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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:42 Mi 08.06.2016 | | Autor: | Arkathor |
| Aufgabe | Lösen Sie das Anfangswertproblem:
[mm] y'=\bruch{xy^3}{\wurzel{x^2+1}} [/mm] mit y(0)=-1 |
Hallo
Habe Problem mit dieser Aufgabe.
Also hier ist mein Rechenweg:
[mm] \bruch{dy}{dx}=\bruch{xy^3}{\wurzel{x^2+1}}
[/mm]
[mm] \bruch{dy}{y^3}=\bruch{x}{\wurzel{x^2+1}}dx
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{dy}{y^3}}=\integral_{}^{}{\bruch{x}{\wurzel{x^2+1}}dx}
[/mm]
[mm] -\bruch{1}{2y^2}+c_1=\wurzel{x^2+1}+c_2
[/mm]
[mm] -\bruch{1}{2y^2}=\wurzel{x^2+1}+\underbrace{c_2-c_1}_{=c}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2y^2}=-(\wurzel{x^2+1}+c)
[/mm]
[mm] \bruch{1}{y^2}=-2(\wurzel{x^2+1}+c)
[/mm]
[mm] \bruch{1}{-2(\wurzel{x^2+1}+c)}=y^2
[/mm]
[mm] \wurzel{\bruch{1}{-2(\wurzel{x^2+1}+c)}}=y
[/mm]
Nach dem einsetzen:
-1= [mm] \wurzel{\bruch{1}{-2(\wurzel{0^2+1}+c)}}
[/mm]
-1= [mm] \wurzel{\bruch{1}{-2(\wurzel{1}+c)}}
[/mm]
-1= [mm] \wurzel{\bruch{1}{-2(1+c)}}
[/mm]
-1= [mm] \wurzel{\bruch{1}{(-2-2c)}}
[/mm]
[mm] 1=\bruch{1}{(-2-2c)}
[/mm]
[mm] c=-\bruch{c}{2}-\bruch{c}{2c}
[/mm]
[mm] \bruch{3}{2}c=-\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] c=-\bruch{1}{3}
[/mm]
Wenn ich das aber in Wolfram Alpha eintippe kriege ich als Ergebnis
[mm] y=-\bruch{1}{\wurzel{3-2\wurzel{x^2+1}}}
[/mm]
Sieht irgendwie anders aus und ich frage mich wo habe ich Fehler gemacht. Wäre dankbar für Korrektur und Erklärung was falsch war.
Schöne Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:35 Mi 08.06.2016 | | Autor: | chrisno |
> Lösen Sie das Anfangswertproblem:
> [mm]y'=\bruch{xy^3}{\wurzel{x^2+1}}[/mm] mit y(0)=-1
> Hallo
> Habe Problem mit dieser Aufgabe.
> Also hier ist mein Rechenweg:
> [mm]\bruch{dy}{dx}=\bruch{xy^3}{\wurzel{x^2+1}}[/mm]
> [mm]\bruch{dy}{y^3}=\bruch{x}{\wurzel{x^2+1}}dx[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{dy}{y^3}}=\integral_{}^{}{\bruch{x}{\wurzel{x^2+1}}dx}[/mm]
> [mm]-\bruch{1}{2y^2}+c_1=\wurzel{x^2+1}+c_2[/mm]
> [mm]-\bruch{1}{2y^2}=\wurzel{x^2+1}+\underbrace{c_2-c_1}_{=c}[/mm]
> [mm]\bruch{1}{2y^2}=-(\wurzel{x^2+1}+c)[/mm]
> [mm]\bruch{1}{y^2}=-2(\wurzel{x^2+1}+c)[/mm]
> [mm]\bruch{1}{-2(\wurzel{x^2+1}+c)}=y^2[/mm]
> [mm]\wurzel{\bruch{1}{-2(\wurzel{x^2+1}+c)}}=y[/mm]
>
> Nach dem einsetzen:
> -1= [mm]\wurzel{\bruch{1}{-2(\wurzel{0^2+1}+c)}}[/mm]
Da geht der Alarm los: eine Wurzel ergibt eine negative Zahl? ...
Da musst Du vorher suchen. Wenn DU auf beiden Seiten einer Gleichung die Wurzel ziehst, dann musst Du optional ein Vorzeichen spendieren.
Beispiel [mm] $(-1)^2 [/mm] = [mm] 1^2$ [/mm] ist richtig. Danach ist aber $-1 = 1$ falsch.
> -1= [mm]\wurzel{\bruch{1}{-2(\wurzel{1}+c)}}[/mm]
> -1= [mm]\wurzel{\bruch{1}{-2(1+c)}}[/mm]
> -1= [mm]\wurzel{\bruch{1}{(-2-2c)}}[/mm]
Das Quadrieren heilt den Fehler wieder.
> [mm]1=\bruch{1}{(-2-2c)}[/mm]
> [mm]c=-\bruch{c}{2}-\bruch{c}{2c}[/mm]
Diese Umformung ....
[mm]1=\bruch{1}{(-2-2c)}[/mm] | mal (-2-2c)
$(-2-2c) = 1$
$-2c = 3$
$c = [mm] -\br{3}{2}$
[/mm]
> Wenn ich das aber in Wolfram Alpha eintippe kriege ich als
> Ergebnis
> [mm]y=-\bruch{1}{\wurzel{3-2\wurzel{x^2+1}}}[/mm]
>
> Sieht irgendwie anders aus
Nun nicht mehr, oder?
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