Differentialgleichungsproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:48 Mo 18.11.2013 | | Autor: | arti8 |
| Aufgabe | Löse durch trennen der Veränderlichen folgende Differentialgleichungsprobleme.
[mm] xy(1+x^2)*y'=1+y^2 [/mm] |
Hi, ich bins wieder.
Habe die genannte Aufgabe versuchtzu rechnen.
Habe am Ende meiner Rechnung folgendes:
[mm] \bruch{1}{2}*ln(1+y^2)=\bruch{ln(x+x^3)}{1+3x^2}+C
[/mm]
Das sieht allerdings so doof aus. :D Wenn ich "e" anwende hätte ich nachher "x" im Exponenten, Das bereitet mir arg Kopfschmerzen.
Hat jemand nee Idee ?
|
|
| |
|
Hallo,
du hast dich schlicht und ergreifend verrechnet, und zwar bei dem Integral auf der rechten Seite.
Was falsch gelaufen ist, kann man nicht sagen, da deine Rechnung fehlt. Es geht ja um das Integral
[mm] \int{\bruch{dx}{x*(1+x^2)}}
[/mm]
dessen Lösung mittels Partialbruchzerlegung recht einfach gelingt.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:15 Mo 18.11.2013 | | Autor: | arti8 |
aaahhhh ok. cool danke. Ich versuchs nochmal, meld mich falls noch was offen ist.
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:17 Di 19.11.2013 | | Autor: | arti8 |
Ok also ich hab es versucht mit partialburchzerlegung.
Aber ich hab es iwie falsch gemacht.
hier mein Rechenweg:
[mm] \bruch{y}{1+y^2}dy=\bruch{1}{x(1+x^2)}dx
[/mm]
Nullstellen des Nenners:
[mm] x(1+x^2)=0 [/mm] /x1=0
[mm] 1+x^2=0 [/mm] /-1
[mm] x^2=-1 [/mm] /wurzel{-1} geht leider nicht ohne komplexe Zahlen.
also keine Nullstelle in [mm] 1+x^2
[/mm]
wie gehe ich weiter vor ?
ich habe jetzt 1 Nullstelle.
würde ja dann sein
[mm] \bruch{A}{(x-0)}+\bruch{1}{x^2+1}=\bruch{y}{1+y^2}
[/mm]
jetzt gemeinsamen Nenner erzeugen:
[mm] \bruch{A(x^2+1)+1x}{(x-0)(x^2+1)}=\bruch{y}{1+y^2}
[/mm]
um "A" zu bestimmen setzte ich nun für "x" die Nullstelle "0"ein, im Zähler.
also:
[mm] A(x^2+1)+1x=y [/mm] / x=0
somit ist A=y
ist das soweit richtig ? Ich bin mir unsicher. da ich bisher nur Aufgaben gerechnet habe wo man die Nullstellen hat und diese leiccht umformen kann. hier habe ich ja nun noch einen Restanteil in welcher sich keine Nullstelle befindet.
|
|
|
| |
|
Hallo arti8,
> Ok also ich hab es versucht mit partialburchzerlegung.
>
> Aber ich hab es iwie falsch gemacht.
>
> hier mein Rechenweg:
>
> [mm]\bruch{y}{1+y^2}dy=\bruch{1}{x(1+x^2)}dx[/mm]
>
> Nullstellen des Nenners:
> [mm]x(1+x^2)=0[/mm] /x1=0
> [mm]1+x^2=0[/mm] /-1
> [mm]x^2=-1[/mm] /wurzel{-1} geht leider nicht ohne komplexe
> Zahlen.
>
> also keine Nullstelle in [mm]1+x^2[/mm]
>
> wie gehe ich weiter vor ?
>
> ich habe jetzt 1 Nullstelle.
>
> würde ja dann sein
> [mm]\bruch{A}{(x-0)}+\bruch{1}{x^2+1}=\bruch{y}{1+y^2}[/mm]
Nein, der Ansatz mit einer reellen und sonst komplexen NSTen ist
[mm]\frac{1}{x(1+x^2)}=\frac{A}{x} \ + \ \frac{Bx+C}{1+x^2}[/mm]
Und hier dann gleichnamig machen und [mm]A,B,C[/mm] berechnen ...
>
> jetzt gemeinsamen Nenner erzeugen:
> [mm]\bruch{A(x^2+1)+1x}{(x-0)(x^2+1)}=\bruch{y}{1+y^2}[/mm]
>
> um "A" zu bestimmen setzte ich nun für "x" die Nullstelle
> "0"ein, im Zähler.
> also:
> [mm]A(x^2+1)+1x=y[/mm] / x=0
> somit ist A=y
???
Nee, lass das mal mit dem blöden Nullstellen einsetzen; ich mag dieses Verfahren überhaupt nicht.
Mache den oben erwähnten Ansatz, mache rechterhand gleichnamig, sortiere im entstehenden Zähler rechterhand nach Potenzen von x und vergleiche mit dem Zähler linkerhand:
[mm]\frac{\red{1}}{x(1+x^2)}=\frac{\blue{0x^2}+\green{0x}+\red{1}}{x(1+x^2)} \ = \ \frac{\blue{Ux^2}+\green{Vx}+\red{W}}{x(1+x^2)}[/mm]
Die U,V,W ergeben sich dann als Ausdrücke in A,B,C, die du nach dem Erweitern und Sortieren erhältst.
Rechne einfach mal, dann siehst du das selber ...
>
> ist das soweit richtig ? Ich bin mir unsicher. da ich
> bisher nur Aufgaben gerechnet habe wo man die Nullstellen
> hat und diese leiccht umformen kann. hier habe ich ja nun
> noch einen Restanteil in welcher sich keine Nullstelle
> befindet.
>
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 Di 19.11.2013 | | Autor: | arti8 |
Aber bin ich dann nicht wieder bei dieser Gelcihung ?
[mm] \bruch{1}{x(1+x^2)}dx [/mm]
Dann hat das doch nichts gebracht ? oder versteh ich das jetzt falsch ?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Aber bin ich dann nicht wieder bei dieser Gelcihung ?
>
> [mm]\bruch{1}{x(1+x^2)}dx[/mm]
Das ist keine Gleichung, sondern ein Term ...
>
> Dann hat das doch nichts gebracht ? oder versteh ich das
> jetzt falsch ?
Sieht ganz so aus ...
Es ist [mm]\frac{1}{x(1+x^2)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{1+x^2}=\frac{A(1+x^2)+(Bx+C)x}{x(1+x^2)}[/mm]
Das ist der Ansatz und die Erweiterung
[mm]=\frac{(A+B)x^2+Cx+A}{x(1+x^2)}[/mm]
Das sit die Sortierung nach Potenzen von x
Damit haben wir [mm]\frac{1}{x(1+x^2)} \ = \ \frac{(A+B)x^2+Cx+A}{x(1+x^2)}[/mm]
Die Zähler müssen gleich sein, also (Koeffizientenvergleich)
[mm]1=\red{0}\cdot{}x^2+\blue{0}\cdot{}x+\green 1 \ = \ \red{(A+B)}\cdot{}x^2+\blue{C}\cdot{}x+\gren A}[/mm]
Also [mm]\red{A+B=0}[/mm] und [mm]\blue{C=...}[/mm] und [mm]\green{...}[/mm]
Nun aber ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
