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| Aufgabe | Julia hat sich in Romeo verliebt, aber Romeo ist ein wankelmütiger Liebhaber. Je mehr Julia ihn liebt, desto mehr beginnt er sie zu hassen. Je mehr sie ihn hasst, um so mehr gewinnt er sie lieb. Andererseits wächst ihre Liebe für ihn, wenn er sie liebt, und fällt, wenn er sie hasst.
Ein Modell für diese unter einem schnlechten Stern stehende Romanze ist:
[mm] \bruch{dR}{dt} [/mm] = -AJ, [mm] \bruch{dJ}{dt} [/mm] = BR
wobei R(t) Romeos Liebe für Julia ist und J(t) Julias Liebe für Romeo (negative Liebe, im Volksmund auch Hass genannt, ist hier zugelassen) und A und B positive Zahlen sind.
a) Bestimme eine Differentialgleichung zweiter Ordnung für R(t) und löse sie.
b) Bestimmer R(t) und J(t) für die Anfangsbedingung R(0) = 0 und J(0) = 1. Welchen Teil der Zeit lieben Romeo und Julia einander. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Was ich bisher gemacht habe:
1. R(t)'' -> Durch einsetzen von J(t)'
R(t)'' = -A*B*R(t)
=> 0 = -A*B*R(t) - R(t)''
Dies dürfte nun die Differentialgleichung sein!?
Wie gehts nun weiter? Normalerweise setzt man jetzt ja R(t) = [mm] e^{ax} [/mm] und rechnet dann damit weiter. Ich hab mir gedacht die funktionen müssten ja am schluss wohl periodisch sein, also fällt [mm] e^{ax} [/mm] weg. Mach ich denn jetzt das Selbe einfach mit sin(x) - cos(x) ? Ihr seht, ich versteh nicht so viel von Differentialgleichungen :(
Bin für jeden Tipp dankbar.
- Dominik -
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:08 Sa 21.01.2006 | | Autor: | noebi |
Also: C²*R(t) + R''(t) = 0
Standardansatz: R(t) = D*exp(ax), a komplex.
Einsetzen: C + a² = 0 ==> a = iC, C positiv reell
Die allgemeinste Lösung ist also:
D*exp(iCx) + E*exp(-iCx) mit komplexen D und E.
Das ergibt eine Sinusschwingung. Mit den Randbedingungen kann man dann D und E ausrechnen.
Gruß,
Nöbi.
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