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Hallo zusammen,
kann mir jemand einen Hinweis geben wo ich Literatur, oder einen Link finde indem folgendes Problem geschildert wird? Ich kann das nicht einordnen, mein Nachhilfeschüler kam neulich damit an.
Grundlegend soll eine Tangente an einem Punkt auf dem Graph aufgestellt werden. Eigentlich kein Problem, aber die müssen für die Steigung einen Grenzwert bilden und dürfen nicht einfach ableiten (wie es jeder machen würde)
das sieht z.B. so aus:
[mm] f(x)=x^2
[/mm]
[mm] P(a/a^2)
[/mm]
[mm] S(x/x^2)
[/mm]
[mm] m=(x^2-a^2)/(x-a)=((x-a)*(x+a))/(x-a)=x+a
[/mm]
dann wird der Grenzwert für x->a gebildet und gut ist.
Für diese Aufgabe noch einfach, jedoch weiß ich nicht wie ich das bei Wurzel- oder Umkehrfunktionen erklären soll???
Hat jemand einen Tipp? Oder gibt es da feste Umformschemata?
LG und Danke
Jens
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:20 Di 26.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Es geht eben genauso, wie man den GW des Differentialquotienten bildet. bei [mm] x^n-a^n [/mm] x-a ausklammern (Polynomdivision)
bei [mm] \wurzel{x}-\wurzel{a} [/mm] mit [mm] \wurzel{x}+\wurzel{a} [/mm] erweitern.
schwierigere Sachen kommen auf der Schule wohl kaum vor, es sei denn sie wären schon direkt, beim Herleiten der Ableitung besprochen worden.
Gruss leduart
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Ich habe mich gewundert, dass die dort in der 11 schon so in die vollen gehen.
Ich muss nochmal fragen: Wie sieht das bei
[mm] f(x)=\bruch{1}{x} [/mm] aus?
Wäre sehr dankbar, wenn mir jemand einen Link oder eine Sammlung mit Übungsaufgaben dazu empfehlen kann.
Aber danke schonmal für deine schnelle Antwort leduart
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Hallo Jens,
einfach mal den Differenzenquotienten ansetzen und dann rechnen!
[mm] $m=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$, [/mm] hier mit [mm] $f(x)=\frac{1}{x}$
[/mm]
Also [mm] $m=\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{a}}{x-a}=\frac{1}{x-a}\cdot{}\frac{a-x}{x\cdot{}a}$
[/mm]
(die Brüche im Zähler des Doppelbruchs gleichnamig gemacht)
[mm] $=\frac{1}{x-a}\cdot{}\frac{-(x-a)}{x\cdot{}a}=\frac{-1}{x\cdot{}a}$
[/mm]
Nun den Grenzübergang [mm] $x\to [/mm] a$ machen ... das ist dann $f'(a)$
Einen (guten) link kann ich dir im Moment nicht bieten, google doch mal oder nimm dir einige "Standardfunktionen" her und rechne drauf los 
LG
schachuzipus
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> Also
> [mm]m=\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{a}}{x-a}=\frac{1}{x-a}\cdot{}\frac{a-x}{x\cdot{}a}[/mm]
>
> (die Brüche im Zähler des Doppelbruchs gleichnamig
> gemacht)
erklärt sich das so selbstverständlich? Ich weiß nicht wie man von Ausgang zu deiner Umformung kommt. *g*
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Hallo nochmal,
> > Also
> >
> [mm]m=\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{a}}{x-a}=\frac{1}{x-a}\cdot{}\frac{a-x}{x\cdot{}a}[/mm]
> >
> > (die Brüche im Zähler des Doppelbruchs gleichnamig
> > gemacht)
>
> erklärt sich das so selbstverständlich?
Ja
> Ich weiß nicht wie
> man von Ausgang zu deiner Umformung kommt. *g*
ok, mit Zwischenschritt:
[mm] $m=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{a}}{x-a}$
[/mm]
Hier ist dein konkrtes [mm] $f:x\mapsto\frac{1}{x}$ [/mm] eingesetzt
[mm] $=\frac{1}{x-a}\cdot{}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{a}\right)$
[/mm]
Um nicht immer diesen ollen Doppelbruch schreiben zu müssen
Nun die Brüche in der Klammer gleichnamig machen, der Hauptnenner ist [mm] $x\cdot{}a$, [/mm] also müssen wir den ersten Bruch mit [mm] $\blue{a}$, [/mm] den 2.Bruch mit [mm] $\red{x}$ [/mm] erweitern. Das gibt:
[mm] $..=\frac{1}{x-a}\cdot{}\left(\frac{\blue{a}}{x\cdot{}\blue{a}}-\frac{\red{x}}{\red{x}\cdot{}a}\right)$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{x-a}\cdot{}\frac{a-x}{x\cdot{}a}=\frac{1}{x-a}\cdot{}\frac{(-1)\cdot{}(x-a)}{x\cdot{}a}$
[/mm]
nun $x-a$ wegkürzen:
[mm] $=\frac{-1}{x\cdot{}a}$
[/mm]
Dann den Grenzübergang [mm] $x\to [/mm] a$ machen, das liefert also [mm] $\frac{-1}{a^2}=f'(a)$
[/mm]
Was ja auch nach den üblichen Ableitungsregeln herauskommen sollte
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:06 Mi 27.02.2008 | | Autor: | cagivamito |
Danke für die Ausführung.
Kann das so nachvollziehen. Jedoch weiß ich nicht was einen bei anderen Funktionen noch so alles erwartet.
Habe nun durch Ausklammern, Erweitern, Erweitern um einen gemeinsamen Nenner zubekommen, Ausmultiplizieren solch eine Rechnung durchgeführt.
Und das alles wobei man die Ableitung in wenigen Sekunden berechnen könnte. Das leuchtet mir nicht ein.
Aber gut, jetzt kann ich schonmal ein paar.
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