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Forum "Differenzialrechnung" - Differentialquotient
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Differentialquotient: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:42 Do 02.10.2014
Autor: micha20000

Aufgabe
Gegeben sind die Funktionen f(x)= [mm] x^{3}-3x^{2}-x+4 [/mm] und g(x)= -4x+5
a) Bestimmen Sie f'(x) mithilfe des Differentialquotienten.


Hallo,

ich habe folgenden Ansatz:
[mm] f'(x_{0})= \limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{(x^{3}-3x^{2}-x+4)-((x-h)^{3}-3(x-h)^{2}-(x-h)+4)}{h} [/mm]

<=> [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{h^{3}-6hx-3h^{2}-h}{h} [/mm]

Ist das soweit richtig? Ich komme ab dieser Stelle nicht mehr weiter... Wie kürzt man jetzt? Und wie lasse ich das Ganze gegen 0 gehen? Das ist schon ziemlich lange her, als wir das im Unterricht hatten...
(Übrigens: Normalerweise wird die Formel ja mit x0 geschrieben; was bedeutet das x0? Was hätte ich dafür einsetzen müssen, wenn ich nicht die h-Methode benutzt hätte und wann benutzt man eigentlich diese Methode?)

        
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Differentialquotient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:06 Do 02.10.2014
Autor: GeMir

[mm] \lim_{h\rightarrow 0}{\bigg(\frac{h^3-6hx-3h^2-h}{h}\bigg)} [/mm] = [mm] \lim_{h\rightarrow 0}{\bigg(\frac{h(h^2-6x-3h-1)}{h}\bigg)} [/mm] = [mm] \lim_{h\rightarrow 0}{(\underbrace{h^2}_{\rightarrow 0}-6x-\underbrace{3h}_{\rightarrow 0}-1)} [/mm] = -6x-1

Wie du siehst, hast du dich verrechnet, weil die richtige Antwort lautet $f'(x) = [mm] 3x^2 [/mm] - 6x - 1$

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Differentialquotient: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:23 Do 02.10.2014
Autor: micha20000

ich habe das ganze nochmal gerechnet, finde den Fehler aber nicht.

= lim [mm] \bruch{(x^3 -3x^2 -x+4)-((x-h)^3 - 3((x-h)^2 ) - (x-h) +4)}{h} [/mm]

= lim [mm] \bruch{(x^3 -3x^2 -x + 4)-(x^3 -h^3 -3(x^2 -2hx-h^2 )-x+h+4)}{h} [/mm]

= lim [mm] \bruch{x^3 -3x^2 -x +4-(x^3 -h^3 -3x^2 +6hx +3h^2 -x + h +4)}{h} [/mm]

= lim [mm] \bruch{x^3 -3x^2 - x +4-x^3 +h^3 +3x^2 -6hx -3h^2 +x -h-4}{h} [/mm]

wo ist mein Fehler?

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Differentialquotient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:35 Do 02.10.2014
Autor: Ladon

Hallo micha,

schon beim ersten Ausmultiplizieren liegt der Fehler.
Es ist
$ [mm] \bruch{(x^3 -3x^2 -x+4)-((x-h)^3 - 3((x-h)^2 ) - (x-h) +4)}{h} [/mm] $
$ [mm] =\bruch{(x^3 -3x^2 -x + 4)-(x^3 -3x^2h+3xh^2-h^3 -3(x^2 -2hx+h^2 )-x+h+4)}{h} [/mm] $
Such einfach mal nach "Ausmultiplizieren mit Pascalschem Dreieck" bei einer Suchmaschine deines Vertrauens ;-)

MfG
Ladon

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Differentialquotient: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:10 Do 02.10.2014
Autor: micha20000

Wenn ich [mm] (x-h)^3 [/mm] ausmultipliziere, komme ich auf folgendes:

[mm] (x-h)*(x-h)^2 [/mm]

= [mm] (x-h)*(x^2 -2xh-h^2 [/mm] )

= [mm] x^3 -2x^2 [/mm] h - [mm] xh^2 [/mm] - [mm] x^2 [/mm] h [mm] +2xh^2 [/mm] + [mm] h^3 [/mm]

= [mm] x^3 -3x^2 [/mm] h [mm] +xh^2 +h^3 [/mm]

was ist falsch?

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Differentialquotient: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:18 Do 02.10.2014
Autor: micha20000

Oh, ich habe den Fehler entdeckt!

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Differentialquotient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:40 Do 02.10.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Wenn ich [mm](x-h)^3[/mm] ausmultipliziere, komme ich auf
> folgendes:
>  
> [mm](x-h)*(x-h)^2[/mm]
>  
> = [mm](x-h)*(x^2 -2xh-h^2[/mm] )
>  
> = [mm]x^3 -2x^2[/mm] h - [mm]xh^2[/mm] - [mm]x^2[/mm] h [mm]+2xh^2[/mm] + [mm]h^3[/mm]
>  
> = [mm]x^3 -3x^2[/mm] h [mm]+xh^2 +h^3[/mm]
>  
> was ist falsch?

