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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Differentialgleichungssystem
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Differentialgleichungssystem: Rückfrage, Korrektur, Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:42 Do 01.02.2018
Autor: Dom_89

Aufgabe
Bestimme die Lösung des Differentialgleichungssystem

y`(t) = = [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 3 & 4 }y(t)-\vektor{3 \\ 7} [/mm]

Hallo,

hier einmal mein Lösungsansatz:

Ich habe zunächst die Eigenwerte bestimmt mit:

[mm] det(A-\lambda E_{2})=\vmat{ 2 & 1 \\ 3 & 4 } [/mm]

Hier kam dann [mm] \lambda_{1} [/mm] = 5  und  [mm] \lambda_{2} [/mm] = 1 raus

Für die Bestimmung der Eigenwerte habe ich dann jeweils die o.g. Werte für [mm] \lambda [/mm] eingesetzt:

[mm] \lambda_{1} [/mm] = 5  [mm] (A-\lambda_{1} E_{2}): \pmat{ -3 & 1 \\ 3 & -1} [/mm]

[mm] \vec{x}_{1} [/mm] =  [mm] \vektor{3 \\ 1} [/mm]

[mm] \lambda_{2} [/mm] = 1  [mm] (A-\lambda_{2} E_{2}): \pmat{ 1 & 1 \\ 3 & 3} [/mm]

[mm] \vec{x}_{1} [/mm] =  [mm] \vektor{1 \\ -1} [/mm]

Somit lautet die Lösung dann:

y(t) = [mm] c_{1}e^{5t}\vektor{3 \\ 1} [/mm] + [mm] c_{2}e^{t}\vektor{1 \\ -1} [/mm]

Nun ist mir aber leider nicht klar, wie und an welcher Stelle der Vektor [mm] \vektor{3 \\ 7} [/mm] (siehe Aufgabenstellung) mit in die Rechnung einfließen muss!?

Könnt ihr das einmal Erläutern?

Vielen Dank für die Hilfe

        
Bezug
Differentialgleichungssystem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:53 Do 01.02.2018
Autor: fred97


> Bestimme die Lösung des Differentialgleichungssystem
>  
> y'(t) = = [mm]\pmat{ 2 & 1 \\ 3 & 4 }y(t)-\vektor{3 \\ 7}[/mm]
>  
> Hallo,
>
> hier einmal mein Lösungsansatz:
>
> Ich habe zunächst die Eigenwerte bestimmt mit:
>
> [mm]det(A-\lambda E_{2})=\vmat{ 2 & 1 \\ 3 & 4 }[/mm]
>  
> Hier kam dann [mm]\lambda_{1}[/mm] = 5  und  [mm]\lambda_{2}[/mm] = 1 raus
>
> Für die Bestimmung der Eigenwerte habe ich dann jeweils
> die o.g. Werte für [mm]\lambda[/mm] eingesetzt:
>
> [mm]\lambda_{1}[/mm] = 5  [mm](A-\lambda_{1} E_{2}): \pmat{ -3 & 1 \\ 3 & -1}[/mm]
>  
> [mm]\vec{x}_{1}[/mm] =  [mm]\vektor{3 \\ 1}[/mm]
>  
> [mm]\lambda_{2}[/mm] = 1  [mm](A-\lambda_{2} E_{2}): \pmat{ 1 & 1 \\ 3 & 3}[/mm]
>  
> [mm]\vec{x}_{1}[/mm] =  [mm]\vektor{1 \\ -1}[/mm]
>  
> Somit lautet die Lösung dann:
>
> y(t) = [mm]c_{1}e^{5t}\vektor{3 \\ 1}[/mm] + [mm]c_{2}e^{t}\vektor{1 \\ -1}[/mm]
>  
> Nun ist mir aber leider nicht klar, wie und an welcher
> Stelle der Vektor [mm]\vektor{3 \\ 7}[/mm] (siehe Aufgabenstellung)
> mit in die Rechnung einfließen muss!?
>  
> Könnt ihr das einmal Erläutern?

Bislang hast du nur die Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung bestimmt.

Was Du noch  benötigst ist eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung

Tipp: die inhomogene Gleichung hat eine konstante Lösung

Die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung lautet dann

    allgemeine Lösungen der homogenen Gleichung +spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung

>  
> Vielen Dank für die Hilfe


Bezug
                
Bezug
Differentialgleichungssystem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:27 Fr 02.02.2018
Autor: Dom_89

Hallo,

vielen Dank für die Antwort!

Ist nachfolgender Weg dann der Richtige:

y'(t) = [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 3 & 4 }y(t)-\vektor{3 \\ 7} [/mm]

y'_{s}(t) = [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] = [mm] Ay_{s}(t) [/mm] - [mm] \vektor{3 \\ 7} [/mm]

y'_{s}(t) = [mm] \pmat{ 2a & +b & |3 \\ 3a & +4b & |7 } [/mm]

Auflösen nach a und b?

Besten Dank

Bezug
                        
Bezug
Differentialgleichungssystem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:31 Fr 02.02.2018
Autor: leduart

Hallo
ja, genau so.
Gruß leduart

Bezug
                                
Bezug
Differentialgleichungssystem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:06 Sa 03.02.2018
Autor: Dom_89

Hallo,

danke für die Antwort!

Ich habe nach Lösen der Gleichungen

a = 1 und b = 1

raus.

Ist das so in Ordnung?

Besten Dank

Bezug
                                        
Bezug
Differentialgleichungssystem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:38 Sa 03.02.2018
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> danke für die Antwort!
>  
> Ich habe nach Lösen der Gleichungen
>  
> a = 1 und b = 1
>  
> raus.
>  
> Ist das so in Ordnung?



Ja. Mit einer einfachen Probe kannst du  das selbst überprüfen

>  
> Besten Dank


Bezug
                                                
Bezug
Differentialgleichungssystem: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:05 Mo 05.02.2018
Autor: Dom_89

Vielen Dank!

Bezug
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