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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Differentialgleichungen
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Differentialgleichungen: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:38 So 26.05.2019
Autor: Ataaga

Aufgabe
Hallo Zusammen,

Hängt ein Seil nur unter der Last seines Gewichts, so beschreibt es eine Kettenlinie                

x(t) = [mm] b+a*cosh\bruch{t+c}{a}, [/mm]      a>0


a) Man rechne nach, dass x(t) diese Differentialgleichung erfüllt:

ax'' = [mm] \wurzel{1+x'^{2}} [/mm]

b) Ein Seil soll zwischen den Punkten

A = (0m, 100m)   und
B = (300m, 192,73m)

hängen, so dass es in A horizontal einmündet.
Wie sind a, b und c zu wählen?
Hinweis: Die entsprechende Gleichung für a können sie näherungsweise mit dem Compüter lösen.

c) Wie lang muss das Seil aus b) sein?


Liebe Grüße

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Differentialgleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:50 So 26.05.2019
Autor: Martinius

Hallo Ataaga,

> Hallo Zusammen,
>  
> Hängt ein Seil nur unter der Last seines Gewichts, so
> beschreibt es eine Kettenlinie                
>
> x(t) = [mm]b+a*cosh\bruch{t+c}{a},[/mm]      a>0
>  
>
> a) Man rechne nach, dass x(t) diese Differentialgleichung
> erfüllt:
>  
> $a*x'' = [mm] \wurzel{1+(x')^{2}}$ [/mm]


$ x(t) [mm] \; =b+a*cosh\left(\bruch{t+c}{a}\right)$ [/mm]

[mm] $\dot [/mm] x(t) [mm] \;=\;sinh\left(\bruch{t+c}{a}\right)$ [/mm]

[mm] $\ddot [/mm] x(t) [mm] \;=\;\frac{1}{a}*cosh\left(\bruch{t+c}{a}\right)$ [/mm]

und damit:  [mm] $a*\ddot x(t)\;=\;cosh\left(\bruch{t+c}{a}\right)$ [/mm]

[mm] $\sqrt{1+ \left(\dot x\right)^2}\;=\;\sqrt{1+\left(sinh\left(\frac{t+c}{a} \right)\right)^2 }$ [/mm]  mit dem hyperbolischen Pythagoras [mm] $cosh^2(t)-sinh^2(t)\;=\;1$ [/mm] kommst Du bestimmt

weiter ...


LG, Martinius

Bezug
                
Bezug
Differentialgleichungen: Rückmeldung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:54 So 26.05.2019
Autor: Ataaga

Hallo,
hier ist meine Berechnung.

Gruß

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Bezug
                        
Bezug
Differentialgleichungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:56 So 26.05.2019
Autor: Martinius

Hallo Ataaga,

es ist kein Upload vorhanden.

Du kannst Dein Ergebnis auch eintippen.

LG, Martinius


Bezug
                                
Bezug
Differentialgleichungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:02 So 26.05.2019
Autor: Ataaga

[mm] cosh(t+c/a)=\wurzel{1+sinh^2(t+c/a)} /()^2 [/mm]
[mm] cosh(t+c/a)=cosh^2(t+c/a) [/mm]
[mm] coh^2(t+c/a)-sinh^2(t+c/a)=1 [/mm]

> Hallo Ataaga,
>  
> es ist kein Upload vorhanden.
>  
> Du kannst Dein Ergebnis auch eintippen.
>  
> LG, Martinius
>  


Bezug
                        
Bezug
Differentialgleichungen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:57 So 26.05.2019
Autor: Ataaga

Wie mache ich jetzt b?

Liebe Grüße

Bezug
                                
Bezug
Differentialgleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:01 So 26.05.2019
Autor: Martinius

Hallo Ataaga,

Du hast in Deinem handschriftlichen Upload die Wurzel nicht (richtig) berechnet.

LG, Martinius

Bezug
                                        
Bezug
Differentialgleichungen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:10 So 26.05.2019
Autor: Ataaga

Ich konnte leider nicht erkennen wo mein Fehler liegt:
Können Sie mir bitte genau sagen wo ich Fehler gemacht habe.
Gruß

Bezug
                                                
Bezug
Differentialgleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:15 So 26.05.2019
Autor: Martinius

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hallo Ataga,

$ \sqrt{1+ \left(\dot x\right)^2}\;=\;\sqrt{1+\left(sinh\left(\frac{t+c}{a} \right)\right)^2 } \;=\;\sqrt{\left(cosh\left(\frac{t+c}{a} \right)\right)^2 }\;=\;cosh\left(\frac{t+c}{a} \right) }$


LG, Martinius

P.S. Hier im Forum duzen wir uns alle.

