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| Aufgabe | (1.) [mm] \bruch{dx}{y} [/mm] = [mm] d(\bruch{x}{y}) [/mm] - x [mm] d(\bruch{1}{y})
[/mm]
(2.) v dv = [mm] d(\bruch{v^2}{2}) [/mm] |
Hallo!
Ich hoffe das meine Frage im richtigen Forum gestellt wurde.
Es geht in dieser Frage meiner Meinung nach nicht direkt um einen Differentialoperator , sondern eher um das in ihm enthaltene " d() ". Leider weiss ich nicht, wie ich es nennen sollte und nach kurzer Recherche dachte ich mir, dass "Integraloperator" die Falsche Bezeichnung ist.
zu (1.):
Ich würde gerne verstehen, weshalb man den linken Teil der Gleichung in den rechten Teil überführen kann.
Welche Rechenregeln sind hier zu beanchten?
zu (2.):
Auch hier kann ich mir nicht erklären, wieso diese Gleichung erfüllt ist.
Wie ist das Vorgehen, um auf die rechte Seite der Gleichung zu kommen.
Ich sehe hier lediglich, dass falls ich das unbestimmte Integral auf der linken seite der Gleichung bilde es auf 1/2* [mm] v^2 [/mm] führen würde.
Vielen Dank für die Hilfe!
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Hiho,
die Schreibweise "dx" ist nur eine Kurzschreibweise für "Bilde die erste Ableitung der Funktion x".
Aus der Schule ist da wohl eher die Schreibweise x' bekannt.
Schreiben wir die erste Gleichung mal um, dann steht da nur anders geschrieben:
[mm] $\bruch{x'}{y} [/mm] = [mm] \left(\bruch{x}{y}\right)' [/mm] - [mm] x\left(\bruch{1}{y}\right)'$
[/mm]
Ist dir diese Gleichung klarer?
Tip: Wende auf der rechten Seite mal einfach die Quotientenregel an.
MFG,
Gono.
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Danke für die Antwort!
In der Tat fällt mir diese ' -bezeichnung gegenüber der d() bezeichnung leichter.
Nachdem ich auf der rechten Seite der 1. Gleichung die Kettenregel angewendet habe komme ich auf:
[mm] (\bruch{x}{y})' [/mm] - x [mm] (\bruch{1}{y})' [/mm] =
[mm] \bruch{x' y - x y'}{y^2} [/mm] - x [mm] (\bruch{0*y - y'}{y^2}) [/mm] =
[mm] \bruch{x' y - x y'}{y^2} [/mm] + [mm] \bruch{x y'}{y^2} [/mm] =
[mm] \bruch{x' y}{y^2} [/mm] = [mm] \bruch{x'}{y} [/mm] = [mm] \bruch{dx}{y}
[/mm]
was offensichtlich der linken Seite der Gleichung entspricht, DANKE!
Nur dies ist ja sozusagen "der umgekehrte weg", um diese Gleichung zu überprüfen. Nach welcher Rechenregel ist die linke Seite der Gleichung zur rechten Seite überführt worden? Gibt es dafür eine Rechenregel?
Um jetzt nochmal auf die (2.) Gleichung zurückzukommen:
Der Ausdruck v dv bedeutet nach meinem Verständnis, dass ich hier v integrieren soll. In deiner Antwort hast du allerdings geschrieben, dass dv bedeutet, man müsse hier die erste Ableitung der Funktion v bilden, was ja auch offensichtlich richtig ist.
v dv = v v' = v * 1 Dies ist doch ein Trugschluss, oder?
Vielmehr würde ich folgendes schreiben:
v dv = 1/2 * [mm] v^2
[/mm]
Oder darf man das so nicht schreiben? Wo liegt mein Denkfehler?
