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| Aufgabe | y'(x)=-ay(x)+bsin(x)
y(0)=0
Löse das Anfangswertproblem |
Kann mir jemand einen Tipp geben wie ich die Lösung dieser DGL erhalte?
Zuerst muss ich umstellen zu:
y'+ay-bsin=0
Gruß
Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:22 Do 17.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Berechne zerst die allgemeine Lösung der inhomogenen linearen DGL
y'(x)=-ay(x)+bsin(x) .
Unter all diesen Lösungen gibt es genau eine mit: y(0)=0
FRED
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y'+ay=0
[mm] y_0=K*e^{-ax}
[/mm]
[mm] y=K(x)*e^{-ax}
[/mm]
[mm] y'=K(x)*e^{-ax}-a*K(x)*e^{-ax}
[/mm]
[mm] y'+ay=K(x)*e^{-ax}-a*K(x)*e^{-ax}+a*K(x)*e^{-ax}
[/mm]
[mm] K(x)*e^{-ax}=bsin(x)
[/mm]
[mm] K(x)=\bruch{b*sin(x)}{e^{-ax}}
[/mm]
[mm] K(x)=\integral_{}^{}{b*sinx*e^{ax} dx} [/mm] = [mm] \bruch{b*e^{ax}*(a*sinx)-cosx}{a^2+1}+C
[/mm]
y= [mm] (\bruch{b*e^{ax}*(a*sinx)-cosx}{a^2+1})e^{-ax}+C*e^{-ax}
[/mm]
so..ich bin mir aber sicher, dass das komplett falsch ist wenn so ein blöder Ausdruck heraus kommt!
Könnt ihr mir sagen wo mein fehler liegt?
Mathegirl
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Hallo,
> Könnt ihr mir sagen wo mein fehler liegt?
ja, einen Fehler habe ich zumindest sofort entdeckt: du gehst ja den Weg über die homogene Lösung (die ist richtig) mit anschließender Variation der Konstanten. Und hier ist dir ein folgenschwerer Fehler unterlaufen. In dem Moment, wo die Konstante variabel wird, hängt sie von x ab, was beim Ableiten beachtet werden muss. Das hast du zwar vermutlich vorgehabt, da du die Produktregel verwendet hast, aber dann muss eben auch
[mm] y'=K'(x)*e^{-ax}-a*K(x)*e^{-ax}
[/mm]
dastehen und zur weiteren Rechnung verwendet werden. Dann siehst du auch unmittelbar, dass du die Funktion K(X) erst durch eine erneute Integration bekommst.
Gruß, Diophant
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y' habe ich doch aber genau so formuliert, ich habe den Ableitungsstrich nur vergessen hier einzufügen.
Ich komme bei der Aufgabe einfach nicht weiter!
Mathegirl
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Hallo,
> y' habe ich doch aber genau so formuliert, ich habe den
> Ableitungsstrich nur vergessen hier einzufügen.
jep, jetzt habe ich es auch gesehen. Integriert hast du m.A. nach richtig, der einzige Fehler ist die falsche Klammerung beim Einsetzen von K(x) in y.
Gruß, Diophant
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welchen Fehler meinst du beim klammern? ich erkenne das gerade irgendwie nicht....
Mathegirl
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Hallo,
was bzw. weshalb multiplizierst du denn am Ende mit [mm] e^{-ax}? [/mm] Deine Klammerung steht zu dieser Intention im Widerspruch.
Gruß, Diophant
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weil ja gelten muss:
[mm] y=K(x)*e^{-ax} [/mm] daraus erhalte ich die allgemeine Lösung
durch Einsetzen dann:
y= [mm] (\bruch{be^{ax}(asinx)-cosx)}{a^2+1}+C)*e^{-ax}
[/mm]
deshalb erhalte ich das.
mathegirl
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Hallo,
> deshalb erhalte ich das.
ja: aber jetzt hast du es im Unterschied zu vorhin auch richtig aufgeschrieben. 
Gruß, Diophant
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