Differentialgleichung Ansatz < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:13 Sa 01.03.2014 | | Autor: | racy90 |
Hallo
Ich soll folgende DGL mit der Ansatzmethode lösen.
y''+y'-2y=e^(-2x) y(0)=y'(0)
Homogene Lösung noch kein Problem durch die charakterische Gleichung erhalte ich die chark.Werte der DGL.
[mm] \lambda1=1
[/mm]
[mm] \lambda2=-2
[/mm]
[mm] FS={e^x;e^{-2x}}
[/mm]
Partikulärlösung: [mm] f(x)=e^{-2x} [/mm] --> m=0 [mm] ;\alpha=-2 ;\beta=0
[/mm]
[mm] \alpha+i*\beta=-2 [/mm] = [mm] \lambda2 [/mm] =-2
Daraus folgt ja das v= [mm] a(\lambda*k)-g(\lambda*k)+1
[/mm]
D.h a(1)=1 ;a(-2)=1 ;g(1)=2 ;g(-2)=2
--> v=1-2+1=0
Somit müsste der Ansatz sein :
[mm] yp=ao*e^{-2x}
[/mm]
[mm] yp'=-2ao*e^{-2x}
[/mm]
[mm] yp''=4ao*e^{-2x}
[/mm]
[mm] e^{-2x}=-8aoe^{-2x}
[/mm]
Nun kürzt sich [mm] e^{-2x} [/mm] heraus und ich erhalte -1/8=ao
Aber wenn ich mir nun die spezielle Lösung mit Wolfram Alpha berechne kommt etwas ganz anderes heraus .Ich denke das mein Fehler beim Ansatz liegt.
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Hallo,
> Hallo
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> Ich soll folgende DGL mit der Ansatzmethode lösen.
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> y''+y'-2y=e^(-2x) y(0)=y'(0)
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> Homogene Lösung noch kein Problem durch die charakterische
> Gleichung erhalte ich die chark.Werte der DGL.
>
> [mm]\lambda1=1[/mm]
> [mm]\lambda2=-2[/mm]
>
> [mm]FS={e^x;e^{-2x}}[/mm]
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> Partikulärlösung: [mm]f(x)=e^{-2x}[/mm] --> m=0 [mm];\alpha=-2 ;\beta=0[/mm]
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> [mm]\alpha+i*\beta=-2[/mm] = [mm]\lambda2[/mm] =-2
>
> Daraus folgt ja das v= [mm]a(\lambda*k)-g(\lambda*k)+1[/mm]
>
> D.h a(1)=1 ;a(-2)=1 ;g(1)=2 ;g(-2)=2
>
> --> v=1-2+1=0
>
> Somit müsste der Ansatz sein :
> [mm]yp=ao*e^{-2x}[/mm]
> [mm]yp'=-2ao*e^{-2x}[/mm]
> [mm]yp''=4ao*e^{-2x}[/mm]
>
> [mm]e^{-2x}=-8aoe^{-2x}[/mm]
>
> Nun kürzt sich [mm]e^{-2x}[/mm] heraus und ich erhalte -1/8=ao
>
> Aber wenn ich mir nun die spezielle Lösung mit Wolfram
> Alpha berechne kommt etwas ganz anderes heraus .Ich denke
> das mein Fehler beim Ansatz liegt.
So ist es. Da c=-2 eine einfache Lösung des charakteristischen Polynoms ist, lautet der korrekte Ansatz in diesem Fall
[mm] y_p=a_0*x*e^{-2x}
[/mm]
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:58 Sa 01.03.2014 | | Autor: | racy90 |
Das verstehe ich leider nicht.
Der allgemeine Ansatz lautet doch :
f(x)= [mm] (r0+r1*x+r2*x^2+...+rm*x^m)*e^{\alpha*x}*cos(\beta*x)+(s0+s1*x+s2*x^2+...+sm*x^m)*e^{\alpha*x}*sin(\beta*x)
[/mm]
[mm] yp(x)=(a0+a1*x+a2*x^2+....+a(m+v)*x^{m+v}*e^{\alpha*x}*cos(\beta*x)+(b0+b1*x+b2*x^2+....+b(m+v)*x^{m+v}*e^{\alpha*x}*sin(\beta*x)
[/mm]
Wenn mein v laut obiger Gleichung =0 ist und m und [mm] \beta [/mm] ebenfalls 0 ist,kommt ja nur [mm] a0*e^{-2x} [/mm] vor.
Bzw wenn ich meinen Ansatz habe ,leite ich diesen 2 Mal ab damit ich yp' und yp'' habe aber wo setze ich yp,yp' und yp'' ein damit ich mein a0 bekomme,weil auch wenn ich mit deinen Ansatz rechne komme ich immer auf a0= -1/3 dabei sollte es lauten a0= -1/3*x.
