Differentialgleichung 2 < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 05:59 Mi 18.02.2009 | | Autor: | meep |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL
y' = 2y + [mm] x^2 [/mm] * [mm] e^{2x} [/mm] |
hallo miteinander,
hier mal mein Lösungsansatz der wahrscheinlich grottenfalsch ist aber leider fällt mir nix anderes dazu ein.
dy/dx = 2y + [mm] x^2 [/mm] * [mm] e^{2x}
[/mm]
dy = 2y dx + [mm] (x^2 [/mm] * [mm] e^{2x}) [/mm] dx
y = 2yx + [mm] \integral {(x^2 * e^{2x}) dx}
[/mm]
y ( 1 - 2x ) = [mm] \integral {(x^2 * e^{2x}) dx}
[/mm]
y = [mm] \bruch{\integral {(x^2 * e^{2x}) dx}}{1 - 2x}
[/mm]
das Integral kann man ja noch per Produktintegration lösen, aber da meine Lösung höchstwahrscheinlich falsch ist, hab ich mir das gespart.
wäre nett wenn jemand mir ne idee geben könnte wie ich an die DGL herangehen soll, da ich fast am verzweifeln bin.
mfg
meep
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:48 Mi 18.02.2009 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL
>
> y' = 2y + [mm]x^2[/mm] * [mm]e^{2x}[/mm]
> hallo miteinander,
>
> hier mal mein Lösungsansatz der wahrscheinlich
> grottenfalsch ist aber leider fällt mir nix anderes dazu
> ein.
>
> dy/dx = 2y + [mm]x^2[/mm] * [mm]e^{2x}[/mm]
>
> dy = 2y dx + [mm](x^2[/mm] * [mm]e^{2x})[/mm] dx
>
> y = 2yx + [mm]\integral {(x^2 * e^{2x}) dx}[/mm]
Dieser Schritt war Unfug. [mm] \integral_{}^{}{2y dx} [/mm] ergibt nicht 2yx.
Setze [mm] y=(ax^3+bx^2+cx+d)e{2x} [/mm] an, bilde y' und berechne y'-2y.
Die Koffizienten a, b, c, d müssen so gewählt werden, dass die Differenz gerade [mm] x^2e^{2x} [/mm] ergibt.
Gruß Abakus
>
> y ( 1 - 2x ) = [mm]\integral {(x^2 * e^{2x}) dx}[/mm]
>
> y = [mm]\bruch{\integral {(x^2 * e^{2x}) dx}}{1 - 2x}[/mm]
>
> das Integral kann man ja noch per Produktintegration lösen,
> aber da meine Lösung höchstwahrscheinlich falsch ist, hab
> ich mir das gespart.
>
> wäre nett wenn jemand mir ne idee geben könnte wie ich an
> die DGL herangehen soll, da ich fast am verzweifeln bin.
>
> mfg
>
> meep
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:43 Mi 18.02.2009 | | Autor: | meep |
hi abakus,
danke fürs helfen aber woher weiß ich welchen grad das allgemeine polynom haben muss ?
es hätte ja auch ein polynom 2ten oder 8ten grades sein können.
irgendwie versteh ich das nicht so ganz.
mfg
meep
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:48 Mi 18.02.2009 | | Autor: | fred97 |
Die Gleichung
y' = 2y + $ [mm] x^2 [/mm] $ * $ [mm] e^{2x} [/mm] $
ist eine inhomogene lineare DGL 1. Ordnung.
Habt Ihr dafür kein "Kochrezept" gehabt ?
1. bestimme die allg. Lösung der homogenen Gl. y' = 2y
2. bestimme mit Variation der Konst. eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung.
........................
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:01 Mi 18.02.2009 | | Autor: | meep |
hi fred,
das mit der variation der konstanten hab ich nicht ganz verstanden im skript.
also nach schritt 1 wäre das dann
dy/dx = 2y [mm] \gdw \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \integral \bruch{1}{y} [/mm] dy = [mm] \integral [/mm] 1 dx
ln y = 2x [mm] \gdw [/mm] y = [mm] e^{2x}
[/mm]
stimmt das soweit ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:05 Mi 18.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> hi fred,
>
> das mit der variation der konstanten hab ich nicht ganz
> verstanden im skript.
Dann schaus Dir nochmal an
>
> also nach schritt 1 wäre das dann
>
> dy/dx = 2y [mm]\gdw \bruch{1}{2}[/mm] * [mm]\integral \bruch{1}{y}[/mm] dy =
> [mm]\integral[/mm] 1 dx
>
> ln y = 2x [mm]\gdw[/mm] y = [mm]e^{2x}[/mm]
>
> stimmt das soweit ?
Ja
Die allg. Lösung der homogenen Gl. ist dann:
y = [mm]c e^{2x}[/mm] (c [mm] \in \IR)
[/mm]
FRED
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:28 Mi 18.02.2009 | | Autor: | meep |
ja gut, dann kann ich ja nun mein y = [mm] c*e^{2x} [/mm] einfach einsetzen in y' = 2y + [mm] x^2 [/mm] * [mm] e^{2x}
[/mm]
und das dann per integration lösen
also [mm] \integral [/mm] 1 dy = [mm] \integral [2ce^{2x} [/mm] + [mm] x^2*e^{2x}] [/mm] dx
dann hab ich ja
y = [mm] ce^{2x} [/mm] + [mm] x^2 [/mm] * [mm] \bruch{1}{2} e^{2x} [/mm] - 2 * [mm] \integral x*e^x [/mm]
y = [mm] ce^{2x} [/mm] + [mm] x^2 [/mm] * [mm] \bruch{1}{2} e^{2x} [/mm] - [mm] xe^{2x} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] e^2x
stimmt das auch ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:30 Mi 18.02.2009 | | Autor: | fred97 |
nein ! was machst Du da ??
Suche eine spezielle Lösung mit dem Ansatz "Variation der Konst."
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:32 Mi 18.02.2009 | | Autor: | meep |
ich schaus mir im skript nochmal an, wobei ich kaum glaube dass da noch was anständiges rauskommen wird :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:05 Mi 18.02.2009 | | Autor: | meep |
nochmal ein versuch:
also im skript steht
Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung y'(x) = f(x)y + g(x) kann auch in der Form y(x) = (G(x)+c)* [mm] e^{F(x)} [/mm] geschrieben werden, wobei F bzw. G Stammfunktionen zu f bzw. [mm] g*e^{-F} [/mm] sind.
naja dann integrier ich einfach mal.
g = [mm] x^2 [/mm] * [mm] e^{2x}
[/mm]
f(x) = 2
F(x) = 2x
dann ist G(x) = [mm] \integral x^2 [/mm] * [mm] e^{2x} [/mm] * [mm] e^{-2x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}*x^3
[/mm]
dann komm ich auf y = ( [mm] \bruch{1}{3}*x^3 [/mm] + c ) * [mm] e^{2x}
[/mm]
nun besser ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:11 Mi 18.02.2009 | | Autor: | fred97 |
Jetzt stimmts
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:12 Mi 18.02.2009 | | Autor: | meep |
halleluja,
vielen dank fred. war ne schwere geburt für mich !
|
|
|
|
