Differentialgleichung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:40 Do 17.06.2004 | | Autor: | rossi |
Guten Abend....
komm leider bei der folgenden Aufgabe nicht weiter... hat jemand ne rettende Idee!?
Zeige: Die Differentialgleichung
(1 − [mm] x^2)y'' [/mm] − 2xy' + n(n + 1)y = 0
hat für n [mm] \in [/mm] IN eine bis auf einen konstanten Faktor eindeutig bestimmte nichttriviale Polynomllösung.
DANNKE schonmal
Gruß
Rossi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:55 Fr 18.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Rossi,
ich bin nun wirklich kein Experte für gewöhnliche Differentialgleichungen, aber gehe doch mal wie folgt vor:
Nehmen wir zunächst einmal an, es gäbe eine polynomiale Lösung $p(x)$. Seit $grad(p)=m$.
Dann folgt durch Koeffizientenvergleich (Vergleich des höchsten Koeffizienten):
$-m(m-1) -2m + n(n+1)=0$,
was durch
$m = - [mm] \frac{1}{2} [/mm] + [mm] \sqrt{\frac{1}{4} + n^2 + n} [/mm] =n$
gelöst wird. Es gilt also $grad(p)=n$. d.h. wir können:
$p(x) = [mm] a_0 [/mm] + [mm] a_1 [/mm] x + [mm] \ldots [/mm] + [mm] a_n x^n$.
[/mm]
Jetzt stellst du durch Koeffizientenvergleich ein [mm] $(n+1)\times [/mm] (n+1)$-LGS (inhomogen) auf.
Wenn du die Regularität der Matrix zeigen kannst, folgt die Eindeutigkeit und Existenz einer nicht-trivialen Lösung [mm] $(a_0,a_1,\ldots,a_n)$, [/mm] womit gezeigt wäre, dass das dazu gehörige Polynom eine Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung ist.
Wenn du nun (z.B. mit irgendwelchen Eindeutigkeitssätzen aus der Vorlesung) zeigen könntest, dass die Lösung dieser gewöhnlichen Differentialgleichung eindeutig bestimmt ist, bist du fertig.
Ist nur so eine unausgereifte Idee von einem Laien, was gewöhnliche Differentialgleichungen angeht... Lass uns doch mal an deinen weiteren Gedanken und Lösungsversuchen teilhaben.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:34 Sa 19.06.2004 | | Autor: | rossi |
Hi Stefan
also um ehrlich zu sein versteh ich net mal wie du auf
> [mm]-m(m-1) -2m + n(n+1)=0[/mm],
kommst...
Danach versteh ich schon, was du vor hast... aber des mit dem lösen von gewöhnlichen Differentialgleichung kann ich noch net so doll; werd ich mir jetzt dann noch anschauen ....
Ach so fussball is ja auch noch *ggg* ---> morgen anschauen!
Danke aber trotzdem schonmal!!!
Gruß
Rossi
> was durch
>
> [mm]m = - \frac{1}{2} + \sqrt{\frac{1}{4} + n^2 + n} =n[/mm]
>
>
> gelöst wird. Es gilt also [mm]grad(p)=n[/mm]. d.h. wir können:
>
> [mm]p(x) = a_0 + a_1 x + \ldots + a_n x^n[/mm].
>
> Jetzt stellst du durch Koeffizientenvergleich ein
> [mm](n+1)\times (n+1)[/mm]-LGS (inhomogen) auf.
>
> Wenn du die Regularität der Matrix zeigen kannst, folgt
> die Eindeutigkeit und Existenz einer nicht-trivialen Lösung
> [mm](a_0,a_1,\ldots,a_n)[/mm], womit gezeigt wäre, dass das dazu
> gehörige Polynom eine Lösung der gewöhnlichen
> Differentialgleichung ist.
>
> Wenn du nun (z.B. mit irgendwelchen Eindeutigkeitssätzen
> aus der Vorlesung) zeigen könntest, dass die Lösung dieser
> gewöhnlichen Differentialgleichung eindeutig bestimmt ist,
> bist du fertig.
>
> Ist nur so eine unausgereifte Idee von einem Laien, was
> gewöhnliche Differentialgleichungen angeht... Lass uns doch
> mal an deinen weiteren Gedanken und Lösungsversuchen
> teilhaben.
>
> Liebe Grüße
> Stefan
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