Danke für die Hilfe!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:23 Do 11.10.2012 | | Autor: | techniquez |
Nachtrag zur 2. Frage:
v dv = [mm] d(\bruch{v^2}{2}) [/mm] | : dv
v = [mm] \bruch{d(\bruch{v^2}{2}) }{dv}
[/mm]
Hier ist nun auf der rechten Seite der Gleichung eine Differentialoperator d/dv entstanden, nach einer Trennung der Variablen.
v= d/dv [mm] (\bruch{v^2}{2})
[/mm]
v= 2* V * 1/2 = v
Dennoch kann ich den Schritt nicht nachvollziehen, wie man auf die rechte Seite der 2. Gleichung gekommen ist.
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Hiho,
> Nur dies ist ja sozusagen "der umgekehrte weg", um diese
> Gleichung zu überprüfen. Nach welcher Rechenregel ist die
> linke Seite der Gleichung zur rechten Seite überführt
> worden? Gibt es dafür eine Rechenregel?
Du hast es doch vor gemacht 
Um sowas später "zu sehen" bedarf es Übung, Übung, Übung 
> Der Ausdruck v dv bedeutet nach meinem Verständnis, dass
> ich hier v integrieren soll. In deiner Antwort hast du
> allerdings geschrieben, dass dv bedeutet, man müsse hier
> die erste Ableitung der Funktion v bilden, was ja auch
> offensichtlich richtig ist.
Ja und Nein.
Es bedeutet das für dich, weil dir das zufällig "bekannt" vor kommt. Allerdings ist bei der Integralrechnung das "dv" ja nur ein Symbol, und keine wirkliche Rechenvorschrift.
Andererseits stimmt die Gleichheit natürlich auch, wenn du das Integralzeichen davor schreibst, denn es gilt natürlich:
[mm] $\integral\,v\,dv [/mm] = [mm] \integral d\left(\bruch{v^2}{2}\right)$
[/mm]
Allerdings ist das eher unsauber aufgeschrieben, auch wenn es im Endergebnis wieder stimmt.
Das liegt aber gerade an den Rechenregeln, die du ja gerade bearbeitest
> v dv = v v' = v * 1 Dies ist doch ein Trugschluss, oder?
Ja, wie kommst du darauf, dass $v'=1$ gelten soll? v ist ja keine Variable, nach der du Ableitest, sondern eine Funktion.
Sauber steht da ja etwas, was noch von einem Index abhängt (wie dein x und y oben, das waren ja auch Funktionen x(t),y(t) sonst hättest du ja gar nicht die Quotientenregel anwenden können....)
D.h. "sauber" steht da ja eigentlich $v(t) [mm] \bruch{d}{dt}v(t)$
[/mm]
MFG,
Gono.
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Vielen Dank!
Es gilt also folgendes?
v dv = d ( [mm] \bruch{v^2}{2}) [/mm] | * [mm] \bruch{1}{dt}
[/mm]
v(t) * [mm] \bruch{d v(t)}{dt} [/mm] = [mm] \bruch{d(\bruch{v^2}{2}) }{dt}
[/mm]
v(t) * [mm] \bruch{d v(t)}{dt} [/mm] = [mm] \bruch{2 v(t)}{2} [/mm] * [mm] \bruch{d v(t)}{dt}
[/mm]
wobei der Term [mm] \bruch{d v(t)}{dt} [/mm] in der letzten Zeile auf der rechten Seite der Gleichung die "innere Ableitung" darstellt?
>> v(t) * [mm] \bruch{d v(t)}{dt} [/mm] = v(t) * [mm] \bruch{d v(t)}{dt}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:25 Fr 12.10.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig.
auch bei
(1.) $ [mm] \bruch{dx}{y} [/mm] $ = $ [mm] d(\bruch{x}{y}) [/mm] $ - x $ [mm] d(\bruch{1}{y}) [/mm] $
ist es einleuchtender
überall statt d [mm] \bruch{d}{dt} [/mm] zu schreiben und NIEMAND rechnet das von links ausgehend, sondern immer von
[mm] \bruch{d}{dt}(\bruch{x}{y}) [/mm] ausgehend!
Gruss leduart
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