Bezug
                                                        
Bezug
Differentialgleichungen: Rückmeldung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:27 So 26.05.2019
Autor: Ataaga

cosh(t+c/a) = [mm] \wurzel{1+sinh^2(t+c/a)} ()^2 [/mm]

[mm] cosh^2(t+c/a) [/mm] = [mm] 1+sinh^2(t+c/a) [/mm]

[mm] cosh^2(t+c/a)-sinh^2(t+c/a) [/mm] =1


Bezug
                                                                
Bezug
Differentialgleichungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:44 So 26.05.2019
Autor: Martinius

Hallo Ataaga,

> cosh(t+c/a) = [mm]\wurzel{1+sinh^2(t+c/a)} ()^2[/mm]
>  
> [mm]cosh^2(t+c/a)[/mm] = [mm]1+sinh^2(t+c/a)[/mm]

Wahrscheinlich hast Du hier recht - Du hast gezeigt, dass die linke Seite der Gleichung der rechten entspricht - obwohl quadrieren nicht unbedingt zu den Äquivalenzumformung gehört.

Bsp.:  (I)  [mm] $x+5\;=7\;$ [/mm]

       (II)  [mm] $(x+5)^2\;=\;49$ [/mm]

  

> [mm]cosh^2(t+c/a)-sinh^2(t+c/a)[/mm] =1


LG, Martinius



Bezug
                                                                        
Bezug
Differentialgleichungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:52 So 26.05.2019
Autor: Ataaga

Hallo Martinius,
genau das wollte ich zeigen.
Gruß

Bezug
                                                                                
Bezug
Differentialgleichungen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:53 So 26.05.2019
Autor: Ataaga

Aufgabenteil a ist nun erledigt oder?

Bezug
                                                                                        
Bezug
Differentialgleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:15 So 26.05.2019
Autor: Martinius

Hallo Ataaga,

> Aufgabenteil a ist nun erledigt oder?

Jein. Vielleicht kann noch einer von den studierten Mathematikern / Mathematiklehreren etwas dazu schreiben.

Zu Aufgabenteil b):

Wir haben  [mm] $x(t)\;=\;a*cosh\left(\frac{t+c}{a} \right)+b$ [/mm]  mit den drei Parametern a, b, c.

Kümmern wir uns zunächst um c. Der Hyperbelcosinus sieht einer nach oben geöffneten Parabel ähnlich - beide Funktionen haben nur ein Extremum - ein Minimum.

Wir wissen aus der Aufgabenstellung:  " ..., so dass es (der Graph) in A (0m / 100m) horizontal einmündet."

Das Minimum (Steigung = 0) liegt also bei t = 0 über dem Ursprung. Da c dafür verantwortlich ist, den Graphen nach links oder rechts zu verschieben, müsste c = 0 sein.

Damit:  [mm] $x(t)\;=\;a*cosh\left(\frac{t}{a} \right)+b$ [/mm]

Wenn ich das soweit hoffentlich richtig habe, dann müssen wir noch a und b bestimmen - aus A (0m / 100m) und B (300m / 192,73m)

LG, Martinius


Edit: für die Nachwelt:

[mm] $x(t)\;\approx\;500,013*cosh \left(\frac{t}{500,013} \right)-400,013$ [/mm]     und die Bogenlänge:  [mm] $\int_{0}^{300}\sqrt{1+\left(\dot x \right)^2}\;dt\;\approx \;318,326\;m$ [/mm]

Hoffentlich ohne Fehler.

Bezug
                                                                                                
Bezug
Differentialgleichungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:16 Sa 01.06.2019
Autor: Ataaga

Danke sehr......
beste Grüße

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Differentialgleichungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:55 Sa 01.06.2019
Autor: Martinius

Hallo Ataaga,

> Danke sehr......
>  beste Grüße

Bitteschön.

Ist Dir denn der Rechenweg klar?

LG, Martinius

Bezug
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