Differentialgleichung,RC-GLied < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:20 Mo 01.11.2010 | | Autor: | Marcel08 |
| Aufgabe | | Geben Sie die Differentialgleichung für den Strom in einem RC-Glied in Abhängigkeit der Gesamtspannung u(t) an. |
Hallo E-Techniker!
Zur Beantwortung der Frage gehe ich wie folgt vor:
1.) Durch das 2. Kirchhoff´sche Gesetz erhalte ich zunächst die Umlaufgleichung zu
[mm] u(t)=R*i(t)+u_{c}(t)
[/mm]
2.) Den Strom am Kondensator hingegen bekomme ich wohl durch die Gleichung
[mm] i=C*\bruch{du_{c}}{dt}
[/mm]
3.) Die Kondensatorspannung erhalte ich schließlich zu
[mm] u_{c}(t)=\bruch{1}{C}\integral_{0}^{t}{i(t)*dt}
[/mm]
Daraus ergibt sich dann eine lineare Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
(1) [mm] \bruch{di(t)}{dt}+\bruch{1}{RC}*i(t)=\bruch{1}{R}*\bruch{du(t)}{dt}
[/mm]
Möglicherweise ist das schon die gesuchte Lösung der Aufgabe. Nun gibt es ja noch zwei Anfangsbedingungen, die die Differentialgleichung erfüllen muss.
1.) Der Kondensator ist zum Zeitpunkt t=0 ungeladen. [mm] \Rightarrow{u_{c}}(0)=0
[/mm]
2.) [mm] \bruch{du}{dt}=0, [/mm] da man zum Zeitpunkt t=0 eine Gleichspannung u(t)=U zuschaltet.
Unter Einarbeitung der Anfangsbedingungen erhalte ich dann die folgende Gleichung
(2) [mm] \bruch{di(t)}{dt}+\bruch{1}{RC}*i(t)=0
[/mm]
Meine Frage:
Welche der beiden Gleichungen (1) oder (2) erfüllt die Aufgabenstellung exakt? Es ist ja konkret nach der Abhängigkeit von der Gesamtspannung u(t) gefragt, die ja in Gleichung (2) auf der rechten Seite nicht mehr gegeben ist. Diese Abhängigkeit finde ich nur in Gleichung (1), in der jedoch die Anfangsbedingungen noch nicht eingearbeitet worden sind. Ich würde jedoch nur Gleichung (1) angeben. Liege ich damit falsch? Vielen Dank!
Gruß, Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:07 Mo 01.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo Marcel
Deine erste Dgl ist richtig, Diese Dgl hat eine allgemeine Lösung, erst indiese allgemeine Lösung setzt man im konkreten Fall die Anfangsbedingungen ein um die auftretende konstante zu bestimmen.
Allerdings seh ich in deiner Aufgabe keine Angaben über u(t), die Dgl ist auch richtig, wenn u(t) etwa ne Wechselspannung ist, oder sonst was.
wenn [mm] u(t)=U_0 [/mm] ist, kennst du zur Zeit t=0 nur [mm] u_c(0)=0 [/mm] allrdings gilt bei u(t) gleichspannung natürlich u'(t)=0
Deine 2 te Dgl gilt also nicht für allgemeines u(t) sondrn nur für u(t)=const.
Gruss leduart
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