Differentialgleichung lösen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:32 Do 01.11.2007 | | Autor: | Marty |
| Aufgabe | Lösen Sie die folgende Differentialgleichung:
3x²y+(x³-sin(y))y'=0 |
Diese Gleichung sieht zwar ziemlich einfach aus, aber leider bin ich nicht sehr weit gekommen:
Natürlich habe ich es durch Trennung der Variablen versucht:
y' = - [mm] \bruch{3x²y}{x³-sin(y)}
[/mm]
[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = - [mm] \bruch{3x²y}{x³-sin(y)}
[/mm]
dy * [mm] \bruch{x³-sin(y)}{y} [/mm] = -3x²dx
Ich schaffe es einfach nicht das x³ auf die rechte Seite zu bringen!
Hat vielleicht jemand eine Idee, wie ich weiterkomme?
Gruß
Marty
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:58 Do 01.11.2007 | | Autor: | Kyrion |
Deine Dgl ist eine sogenannte explizite Dgl, dh. sie hat die Form
M(x,y) + N(x,y)*y' = 0
mit dM/dy = dN/dx
durch partielles Integrieren von M nach x und von N nach y erhälst du die
Gleichung
[mm] x^3*y [/mm] + c(y) = [mm] y*x^3 [/mm] + cos(y)
Daraus folgt, dass
[mm] y*x^3 [/mm] + cos(y) = c,
c aus [mm] \IR [/mm] bel. eine implizite Lösung der Dgl. ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 05:57 Do 01.11.2007 | | Autor: | MatthiasKr |
Hi,
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> Deine Dgl ist eine sogenannte explizite Dgl, dh. sie hat
> die Form
>
nur eine kleinigkeit: diese dglen. heissen exakt und nicht explizit...
> M(x,y) + N(x,y)*y' = 0
>
> mit dM/dy = dN/dx
>
> durch partielles Integrieren von M nach x und von N nach y
> erhälst du die
> Gleichung
>
> [mm]x^3*y[/mm] + c(y) = [mm]y*x^3[/mm] + cos(y)
>
> Daraus folgt, dass
>
> [mm]y*x^3[/mm] + cos(y) = c,
>
> c aus |R bel. eine implizite Lösung der Dgl. ist.
gruss
matthias
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:00 Do 01.11.2007 | | Autor: | Marty |
Hallo!
vielen Dank erstmal für deine Antwort!
Eine Frage hätte ich aber doch noch.
> Deine Dgl ist eine sogenannte explizite Dgl, dh. sie hat
> die Form
>
> M(x,y) + N(x,y)*y' = 0
>
> mit dM/dy = dN/dx
>
> durch partielles Integrieren von M nach x und von N nach y
> erhälst du die
> Gleichung
>
> [mm]x^3*y[/mm] + c(y) = [mm]y*x^3[/mm] + cos(y)
Fällt hier nicht [mm]x^3*y[/mm] raus?
> Daraus folgt, dass
>
> [mm]y*x^3[/mm] + cos(y) = c,
Warum? Was ist mit dem anderen [mm]y*x^3[/mm] passiert?
>
> c aus |R bel. eine implizite Lösung der Dgl. ist.
Gruß
Marty
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Sa 03.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 So 04.11.2007 | | Autor: | Marty |
| Aufgabe | Es sei [mm] \omega \in \Omega^1 (\IR^2), [/mm] sodass [mm] \omega(x,y):=3x^2ydx+(x^3-sin(y))dy
[/mm]
Berechnen sie [mm] d\omega. [/mm] Ist [mm] \omega [/mm] geschlossen? exakt? |
Hallo!
Da diese Aufgabe der obigen sehr ähnlich ist (und außerdem eine der Teilaufgaben), wollte ich kein neues Thema eröffnen.
Nach längerem recherchieren, bin ich auf die sog. Pfaffsche Form gestoßen!
P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0
Trotz Wikipedia schaffe ich es einfach nicht das ganze auf mein Beispiel zu übertragen!
Wie gehe ich denn bei so einer Aufgabe vor?
Gruß
Marty
Edit:
Ich sollte vielleicht mal meinen bisherigen Lösungsansatz dazuschreiben... :)
Also, in diesem Fall habe ich ja: [mm] P=3x^2 [/mm] y und [mm] Q=x^3-sin(y)
[/mm]
Wenn ich P nach x integriere bekomme ich:
F(x,y)= [mm] x^3 [/mm] y
Wenn ich Q nach y integriere bekomme ich:
G(x,y)= [mm] x^3 [/mm] y+cos(y)
Jetzt beides gleichsetzen:
[mm] x^3y=x^3 [/mm] y+cos(y)
-> cos(y)=0
Stimmt das so? Und wie geht es jetzt weiter?