Ich habe meine yp's zu Berechnung von a0 in die Angabe [mm] y''+y'-2y=e^{-2x} [/mm] eingesetzt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:42 Sa 01.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich verstehe dein Vorgehen nicht. wenn [mm] e^{-2x} [/mm] schon Lösung der homogenen Dgl ist, kannes ja die inh. nicht lösen. deshalb der Ansatz [mm] y_p =A*x*e^{-2x}
[/mm]
wenn du dann beim Einsetzen A=0 bekommst hast du dich einfach verrechnet.
(wieso soll dein m denn 0 sein?)
Gruss leduarz
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 Sa 01.03.2014 | | Autor: | racy90 |
Ich bin deshalb der Meinung das m=0 ,weil der allgemeine Ansatz lautet doch :
f(x)= $ [mm] (r0+r1\cdot{}x+r2\cdot{}x^2+...+rm\cdot{}x^m)\cdot{}e^{\alpha\cdot{}x}\cdot{}cos(\beta\cdot{}x)+(s0+s1\cdot{}x+s2\cdot{}x^2+...+sm\cdot{}x^m)\cdot{}e^{\alpha\cdot{}x}\cdot{}sin(\beta\cdot{}x) [/mm] $
$ [mm] yp(x)=(a0+a1\cdot{}x+a2\cdot{}x^2+....+a(m+v)\cdot{}x^{m+v}\cdot{}e^{\alpha\cdot{}x}\cdot{}cos(\beta\cdot{}x)+(b0+b1\cdot{}x+b2\cdot{}x^2+....+b(m+v)\cdot{}x^{m+v}\cdot{}e^{\alpha\cdot{}x}\cdot{}sin(\beta\cdot{}x) [/mm] $
und das einzige was passt ist -2 = [mm] \alpha
[/mm]
Gut dann leite ich yp ab
yp'= [mm] a0*e^{-2x}-2*a0*x*e^{-2x}
[/mm]
[mm] yp''=4*a0*x*e^{-2x}-4*a0*e^{-2x}
[/mm]
Das hätte ich nun in [mm] y''+y'-2y=e^{-2x} [/mm] eingesetzt
[mm] 4*a0*x*e^{-2x}-4*a0*e^{-2x}+a0*e^{-2x}-2*a0*x*e^{-2x}-2*a0*x*e^{-2x}=e^{-2x}
[/mm]
und a0=-1/3
Irgendwo geht mir ein x verloren oder mache ich etwas falsch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:20 Sa 01.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum nennst du die Konstante [mm] a_9, [/mm] die steht doch bei dir bei [mm] e^{-2x} [/mm] und nicht bei x*e^).2x)
dein Ansatz in deiner Schreibweise war [mm] y_p=a9*x*e^{-2x}
[/mm]
du hast daraus richtig a0=-1/3 raus und damit [mm] y_p=-1/3*x*e^{-2x}
[/mm]
natürlich könntest du mit dem Ansatz [mm] y:p=(a_0+a:1*x)*e^{-2x} [/mm] auch machen, dann kommt [mm] a_0=9 [/mm] und [mm] a_1=-1/3 [/mm] raus.
(warum folgt aus [mm] \alpha [/mm] =-2 m=0?)
eine Lösung des homogenen Systems einzusetzen ist doch immer recht sinnlos, da man schon weiß dass die eingesetzt in die linke Seite 0 ergibt.
Gru0 leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 Sa 01.03.2014 | | Autor: | racy90 |
Okay danke . Das habe ich nun verstanden.m wäre dann 1.
Eine weitere Frage hätte ich noch.
Wenn ich folgende DGL gegeben habe
[mm] y'(2xy+y^3)+(y^5+y^2)=0 [/mm] y(0)=1 und ich nun dieses Anfangswertproblem mit Hilfe der Potetialfunktion lösen soll.
F(x,y) [mm] =\bruch{x^6}{6}+y^2x+\bruch{y^4}{4}.
[/mm]
Wie gehe ich hier vor,weil ich leider kein ähnliches Bsp in meiner Mappe finden kann.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:49 Sa 01.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
das ist eine vollständige Dgl siehe darunter nach , und F=C ist eine implizite Lösung, bestimme C aus dem Anfangswert.
bitte fang in Zukunft für neue Fragen einen neuen thread an,
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 Sa 01.03.2014 | | Autor: | racy90 |
Okay mache ich beim nächsten Mal!
D.h ich habe dann folgenden Ausdruck:
[mm] y=\bruch{x^6}{6}+y^2x+\bruch{y^4}{4}+c
[/mm]
y(0)=1
Somit wäre c=3/4 oder?
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Hallo racy90,
> Okay mache ich beim nächsten Mal!
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> D.h ich habe dann folgenden Ausdruck:
>
> [mm]y=\bruch{x^6}{6}+y^2x+\bruch{y^4}{4}+c[/mm]
>
> y(0)=1
>
> Somit wäre c=3/4 oder?
>
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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