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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Differentialgleichungen
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Differentialgleichungen: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:13 So 12.05.2019
Autor: Ataaga

Aufgabe
a) Ein physikalisches Gesetz besagt: Die Abkühlgeschwindigkeit eines Körpers ist proportional zur Temperaturdifferenz zur Umgebung.

Ein Tasse Tee habe eine Anfangstemperatur von 80°C zum Zeitpunkt to = O. Durch die Umgebungstemperatur von 20°C kühlt der Tee ab, so dass er nach fünf Minuten nur noch 60°C heiß ist.

Leiten Sie ein AWP als mathematisches Modell für diesen Abkühlungsvorgang her. Lösen Sie das AWP und berechnen Sie, wie lange es dauert, bis sich der Körper auf 30°C abgekiihlt hat.

b) Am 19. September 1991 wurde in den Ötztaler Alpen eine Gletschermumie ("Ötzi") gefunden. Zur Ermittlung des genauen Todeszeitraums haben die Wissenschaftler die Radiokarbonmethode (oder: 14C-Methode) verwendet. Diese Methode beruht darauf, dass in abgestorbenen Organismen die Menge an gebundenen radioaktiven 14C-Atomen gemäß dem Zerfallsgesetz abnimmt. Lebende Organismen sind von diesem Effekt nicht betroffen, da sie ständig neuen Kohlenstoff aus der Umwelt aufnehmen, der wieder den normalen Anteil an 14C-Atomen einbringt.

Die Halbwertszeit des Kohlenstoffsotops 14C beträgt ca. 5730 Jahre.

Die Auswertung der Messergebnisse ergab, dass die Mumie zum Messzeitpunkt im Jahre 1991 etwa 52% bis 54% der ursprünglichen Menge 14C enthielt. Berechnen Sie mit Hilfe dieser Daten den Zeitraum, in dem Ötzi verstorben ist

Hallo,
wie mache ich hier eine Differentialgleichung?
Gruß

        
Bezug
Differentialgleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:32 So 12.05.2019
Autor: fred97

Tipps:

bei a) ist das Newtonsche  Abkühlungsgesetz gefragt. Ich könnte Dir das nun  klein-klein hier erklären,  aber im Internet wirst Du ebenso fündig,  daher spare ich mir  am  Muttertag  die Arbeit.

Für b) gilt das gleiche,  Google  und Radiokarbonmethode sind  Deine  Freunde.

Bezug
                
Bezug
Differentialgleichungen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:38 So 12.05.2019
Autor: Ataaga

Aufgabe
Hallo,
dT/(Te-T)=kdt ?
wenn ja soll ich jetzt einfach integrieren? wonach muss ich die gleichung nach integration auflösen?

Gruß

Bezug
                        
Bezug
Differentialgleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:40 So 12.05.2019
Autor: Martinius

Hallo Ataaga,

> Hallo,
>  dT/(Te-T)=kdt ?
>  wenn ja soll ich jetzt einfach integrieren? wonach muss
> ich die gleichung nach integration auflösen?
>  Gruß


[mm] $\frac{dT_{(t)}}{dt}\;=\;-k*(T_{(t)}-T_{U})$ [/mm]   DGL lösen; dann auflösen nach [mm] T_{(t)} [/mm] .


LG, Martinius

Bezug
                
Bezug
Differentialgleichungen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:10 So 12.05.2019
Autor: Ataaga

Aufgabe
Hallo,
ist meine Berechnung richtig so?

Gruß

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Bezug
                        
Bezug
Differentialgleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:34 So 12.05.2019
Autor: Martinius

Hallo Ataaga,

Du sollst nicht nach t auflösen, sondern nach T(t).

Die ersten Zeilen sind richtig.

LG, Martinius

Bezug
                                
Bezug
Differentialgleichungen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:01 Mo 13.05.2019
Autor: Ataaga

Aufgabe
Richtig so?

Gruß

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Bezug
                                        
Bezug
Differentialgleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:21 Mo 13.05.2019
Autor: Martinius

Hallo Ataaga,

ja, richtig so.

