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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:09 So 30.01.2011 | | Autor: | Kueken |
| Aufgabe | | Vier Ameisen, die sich zur Zeit t=0 auf den Ecken eines im Ursprung zentrierten Quadrats befinden, beginnen sich gegen den Uhrzeigersinn zu bewegen, wobei sich jede genau in Richtung der vor ihr liegenden Ameise bewegt. Zeigen Sie durch Lösen der entsprechenden Differentialgleichung, dass die Trajektorie einer Ameise durch eine logarithmische Spirale [mm] r(\phi) [/mm] = [mm] r_{0}*e^{-\phi} [/mm] beschrieben wird. |
Hi!
Ich habe mir ein Bildchen gemalt und versuche verzweifelt die "entsprechende" Differentialgleichung aufzustellen. Aber ich krieg es nicht hin. Ich weiß gar nicht wie ich überhaupt eine Bahnkurve von einer Ameise hinbekomme. Weil wir im 2d Raum sind und ein phi vorkommt, denke ich mal dass Polarkoordinaten angebracht sind.
Bin für jede Hilfestellung dankbar.
Lieben Gruß
Kerstin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:07 So 30.01.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Am besten ein Koordinatensystem wählen, bei dem der Nullpunkt mit dem Mittelpunkt des Quadrates zusammenfällt.
Die Richtung in die sich die Ameise in einem kleinen Moment bewegt ist doch die Richtung des Richtungsvektors von der Ameise zur vorderen Ameise.
Geben wir dem ganzen eine Zeit.
Erste Ameise: Wir können die x-Koordinate mit einer Funktion [mm] f_{1}(t) [/mm] beschreiben und die y-Koordinate mit [mm] f_{2}(t).
[/mm]
Zweite Ameise: Wir können die x-Koordinate mit einer Funktion [mm] g_{1}(t) [/mm] beschreiben und die y-Koordinate mit [mm] g_{2}(t).
[/mm]
usw.
[mm] \vektor{\bruch{df_{1}(t)}{dt} \\ \bruch{df_{2}(t)}{dt}} [/mm] = [mm] \vektor{g_{1}(t) \\ g_{2}(t)} [/mm] - [mm] \vektor{f_{1}(t) \\ f_{2}(t)}
[/mm]
r(t) = [mm] \wurzel{f_{1}(t)^{2} + f_{2}(t)^{2}}
[/mm]
[mm] \phi(t) [/mm] = [mm] arctan(\bruch{f_{2}(t)}{f_{1}(t)})
[/mm]
Hab jetzt (noch) nicht alles durchgerechnet bzw. weiss auch nicht ob man so weiterkommt aber vielleicht reicht dir das schon.
Wenn man die Symetrie der Aufgabenstellung beachtet kann man sicher auch noch schneller und einfacher weiterkommen.
Gruss
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:15 So 30.01.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
einfacher in polarkoordinaten, noch einfacher komplex.
aus deinem bildchen muss dir klar sein:
KO ursprung in der mitte des quadrats. wenn der rechte punkt bei z ist, ist der punkt, den er verfolgt um 90° gedreht, also bei i*z die Richtung, in der er läuft also iz-z die Richtung der Differenz der Punkte.
damit hast du z'(t)=(-1+i)z(t) und siehst hoffentlich die lösung direkt.
wenn du lieber willst kannst du natürlich auch statt z den vektor [mm] (x,y)^T [/mm] nehmen, und die entsprechende Matrix
(x,y) um 90° gedreht ist (-y,x) also (x,y)'=(-y,x)-(x,y)
[mm]\vektor{x \\
y}'=\pmat{ -1 & -1 \\
1 & -1 } *\vektor{x \\
y}[/mm] du siehst hoffentlich die Drehstreckung.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:24 So 30.01.2011 | | Autor: | Kueken |
hui, danke erstmal für die antworten. Komplex hatten wir noch gar nicht und Matrizen auch nicht (jedenfalls nicht in diesem Modul ;) ) naja, ich werds mal versuchen :D
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:28 So 30.01.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
statt der Marix kannst du ja einfach das Dgl systen hinschreiben, was davor steht.
2. die Losung einer Dgl. darf man immer "raten" und durch einsetzen bestätigen!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:40 So 13.02.2011 | | Autor: | Kueken |
ok, super werd ich mir merken. Dankeschön!
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