Differentialgleichung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:54 Mi 31.08.2011 | | Autor: | RWBK |
| Aufgabe | Gegeben sei die lineare Differentialgleichung
[mm] y^{4}+2y^{3}-12y´´-12y´+24y=24e^{-x}
[/mm]
Das charakteristische Polynom hat untre anderem die Nullstellen 1 und -2.Spalten Sie diese mit Hilfe des Horner Schemas ab und bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung.
(Diese Aufagbe soll als Beispielaufgabe für mehrere ähnlich oder gleiche Aufgaben stehen) |
Hallo und schönen guten Tag,
diesen Typen ist mir leider nicht ganz klar. Daher hoffe ich das mir jemand vllt ein paar Tipps zu dieser Aufgabe geben kann. Hab diese Aufgabe anhand einer Beispielaufgabe aus dem Skript gelöst. Leider ist mir aber nicht so wirklich klar warum ich die folgenden Schritte mache. Würde mich sehr freuen wenn mir jemand dazu ein paar Tipps geben könnte. Ich fange jetzt einfach mal an.
[mm] p_{4}(\lambda)=\lambda^{4}+2\lambda^{3}-13\lambda^{2}-14\lambda+24
[/mm]
-so dies ist mir noch klar (außer warum das jetzt [mm] \lambda [/mm] ist und nicht einfach x aber okay.)
Horner Schema ist mir auch noch klar habt nach der Abspaltung von 1 da stehen (1 3 -10 -24 0) nach der Abspaltung von -2 hab ich da (1 1 -12 0)
Dies könnte ich auch als [mm] \lambda^{2}+\lambda-12 [/mm] schreiben oder? Daraus könnte ich jetzt mittels p,q-Formel die Nullstellen bestimmen die wären dann [mm] \lambda_{3}=3 [/mm] und [mm] \lambda_{4}=-4. [/mm] Jetzt fangen meine richtigen Probleme an. Unser Lehrer hat bei seiner Beispielaufgabe folgendes dazu geschrieben. Zitat" Das Fundamentalsystem der Differentialgleichung besteht demnach aus [mm] \{e^{x},e^{-2x},e^{x3},e^{-4x}\} [/mm] " Hab hier jetzt nur in den Exponenten meine ermittelten Nullstellen eingesetzt. Aber wie kommt man jetzt erst einmal auf diese Ausdrücke mit dem e ?? Der Ansatz für das Störglied [mm] 24e^{-x} [/mm] lautet [mm] y(x)=\alpha e^{-x}. [/mm] Das versteh ich auch nicht was ist ein Störglied und woher kommt die Definition [mm] y(x)=\alpha e^{-x}? [/mm] Mit dem Rest warte ich erst mal noch versteh dies ja schon leider alles nicht. Hoffe ich schrecke niemanden ab mit diesem Fragen.
mfg
|
|
| |
|
Hallo RWBK,
> Gegeben sei die lineare Differentialgleichung
> [mm]y^{4}+2y^{3}-12y´´-12y´+24y=24e^{-x}[/mm]
Zum n-ten Mal: Benutze für die Ableitungsstriche "Shift+#", sonst wird das nicht angezeigt!
Und nutze die Vorschaufunktion!!!
> Das charakteristische Polynom hat untre anderem die
> Nullstellen 1 und -2.Spalten
Das halte ich für ein Gerücht!
Lautet die Dgl. gar: [mm]y^{(4)}+2y^{(3)}-13y''-14y'+24y=24e^{-x}[/mm] ???
> Sie diese mit Hilfe des Horner
> Schemas ab und bestimmen Sie die allgemeine Lösung der
> Differentialgleichung.
> (Diese Aufagbe soll als Beispielaufgabe für mehrere
> ähnlich oder gleiche Aufgaben stehen)
> Hallo und schönen guten Tag,
>
> diesen Typen ist mir leider nicht ganz klar. Daher hoffe
> ich das mir jemand vllt ein paar Tipps zu dieser Aufgabe
> geben kann. Hab diese Aufgabe anhand einer Beispielaufgabe
> aus dem Skript gelöst. Leider ist mir aber nicht so
> wirklich klar warum ich die folgenden Schritte mache.
> Würde mich sehr freuen wenn mir jemand dazu ein paar Tipps
> geben könnte. Ich fange jetzt einfach mal an.
