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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:35 Mi 31.03.2010 | | Autor: | natascha |
| Aufgabe | Man löse die Gleichung dX/dt = AX für die folgende Matrix:
2 1
1 2 |
Ich muss diese Aufgabe lösen, habe bereits einen Lösungsansatz, aber weiss dann leider nicht mehr weiter:
Ich weiss ja, dass dX/dt=AX also
dX/dt = A X(t) ->
x1'(t)=2x1(t)+x2(t)
x2'(t)=x1(t)+2x2(t)
Jedoch mangelt es mir da an konkreten Zahlen, kann ich da noch etwas ausrechnen oder fehlt mir etwas?
Vielen Dank im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:02 Mi 31.03.2010 | | Autor: | Doing |
Hallo!
So einfach funktioniert das leider nicht. Da die Matrix nicht Diagonalgestalt hat, erhälst du 2 gekoppelte Differentialgleichungen. Es gibt aber klare Verfahren zum finden eines Fundamentalsystems.
Ich nehme mal an dass das in der Vorlesung oder in dem Buch das du grad durchnimmst auch gemacht wurde. Sonst schau mal hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalsystem_%28Mathematik%29
Gruß,
Doing
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:04 Do 08.04.2010 | | Autor: | natascha |
| Aufgabe | Man löse die Gleichung $dX/dt=AX$ für die folgende Matrix:
[mm] $A=\pmat{1&2&3\\0&4&5\\0&0&6}$
[/mm]
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Vielen Dank für die Antwort. Ich habe mich nochmals intensiv mit dem Stoff im Buch beschäftigt und dann hat es geklappt! Ich habe den Weg, der im Buch beschrieben wird, verwendet, jedoch wird dieser nun für diese 3x3 Matrix sehr kompliziert. Ich habe die Vermutung, dass das auch einfacher geht...
Ich gehe folgendermassen vor:
Ich bestimme zuerst die Eigenwerte und dazu die Eigenvektoren. Die Eigenvektoren bilden dann eine Basis. Ich bestimme die Matrix P, die den Übergang von der Standardbasis in diese Basis B der Eigenvektoren beschreibt: [mm] $P^{-1}=B^{-1}$, [/mm] also um $P$ zu erhalten berechne ich die Inverse der Matrix, die als Spalten die Eigenvektoren hat.
Danach kann ich [mm] $A'=PAP^{-1}$ [/mm] ausrechnen, die Diagonalform hat. Diese hat ja als Diagonalwerte genau die Eigenwerte...meine Frage wäre jetzt, ob das Verfahren überhaupt korrekt ist, und weiter, ob man wenn man die Eigenwerte hat, $A'$ direkt aus den EW bilden darf...
Vielen Dank im Voraus!
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Hallo natascha,
> Man löse die Gleichung [mm]dX/dt=AX[/mm] für die folgende Matrix:
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> [mm]A=\pmat{1&2&3\\0&4&5\\0&0&6}[/mm]
>
>
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> Vielen Dank für die Antwort. Ich habe mich nochmals
> intensiv mit dem Stoff im Buch beschäftigt und dann hat es
> geklappt! Ich habe den Weg, der im Buch beschrieben wird,
> verwendet, jedoch wird dieser nun für diese 3x3 Matrix
> sehr kompliziert. Ich habe die Vermutung, dass das auch
> einfacher geht...
> Ich gehe folgendermassen vor:
> Ich bestimme zuerst die Eigenwerte und dazu die
> Eigenvektoren. Die Eigenvektoren bilden dann eine Basis.
> Ich bestimme die Matrix P, die den Übergang von der
> Standardbasis in diese Basis B der Eigenvektoren
> beschreibt: [mm]P^{-1}=B^{-1}[/mm], also um [mm]P[/mm] zu erhalten berechne
> ich die Inverse der Matrix, die als Spalten die
> Eigenvektoren hat.
> Danach kann ich [mm]A'=PAP^{-1}[/mm] ausrechnen, die Diagonalform
> hat. Diese hat ja als Diagonalwerte genau die
> Eigenwerte...meine Frage wäre jetzt, ob das Verfahren
> überhaupt korrekt ist, und weiter, ob man wenn man die
> Eigenwerte hat, [mm]A'[/mm] direkt aus den EW bilden darf...
Das Verfahren ist bis zur Diagonalform von A' korrekt.
Die Matrix A' hat nicht immer Diagonalform, hier aber schon.
In dem Fall, in dem die Matrix A' Diagonalform hat,
kannst Du die Lösungen sofort bestimmen.
> Vielen Dank im Voraus!
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 Fr 09.04.2010 | | Autor: | natascha |
Vielen Dank für deine Antwort! Ich habe dann da doch noch eine Frage dazu: du sagst, dass die A' nicht immer Diagonal ist. Woher weiss ich denn, ob diese nun Diagonal ist, bzw. woher weiss ich, ob ich sie direkt aus den EW bilden darf oder ob ich doch alles ausrechnen muss? Vielen Dank im Voraus!
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Hallo natascha,
> Vielen Dank für deine Antwort! Ich habe dann da doch noch
> eine Frage dazu: du sagst, dass die A' nicht immer Diagonal
> ist. Woher weiss ich denn, ob diese nun Diagonal ist, bzw.
> woher weiss ich, ob ich sie direkt aus den EW bilden darf
> oder ob ich doch alles ausrechnen muss? Vielen Dank im
> Voraus!
Es gibt bestimmte Kriterien, wann sich eine quadratische Matrix
diagonalisieren läßt.
Ein solches Kriterium ist, daß die algebraische Vielfachheit des EWs [mm]\lambda[/mm] gleich der geometrischen Vielfachheit des EWs [mm]\lambda[/mm] sein muss.
Dies muss dann für alle EWe der Matrix gelten.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:51 Fr 09.04.2010 | | Autor: | natascha |
Vielen Dank für die Antwort, ich glaube, jetzt habe ich es verstanden! 
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