Differentialgleichung 1. Ordn. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:54 Sa 22.11.2008 | | Autor: | DannyL |
Hallo Allerseits,
ich habe ein kleines Problem mit den Differentialgleichungen und dazu mit der Vatiation der Konstanten.
Aufgabe:
xy' - y = x² + 4
--> Umwandeln, durch teilen durch x
y'- y/x = x + 4x
y0 ist dabei kein Problem
aber y
es gibt ja die Formel
y = ( [mm] \integral [/mm] g(x) * [mm] e^{\integral f(x) dx} [/mm] dx + C) * [mm] e^{- \integral f(x) dx}
[/mm]
--> als erstes setze ich in das mittlere [mm] e^{\integral f(x) dx} [/mm] ein
[mm] e^{\integral 1/x dx}
[/mm]
Meine Lösung:
-> f(x) ist in dem fall 1/x
-> das integriere ich zu ln x
-> e und ln gleichen sich aus und es bleibt einfach nur x übrig
Lösung vom Professor und Buch:
-> f(x) ist 1/x
-> integrieren zu ln [mm] x^{-1}
[/mm]
-> e und ln gleichen sich weg
-> es bleibt [mm] x^{-1} [/mm] sprich 1/x
Die Frage ist, wo kommt das hoch -1 her? gibt es dafür irgend eine erklärung bzw. Regel.
Ich danke schon mal im voraus
Gruß Danny
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:53 Sa 22.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Danny!
> Aufgabe:
> xy' - y = x² + 4
> --> Umwandeln, durch teilen durch x
> y'- y/x = x + 4x
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Rechts muss es heißen: $... \ = \ [mm] x+\bruch{4}{x}$ [/mm] .
> Lösung vom Professor und Buch:
> -> f(x) ist 1/x
> -> integrieren zu ln [mm]x^{-1}[/mm]
> -> e und ln gleichen sich weg
> -> es bleibt [mm]x^{-1}[/mm] sprich 1/x
Hm, aber es steht ja da auch [mm] $\red{-} [/mm] \ [mm] \bruch{y}{x}$ [/mm] .
Damit wird:
[mm] $$\integral{-\bruch{1}{x} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] -\integral{\bruch{1}{x} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] -\ln|x| [/mm] \ = \ [mm] \ln|x|^{-1} [/mm] \ = \ [mm] \ln\left|\bruch{1}{x}\right|$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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