Differentialgleichung 1. Ord < DGL < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:14 Do 30.10.2008 | | Autor: | cutter |
| Aufgabe | Gegeben ist die DGL:
[mm] x'(t)=\frac{x(t)^2}{t^2}+\frac{x(t)}{t}+1
[/mm]
Lösen Sie die DGL auf dem Intervall [mm] [1,\infty) [/mm] mit [mm] x(1)=x_0 \in \R [/mm] |
Hi,
ich habe das mit x=tu(t) substituiert. Es folgt:
[mm] (tu(t))'=u(t)^2+u(t)+1 [/mm] Mit Produktregel bin ich dann auf:
[mm] \frac{u(t)^2+1}{t}=u'(t)
[/mm]
Dann hab ich Variablentrennung etc durchgefuehrt und bin auf :
u(t)=tan(ln(t))-c gekommen.
Muss ich beim Integrieren Grenzen betrachten oder kann ich einfach unbestimmt integrieren?
Ich seh das oft mit Grenzen und oft ohne.
Ist es den soweit richtig ?
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:22 Do 30.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Gegeben ist die DGL:
> [mm]x'(t)=\frac{x(t)^2}{t^2}+\frac{x(t)}{t}+1[/mm]
>
> Lösen Sie die DGL auf dem Intervall [mm][1,\infty)[/mm] mit [mm]x(1)=x_0 \in \R[/mm]
> Hi,
>
> ich habe das mit x=tu(t) substituiert. Es folgt:
>
> [mm](tu(t))'=u(t)^2+u(t)+1[/mm] Mit Produktregel bin ich dann auf:
>
> [mm]\frac{u(t)^2+1}{t}=u'(t)[/mm]
>
> Dann hab ich Variablentrennung etc durchgefuehrt und bin
> auf :
>
> u(t)=tan(ln(t))-c gekommen.
Das ist nicht ganz richtig, korrekt ist
[mm]u(t) = \tan (c+\ln t) [/mm]
> Muss ich beim Integrieren Grenzen betrachten oder kann ich
> einfach unbestimmt integrieren?
Das geht beides. Wenn du bestimtm integrierst, musst du die Anfangsbedingung gleich einbauen:
[mm] \integral_1^t \bruch{dt}{t} = \integral_{x_0}^u \bruch{du}{1+u^2} [/mm]
Wenn du das nicht tust, musst du die Integrationskonstante hinschreiben und durch Einsetzen der Anfangsbedingung bestimmen.
Viele Grüße
Rainer
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