LG, Martinius

Bezug
                                                
Bezug
Differentialgleichungen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:02 Mo 13.05.2019
Autor: Ataaga

Aufgabe
jetzt zu Aufgabenteil b)
ich habe diese Formel: [mm] t=(ln(Vk/V))/-\lambda [/mm]

[mm] -\lambda= [/mm] 1,21·10-4 1/a
Weche Werte muss ich für Vk und V einsetzen?

Gruß

Bezug
                                                        
Bezug
Differentialgleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:10 Mo 13.05.2019
Autor: Martinius

Hallo Ataaga,

> jetzt zu Aufgabenteil b)
>  ich habe diese Formel: [mm]t=(ln(Vk/V))/-\lambda[/mm]
>  
> [mm]-\lambda=[/mm] 1,21·10-4 1/a
>  Weche Werte muss ich für Vk und V einsetzen?
>  Gruß

Lambda ist positiv.

[mm] $N_{(t)}\;=\;N_0*e^{-\lambda*t}$ [/mm]

[mm] $N_0*e^{-\lambda*5730}\;=\;\frac{1}{2}*N_0$ [/mm]

[mm] $e^{-\lambda*5730}\;=\;\frac{1}{2}$ [/mm]

[mm] $-\lambda*5730\;=\;ln\left( \frac{1}{2}\right)\;=\;-ln(2)$ [/mm]

[mm] $\lambda\;=\;\frac{ln(2)}{5730}\;\approx\;0,000\;120\;968$ [/mm]   und damit  [mm] $N_{(t)}\;\approx\;N_0*e^{-0,000\;120\;968*t}$ [/mm]


LG, Martinius

Edit: Tippfehler berichtigt.

Bezug
                                                
Bezug
Differentialgleichungen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:11 Mo 13.05.2019
Autor: Ataaga

Aufgabe
[mm] 0,5^t/5730=0,53 [/mm]

[mm] ln0,5^t/5730 [/mm] =ln0,53

(t/5730)*ln0,5=ln0,53

t*ln0,5=ln(0,53)*5730

t=(ln(0,53)*5730) / ln(0,5)

t = 5248

Ist das richtig so?
Gruß

Bezug
                                                        
Bezug
Differentialgleichungen: Rückfrage
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 15:12 Mo 13.05.2019
Autor: Ataaga

Aufgabe
[mm] 0,5^t/5730=0,53 [/mm]

[mm] ln0,5^t/5730 [/mm] =ln0,53

(t/5730)*ln0,5=ln0,53

t*ln0,5=ln(0,53)*5730

t=(ln(0,53)*5730) / ln(0,5)

t = 5248

Richtig so?

Gruß

Bezug
                                                        
Bezug
Differentialgleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:30 Mo 13.05.2019
Autor: Martinius

Hallo Ataaga,

> [mm]0,5^t/5730=0,53[/mm]
>  
> [mm]ln0,5^t/5730[/mm] =ln0,53
>  
> (t/5730)*ln0,5=ln0,53
>  
> t*ln0,5=ln(0,53)*5730
>  
> t=(ln(0,53)*5730) / ln(0,5)
>  
> t = 5248
>  Ist das richtig so?
>  Gruß


Du hast 2 Prozentwerte:  52 %  und  54% .

[mm] $N_0*e^{-0,000\;120\;968*t}\;=\;0,54*N_0$ [/mm]

[mm] $-0,000\;120\;968*t\;=\;ln(0,54)$ [/mm]


[mm] $t_1\;=\;\frac{-ln(0,54)}{0,000\;120\;968}\;\approx\;5094\;years$ [/mm]


[mm] $t_2\;=\;\frac{-ln(0,52)}{0,000\;120\;968}\;\approx\;5406\;years$ [/mm]


LG, Martinius


Edit: Da 1991 gemessen wurde, müsste man eigentlich noch 28 Jahre zu jedem Zahlenwert hinzu addieren.


Bezug
                                                                
Bezug
Differentialgleichungen: Rückmeldung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:50 Di 14.05.2019
Autor: Ataaga

Vielen Dank ich habe alle Lösungen komplett verstanden....

Beste Grüße

Bezug
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