Du hast den Fehler ja gefunden, aber damit man es später wiederfindet:

    [mm] $(x-h)^2=x^2-2xh\red{\;\text{+}\;}h^2$ [/mm]
(Danach habe ich nach keinem weiteren Ausschau gehalten.)

Gruß,
  Marcel

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Differentialquotient: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:29 Do 02.10.2014
Autor: micha20000

Ich habe jetzt folgendes für den gesamten Bruch raus:

lim [mm] 3x^2 -3x3h^3 +h^2 [/mm] -6xh

ist das richtig? und wenn ja, was muss ich jetzt machen, wenn ich h gegen unendlich gehen lassen will?

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Differentialquotient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:51 Do 02.10.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Ich habe jetzt folgendes für den gesamten Bruch raus:
>  
> lim [mm]3x^2 -3x3h^3 +h^2[/mm] -6xh

was immer Du da auch gerechnet hast. Ich frage mich sowieso, wieso
Du

    [mm] $\lim_{h \to 0} \frac{f(x)-f(x-h)}{h}$ [/mm]

betrachtest. Das kann man (hier) machen, wenn man sich selbst mit Vorzeichenfragen
durcheinander bringen will, obwohl sie keine Bedeutung haben.

Rechne mir jetzt dann doch auf ein Neues daher mal

    [mm] $\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ [/mm]

vor. (Aus Faulheitsgründen schreiben wir [mm] $x\,$ [/mm] anstatt [mm] $x_0$!) [/mm]

Außerdem, siehe meine andere Antwort: Überlege Dir mal, ob man da
wirklich in aller Ausführlichkeit den Term [mm] $f(x+h)-f(x)\,$ [/mm] hinschreiben muss...
  

> ist das richtig? und wenn ja, was muss ich jetzt machen,
> wenn ich h gegen unendlich gehen lassen will?  

Warum willst Du denn $h [mm] \to \infty$ [/mm] laufen lassen? Also auch schon "gedanklich":
Du willst aus einer Sekantensteigung eine Tangentensteigung machen, und
das geht doch nicht, indem Du den einen Punkt (x+h) unendlich weit von
dem festen [mm] $x\,$ [/mm] *wegschiebst*.

P.S. Dein Ergebnis oben kann durchaus richtig sein, aber ich habe halt
keine Lust, das mit Deiner Methode nachzurechnen. Ich rechne es gleich
nochmal mit der von mir genannten mit dem [mm] $h\,$ [/mm] nach und schaue dann,
was am Ende stehen bleibt, wenn ich dann bei mir $x [mm] \leftrightarrow x+h$ und $x-h \leftrightarrow (x-h)+h=x$ vertausche. Gruß, Marcel [/mm]

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Differentialquotient: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:56 Do 02.10.2014
Autor: micha20000

Wir sollten das so von unserem Lehrer berechnen...
Stimmt, das war ein Fehler von mir: Ich muss h gegen 0 laufen lassen... Wie funktioniert das? Ich habe keine Ahnung, was ich da machen muss

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Differentialquotient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:13 Do 02.10.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Wir sollten das so von unserem Lehrer berechnen...
>  Stimmt, das war ein Fehler von mir: Ich muss h gegen 0
> laufen lassen... Wie funktioniert das? Ich habe keine
> Ahnung, was ich da machen muss

ihr werdet doch keine Grenzwertberechnungen durchführen sollen, ohne
vorher Grenzwerte als Thema gehabt zu haben?

Aber okay, ich demonstriere es Dir an einem anderen Beispiel, es wäre
etwa:

    [mm] $\lim_{h \to 0} (5x^6+3hx^2+16x^3h^7+5xh)=(\lim_{h \to 0} 5x^6)+(\lim_{h \to 0} 3hx^2)+(\lim_{h \to 0}16x^3h^7)+(\lim_{h \to 0}5xh)$ [/mm]

    [mm] $=5x^6*(\lim_{h \to 0}1)+3x^2*(\lim_{h \to 0}h)+16x^3*(\lim_{h \to 0}h^7)+5x*(\lim_{h \to 0}h)$ [/mm]

    [mm] $=5x^6*1+3x^2*0+16x^3*(\lim_{h \to 0}h)^7+5x*0$ [/mm]

    [mm] $=5x^6*1+16x^3*0^7=5x^6$ [/mm]

Dabei beachte: [mm] $x\,$ [/mm] ist fest (insbesondere unabhängig von [mm] $h\,$)! [/mm]

Siehe auch

    MBFunktionsgrenzwertbestimmung

sowie

    []http://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_%28Funktion%29#Grenzwerts.C3.A4tze
  
Gruß,
  Marcel

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Differentialquotient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:50 Do 02.10.2014
Autor: Ladon