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Hi,
> Es sei [mm]\omega \in \Omega^1 (\IR^2),[/mm] sodass
> [mm]\omega(x,y):=3x^2ydx+(x^3-sin(y))dy[/mm]
> Berechnen sie [mm]d\omega.[/mm] Ist [mm]\omega[/mm] geschlossen? exakt?
> Hallo!
> Da diese Aufgabe der obigen sehr ähnlich ist (und außerdem
> eine der Teilaufgaben), wollte ich kein neues Thema
> eröffnen.
>
> Nach längerem recherchieren, bin ich auf die sog. Pfaffsche
> Form gestoßen!
> P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0
> Trotz Wikipedia schaffe ich es einfach nicht das ganze auf
> mein Beispiel zu übertragen!
>
> Wie gehe ich denn bei so einer Aufgabe vor?
>
> Gruß
> Marty
>
> Edit:
>
> Ich sollte vielleicht mal meinen bisherigen Lösungsansatz
> dazuschreiben... :)
>
> Also, in diesem Fall habe ich ja: [mm]P=3x^2[/mm] y und
> [mm]Q=x^3-sin(y)[/mm]
>
> Wenn ich P nach x integriere bekomme ich:
> F(x,y)= [mm]x^3[/mm] y
>
> Wenn ich Q nach y integriere bekomme ich:
> G(x,y)= [mm]x^3[/mm] y+cos(y)
>
> Jetzt beides gleichsetzen:
> [mm]x^3y=x^3[/mm] y+cos(y)
> -> cos(y)=0
>
> Stimmt das so? Und wie geht es jetzt weiter?
ich setze nochmal bei der diff.-gleichung an und versuche dabei einiges ueber differentialformen zu erklaeren.
hast du also eine diffgleichung (wie in deinem beispiel nach multiplikation mit dx)
$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$
dann kann man die linke seite der gleichung als differentialform auffassen, noch genauer als pfaffsche form oder 1-form. Fuer differntialformen gibt es einen strengen formalen kalkuel, man zb. einer diff.form [mm] $\omega$ [/mm] ihre aeussere ableitung [mm] $d\omega$ [/mm] zuweisen. 1-formen ergeben sich unter anderem als totales differential von skalaren funktionen, denn hat man eine funktion f(x,y) gegeben, ist ihr totales differential
[mm] $df=\partial_x [/mm] f dx + [mm] \partial_y [/mm] f dy$
man kann sich nun anders herum fragen, ob es zu einer gegebenen 1-form [mm] $\omega$ [/mm] eine stammfunktion f gibt mit [mm] $df=\omega$. [/mm] Ist dies der fall, so nennt man [mm] $\omega$ [/mm] exakt. Eine notwendige (in manchen faellen auch hinreichende) bedingung fuer die exaktheit einer 1-form ist die integrabilitaets-bedingung
[mm] $\partial_y [/mm] P + [mm] \partial_x [/mm] Q=0$.
diese bedingung muss fuer exakte 1-formen immer erfuellt sein, da die partiellen ableitungen kommutieren,also [mm] $\partial_{xy}f=\partial_{yx}f$.
[/mm]
Die integrabilitaetsbedingung ist auch aequivalent mit ihrer geschlossenheit, d.h. [mm] $d\omega=0$. [/mm] Das sollst du in deiner aufgabe nachrechnen. Allerdings brauchst du dafuer die definition der aeusseren ableitung.
nochmal kurz zur diffgl.. Ist die gleichung exakt, also ihre integrabilitaetsbedingung erfuellt, ist $df=0$, daraus folgt $f=c$ konstant. die loesungen sind also implizit durch diese gleichung gegeben.
gruss
matthias
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(Frage) überfällig | | Datum: | 00:20 Mo 05.11.2007 | | Autor: | Marty |
Vielen Dank, dass du dir die Mühe für so eine ausführliche Antwort gemacht hast!
>
> ich setze nochmal bei der diff.-gleichung an und versuche
> dabei einiges ueber differentialformen zu erklaeren.
