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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:28 Di 09.08.2011 | | Autor: | RWBK |
| Aufgabe 1 | a) Gesucht ist die allgemeine Lösung der Differentialrechnung
[mm] 4y^{(4)}-24y´´´ [/mm] +51y´´ -44y´ +12y=0
Stellen Sie hierzu das charakteristische Polynom [mm] p_{4}(\lambda) [/mm] auf. Es hat u.a. die doppelte Nullstelle [mm] \lambda= [/mm] 2. Spalten Sie diese mit dem Horner Schema ab. |
| Aufgabe 2 | | b) Geben Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung y´ [mm] =\bruch{sin(x)}{cos(y)} [/mm] |
Hallo,
Zur ersten Aufgabe (Teil a)
Was ist ein charakterischtisches Polynom?
Die Abspaltung mittels des Horner Schemas hab ich noch gemacht
Wenn es sich um eine doppelte Nullstelle handel wird das Horner Schema zweimal angewendet oder?
1x Horner Schema angewendet = [mm] 4\lambda^{3}-16\lambda^{2}+19\lambda-6
[/mm]
2x Horner Schema angewendet = [mm] 4\lambda^{2}-8\lambda+3
[/mm]
[mm] p_{4}(\lambda)=(x-2)^{2}*(4\lambda^{2}-8\lamda+3) [/mm] ist das meine Lösung? Wenn nicht wie muss ich weiter vorgehen und wie würde mein gesuchtes Ergebniss aussehen?
2 Aufgabe ( Teil b)
Da würde es mich freuen ob mir jemand sagen kann ob meine Rechnung(-weg) richtig ist.
y´ [mm] =\bruch{sin(x)}{cos(y)} \gdw \bruch{dy}{dx}=\bruch{sin(x)}{cos(y)}
[/mm]
dy*cos(y)=sin(x)*dx
[mm] \integral_{}^{}{cos(y) dy}=\integral_{}^{}{sin(x) dx}
[/mm]
[mm] sin(y)+c_{1}=-cos(x)+c_{2}
[/mm]
[mm] sin(y)=-cos(x)+c_{2}-c_{1} [/mm]
sin(y)=-cos(x)+c
y(x)=arcsin(-cos(x)+c)
mfg
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Hallo RWBK,
> a) Gesucht ist die allgemeine Lösung der
> Differentialrechnung
> [mm]4y^{(4)}-24y´´´[/mm] +51y´´ -44y´ +12y=0
>
> Stellen Sie hierzu das charakteristische Polynom
> [mm]p_{4}(\lambda)[/mm] auf. Es hat u.a. die doppelte Nullstelle
> [mm]\lambda=[/mm] 2. Spalten Sie diese mit dem Horner Schema ab.
>
>
>
>
>
> b) Geben Sie die allgemeine Lösung der
> Differentialgleichung y´ [mm]=\bruch{sin(x)}{cos(y)}[/mm]
>
>
>
>
>
> Hallo,
>
> Zur ersten Aufgabe (Teil a)
>
> Was ist ein charakterischtisches Polynom?
Charakteristische Gleichung:
Die Dgl lautet [mm]4y''''-24y'''+51y''-44y'+12y=0[/mm]
Daraus die char. Gleichung: [mm]4\lambda^4-24\lambda^3+51\lambda^2-44\lambda+12=0[/mm]
> Die Abspaltung mittels des Horner Schemas hab ich noch
> gemacht
> Wenn es sich um eine doppelte Nullstelle handel wird das
> Horner Schema zweimal angewendet oder?
> 1x Horner Schema angewendet =
> [mm]4\lambda^{3}-16\lambda^{2}+19\lambda-6[/mm]
> 2x Horner Schema angewendet = [mm]4\lambda^{2}-8\lambda+3[/mm]
>
> [mm]p_{4}(\lambda)=(x-2)^{2}*(4\lambda^{2}-8\lamda+3)[/mm] ist das
> meine Lösung?
Schlecht aufgeschrieben, aber stimmig, wenn auch noch nicht fertig.
Schneller als dieses komische Hornerschema ist doch wohl die Polynomdivision: [mm](4\lambda^4-24\lambda^3+51\lambda^2-44\lambda+12):(\lambda-2)^2=(4\lambda^4-24\lambda^3+51\lambda^2-44\lambda+12):(\lambda^2-4\lambda+4)=4\lambda^2-8\lambda+3[/mm]
Also [mm][mm] 4\lambda^4-24\lambda^3+51\lambda^2-44\lambda+12=(\lambda-2)^2\cdot{}(4\lambda^2-8\lambda+3)$" )^2\cdot{}(4\lambda^2-8\lambda+3)$"="" [/mm] src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$4%5Clambda%5E4-24%5Clambda%5E3%2B51%5Clambda%5E2-44%5Clambda%2B12%3D%28%5Clambda-2%29%5E2%5Ccdot%7B%7D%284%5Clambda%5E2-8%5Clambda%2B3%29$" [mm] )^2\cdot{}(4\lambda^2-8\lambda+3)"="">
[/mm]
Der Faktor <span class="math">![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Gut!
>
> mfg
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:50 Di 09.08.2011 | | Autor: | RWBK |
Danke für die schnelle antwort. Kann das sein das am Ende deines Beitrags etwas verrutscht ist?
mfg
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Ach, geht das Verstümmeln wieder los.
Irgendwas stimmt mal wieder nicht ...
Ätzend, in der Vorschau sah es alles korrekt dargestellt aus!
Ich hatte die Lösung zu Aufgabe 2 bestätigt und noch dazu geschrieben, dass man die beiden Integrationskonstante, die bei der unbestimmten Integration entstehen, direkt zu einer zusammenfasst, indem man sie nur rechterhand vergibt:
[mm]\int{\cos(y) \ dy} \ = \ \int{\sin(x) \ dx}[/mm]
[mm]\Rightarrow \sin(y) \ = \ -\cos(x)+c[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:05 Di 09.08.2011 | | Autor: | RWBK |
Aso ein Frage hätte ich dann nochmal zu der Teilaufgabe a). Warum ist die denn noch nicht ganz fertig , bzw. was fehlt?
mfg
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Ah, das ist auch teilweise verstümmelt ...
> Aso ein Frage hätte ich dann nochmal zu der Teilaufgabe
> a). Warum ist die denn noch nicht ganz fertig , bzw. was
> fehlt?
Du kannst weiter zerlegen.
Die char. Gleichung lautet:
[mm]cp(\lambda)=4\lambda^4-24\lambda^3+51\lambda^2-44\lambda+12[/mm]
Die doppelte NST [mm]\lambda=2[/mm] hast du vorgegeben, also Polynomdivision durch [mm](\lambda-2)^2[/mm] oder Horner oder wie auch immer zu deinem Ergebnis:
[mm]cp(\lambda)=(\lambda-2)^2\cdot{}(4\lambda^2-8\lambda+3)[/mm]
Das kannst du noch weiter zerlegen in [mm]cp(\lambda)=(2\lambda-1)(\lambda-2)^2(2\lambda-3)[/mm]
Wie sieht damit die Lösung der Ausgangsdgl aus?
>
> mfg
Gruß
schachuzipus
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Hallo RWBK!
Die zweite Aufgabe sieht gut aus. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß vom
Roadrunner
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