Hallo micha,

noch mal zu deinen anderen Fragen:
Man definiert die Ableitung wie folgt:
Eine Funktion f ist in [mm] x_0 [/mm] genau dann differenzierbar, wenn
[mm] $$\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$ [/mm] existiert. Dieser Grenzwert heißt Ableitung von f an der Stelle [mm] x_0. [/mm]
Die beiden obigen Grenzwerte sind offensichtlich gleich. Statt [mm] $x\to x_0$ [/mm] gehen zu lassen, kann man auch [mm] $x-x_0=:h\to0$ [/mm] gehen lassen. Man kann sich das graphisch leicht klar machen. Sieh dir einfach einige "Sekanten" an und lasse deren zweiten Schnittpunkt (an der Stelle x bzw. [mm] x_0+h [/mm] (im Fall der h-gegen-Null-Methode)) gegen den ersten Schnittpunkt (an der Stelle [mm] x_0) [/mm] laufen und betrachte dabei die jeweilige Steigung der "Sekanten".
[mm] x_0 [/mm] soll andeuten, dass es sich um einen bestimmten Punkt handelt.

MfG
Ladon

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Differentialquotient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:32 Do 02.10.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Gegeben sind die Funktionen f(x)= [mm]x^{3}-3x^{2}-x+4[/mm] und
> g(x)= -4x+5
>  a) Bestimmen Sie f'(x) mithilfe des
> Differentialquotienten.
>  
> Hallo,
>  
> ich habe folgenden Ansatz:
>  [mm]f'(x_{0})= \limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{(x^{3}-3x^{2}-x+4)-((x-h)^{3}-3(x-h)^{2}-(x-h)+4)}{h}[/mm]

anstatt [mm] $x\,$ [/mm] gehört da auch [mm] $x_0$ [/mm] hin!

Und auch mal ein Hinweis: Die beiden Funktionen in der Variablen [mm] $h\,$, [/mm] definiert
durch

    [mm] $z_{x_0}(h):=(x_0^{3}-3x_0^{2}-x_0+4)-((x_0-h)^{3}-3(x_0-h)^{2}-(x_0-h)+4)$ [/mm]

und

    [mm] $n_{x_0}(h):=h$ [/mm]

sind offensichtlich Polynome mit der gemeinsamen Nullstelle [mm] $h=0\,.$ [/mm]

Deswegen wird

    [mm] $b_{x_0}(h):=z_{x_0}(h)/n_{x_0}(h)$ [/mm] für $h [mm] \not=0$ [/mm]

i.W. ein(e) Polynom(funktion) in der Variablen [mm] $h\,$ [/mm] sein. (Das "i.W." schreibe
ich nur deswegen, weil diese "Bruchfunktion" an der Stelle [mm] $h=0\,$ [/mm] gar nicht
definiert ist!)

Du wirst später sehen: Es ist kein Zufall, dass man Polynome "leicht"
ableiten kann.

Nebenbei: Wenn man sich die allgemeine binomische Formel

    [mm] $(a+b)^n=\sum_{k=0}^n [/mm] {n [mm] \choose [/mm] k} [mm] a^k b^{n-k}$ [/mm]

klarmacht, kann man die Aufgabe sehr schnell und viel allgemeiner lösen.

Aber es geht auch "schneller":
Für $h [mm] \not=0$ [/mm] ist hier

    [mm] $\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\frac{(x_0+h)^3-x_0^3}{h}\,.$ [/mm]

Überlege Dir die Struktur von

    [mm] $(x_0+h)^3-x_0^3\,,$ [/mm]

indem Du die Summanden so sortierst, dass die Exponenten von [mm] $h\,$ [/mm] in
aufsteigender Reihenfolge auftauchen. Der genaue Vorfaktor ist nämlich
nur an wenigen Stellen relevant:

    [mm] $(x_0+h)^3-x_0^3=\red{x_0^3}\,+3x_0^2*h+...*h^2+h^3+\red{\,-\,x_0^3}$ [/mm]

Also: man kann auch *mit Bedacht* rechnen.

Das Verfahren geht übrigens auch bei höheren Exponenten:

    [mm] $(x_0+h)^7-x_0=\red{x_0^7}\,+7x_0^6*h+...*h^2+...*h^3+...+...*h^6+h^7\red{\,-\,x_0^7}$ [/mm]

Was bringt Dir das? Naja, egal, welche Zahl $p [mm] \in \IR$ [/mm] man hat, ist $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit
$n [mm] \ge 2\,,$ [/mm] so ist doch

    [mm] $p*h^n/h=p*h^{n-1}$ [/mm]

und es folgt dann

    [mm] $p*h^n/h=p*h^{n-1} \to [/mm] 0$ bei $h [mm] \to 0\,.$ [/mm]

Beachte oben auch: Die Anzahl der Summanden ist unabhängig von [mm] $h\,.$ [/mm]

Gruß,
  Marcel

Bezug
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