>
> hast du also eine diffgleichung (wie in deinem beispiel
> nach multiplikation mit dx)
>
> [mm]P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0[/mm]
>
> dann kann man die linke seite der gleichung als
> differentialform auffassen, noch genauer als pfaffsche form
> oder 1-form. Fuer differntialformen gibt es einen strengen
> formalen kalkuel, man zb. einer diff.form [mm]\omega[/mm] ihre
> aeussere ableitung [mm]d\omega[/mm] zuweisen. 1-formen ergeben sich
> unter anderem als totales differential von skalaren
> funktionen, denn hat man eine funktion f(x,y) gegeben, ist
> ihr totales differential
>
> [mm]df=\partial_x f dx + \partial_y f dy[/mm]
>
> man kann sich nun anders herum fragen, ob es zu einer
> gegebenen 1-form [mm]\omega[/mm] eine stammfunktion f gibt mit
> [mm]df=\omega[/mm]. Ist dies der fall, so nennt man [mm]\omega[/mm] exakt.
> Eine notwendige (in manchen faellen auch hinreichende)
> bedingung fuer die exaktheit einer 1-form ist die
> integrabilitaets-bedingung
>
> [mm]\partial_y P + \partial_x Q=0[/mm].
>
> diese bedingung muss fuer exakte 1-formen immer erfuellt
> sein, da die partiellen ableitungen kommutieren,also
> [mm]\partial_{xy}f=\partial_{yx}f[/mm].
>
> Die integrabilitaetsbedingung ist auch aequivalent mit
> ihrer geschlossenheit, d.h. [mm]d\omega=0[/mm]. Das sollst du in
> deiner aufgabe nachrechnen. Allerdings brauchst du dafuer
> die definition der aeusseren ableitung.
wenn die Integrabilitaetsbedingung äquivalent mit ihrer Geschlossenheit ist, bedeutet das dann
[mm]\partial_y P + \partial_x Q=d\omega[/mm] ?
Sorry, wegen der blöden Frage, ich weiß nur nicht, ob ich es endlich verstande habe...
Also sollte ich einfach zeigen:
[mm]\partial_y P + \partial_x Q=0[/mm]
-> x^3y+x^3y=0
> nochmal kurz zur diffgl.. Ist die gleichung exakt, also
> ihre integrabilitaetsbedingung erfuellt, ist [mm]df=0[/mm], daraus
> folgt [mm]f=c[/mm] konstant. die loesungen sind also implizit durch
> diese gleichung gegeben.
>
> gruss
> matthias
>
Jetzt noch eine ganz andere Frage, die bestimmt beweist, dass ich es immer noch nicht kapiert habe... :(
wie würde denn der Gradient von so einer Funktion aussehen? Ich muss doch erstmal integrieren und dann wieder ableiten...
Bei dieser Funktion z.B. wäre das dann doch
[mm] grad(\omega)=\vektor{3x^2 \\ x^3-sin(y)} [/mm] ,oder nicht?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:33 Mo 05.11.2007 | | Autor: | Marty |
Ok, die erste Frage wurde geklärt! Nochmal vielen Dank!
Das mit dem Gradienten würde mich aber schon noch interessieren...
Gruß
Marty
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:58 Mi 07.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:03 Di 06.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Du hast beim Integrieren die Integrationskonstante vergessen:
> Ich sollte vielleicht mal meinen bisherigen Lösungsansatz
> dazuschreiben... :)
>
> Also, in diesem Fall habe ich ja: [mm]P=3x^2[/mm] y und
> [mm]Q=x^3-sin(y)[/mm]
>
> Wenn ich P nach x integriere bekomme ich:
> F(x,y)= [mm]x^3[/mm] y
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Da kommt noch eine beliebige Funktion von y dazu, die beim Ableiten ja wieder verschwindet, also:
[mm]F(x,y)=x^3y+f(y)[/mm]
>
> Wenn ich Q nach y integriere bekomme ich:
> G(x,y)= [mm]x^3[/mm] y+cos(y)
Analog: [mm]G(x,y) =x^3y+\cos y +g(x)[/mm]
Wenn du es jetzt gleichsetzt, kommt [mm]f(y)-cos y = g(x)[/mm] heraus. Da die linke Seite nur von y, die rechte nur von x abhängt, müssen beide konstant sein, also [mm]g(x)=c[/mm] und [mm]f(y)=\cos y +c[/mm].
Du hast also insgesamt [mm]u=x^3y+\cos y +c[/mm], [mm]\omega = du[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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