>
> [mm]p_{4}(\lambda)=\lambda^{4}+2\lambda^{3}-13\lambda^{2}-14\lambda+24[/mm]
Aha, wie kommt das nun zustande? Da lag ich meiner Orakelei also richtig und du hast die falsche Ausgangsdgl. eingetippt ...
Tippe sorgfältiger ein, sonst lösche ich sowas demnächst kommentarlos!
![[motz]](/images/smileys/motz.gif "[motz]")
> -so dies ist mir noch klar (außer warum das jetzt [mm]\lambda[/mm]
> ist und nicht einfach x aber okay.)
So ist nunmal das char. Polynom definiert ...
Das kannst du doch aus der Dgl. einfach ablesen und hinschreiben ...
Wenn du genau wissen willst, was es damit auf sich hat, schlage in der entsprechenden Literatur nach oder im Internet ...
Aber das ist wohl kaum noch Schulstoff, sondern Stoff einer Vorlesung in GDgl
>
> Horner Schema ist mir auch noch klar habt nach der
> Abspaltung von 1 da stehen (1 3 -10 -24 0) nach der
> Abspaltung von -2 hab ich da (1 1 -12 0)
> Dies könnte ich auch als [mm]\lambda^{2}+\lambda-12[/mm] schreiben
> oder? Daraus könnte ich jetzt mittels p,q-Formel die
> Nullstellen bestimmen die wären dann [mm]\lambda_{3}=3[/mm] und
> [mm]\lambda_{4}=-4.[/mm]
Ok, ich persönlich hätte das aber wohl lieber über Polynomdivision gemacht ... (aber wenn der Lehrer das so haben will ...)
> Jetzt fangen meine richtigen Probleme an.
> Unser Lehrer hat bei seiner Beispielaufgabe folgendes dazu
> geschrieben. Zitat" Das Fundamentalsystem der
> Differentialgleichung besteht demnach aus
> [mm]\{e^{x},e^{-2x},e^{x3},e^{-4x}\}[/mm] " Hab hier jetzt nur in
> den Exponenten meine ermittelten Nullstellen eingesetzt.
> Aber wie kommt man jetzt erst einmal auf diese Ausdrücke
> mit dem e ??
Mit den ermittelten Nullstellen lautet per Definition die allg. homogene Lösung (also mit rechter Seite =0 statt [mm]=24e^{-x}}[/mm]):
[mm]y_h(x)=c_1e^{x}+c_2e^{-2x}+c_3e^{3x}+c_4e^{-4x}[/mm] mit [mm]c_1,..,c_4\in\IR[/mm]
Das ist eine Linearkombination der linear unabh. Funktionen [mm]e^{x}, e^{-2x}, e^{3x}, e^{-4x}[/mm]
Dieses nennt man dann reelles Fundamentalsystem
> Der Ansatz für das Störglied [mm]24e^{-x}[/mm] lautet
> [mm]y(x)=\alpha e^{-x}.[/mm] Das versteh ich auch nicht was ist ein
> Störglied
So bezeichnet man die Funktion auf der rechten Seite der Dgl.
> und woher kommt die Definition [mm]y(x)=\alpha e^{-x}?[/mm]
Nun, es gibt Listen mit den verschiedensten Ansätzen bei gegebenen Störfunktionen, hier etwa ein Bsp.
[mm] http://math-www.uni-paderborn.de/~mathkit/Inhalte/DGLen/data/manifest10/Lsg_inhomDGL_2_Ord_konst_Koeff.html
[/mm]
Alternativ zu dem eleganten Ansatz über die Störfunktion kannst du auch Variation der Konstanten machen, aber das ist mühselig.
Den Ansatz [mm]y_p(x)=A\cdot{}e^{-x}[/mm] kannst du wählen, weil [mm]c=-1[/mm] (der Koeffizient vor dem x in [mm]e^{-x}[/mm] KEINE Nullstelle der char. Gleichung ist)
Das ist der Fall "Exponentialfunktion, 1." aus dem link (das kannst du sinngem. übertragen)
> Mit dem Rest warte ich erst mal noch versteh dies ja schon
> leider alles nicht. Hoffe ich schrecke niemanden ab mit
> diesem Fragen.
Bestimme nun mit dem o.e. Ansatz eine partikuläre Lösung [mm]y_p(x)[/mm], dann ist die Gesamtlösung: [mm]y(x)=y_h(x)+y_p(x)[/mm]
>
> mfg
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
