm] =\bruch{n\cdot{}(f(x))^{n-1}\cdot{}f'(x)\cdot{}{g(x)}-(f(x))^n\cdot{}\bruch{1}{2}*g'(x)}{\wurzel{g(x)}^3} [/mm] $

$ [mm] =\bruch{2*n\cdot{}(f(x))^{n-1}\cdot{}f'(x)\cdot{}{g(x)}-(f(x))^n*g'(x)}{2*\wurzel{g(x)}^3} [/mm] $

Ich glaube so ist es richtig?

Grüße


Bezug
                                        
Bezug
Differentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:44 Mo 06.12.2010
Autor: fred97

Es stimmt

FRED

Bezug
        
Bezug
Differentialgleichung: keine DGL
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:56 Mo 06.12.2010
Autor: Loddar

Hallo Masseltof!


Deine aktuellen Aufgaben haben nichts mit Differentialgleichungen zu tun.


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Differentialgleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:31 Mo 06.12.2010
Autor: Masseltof

Hallo.

Mist, das tut mir Leid :/
In welches Unterforum könnte ich sie denn posten?

Grüße

Bezug
                        
Bezug
Differentialgleichung: Unterforum "Differentiation"
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:33 Mo 06.12.2010
Autor: Loddar

Hallo!


Na sieh mal, wo Deine Fragen nunmehr gelandet sind.


Gruß
Loddar


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