Differentialrechnung < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo zusammen
Ich soll die Lösung folgender separierbaren D.Gleichung finden.
[mm] k'=sake^{bt}
[/mm]
s,a,b sind konstante.
Nun bin ich soweit gekommen mit separieren:
[mm] ln(k)=\bruch{sa}{b}e^{bt}+c_1
[/mm]
Nun würde ich das e nehmen, damit ln verschwindet:
[mm] k=e^{\bruch{sa}{b}e^{bt}}+e^{c_1}....jedoch [/mm] steht in den Lösungen statt dem Plus ein Mal. Also mal [mm] e^{c_1}. [/mm] Und weiter es steht es in den Lösungen so:
[mm] e^{\bruch{sa}{b}e^{bt}}e^{c_1}=Ce^{\bruch{sa}{b}e^{bt}} [/mm] Warum?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:06 Sa 18.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo blackkilla!
> [mm]k=e^{\bruch{sa}{b}e^{bt}}+e^{c_1}....jedoch[/mm] steht in den
> Lösungen statt dem Plus ein Mal. Also mal [mm]e^{c_1}.[/mm]
Das sind die  Potenzgesetzte, da gilt:
[mm] $a^{m+n} [/mm] \ = \ [mm] a^m*a^n$
[/mm]
> Und weiter es steht es in den Lösungen so:
>
> [mm]e^{\bruch{sa}{b}e^{bt}}e^{c_1}=Ce^{\bruch{sa}{b}e^{bt}}[/mm]
> Warum?
Weil hier $C \ := \ [mm] e^{c_1}$ [/mm] zu einer neuen Konstante zusammengefasst wurde. Schließlich ist mit konstantem [mm] $c_1$ [/mm] auch [mm] $e^{c_1}$ [/mm] konstant.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Dachte auch in diese Richtung aber es ist ja [mm] a^m+a^n [/mm] und nicht [mm] a^ma^n
[/mm]
|
|
|
| |
|
> Dachte auch in diese Richtung aber es ist ja [mm]a^m+a^n[/mm] und
> nicht [mm]a^ma^n[/mm]
schön, dass man sich zusammenreimen soll, was dieses zusammenhangslose wirrwarr da soll?
wenn ich ln(|k|)=a+c habe und die e-funktion anwende, erhalte ich
[mm] |k|=e^{a+c}=e^a*e^c
[/mm]
durch auflösen des betrages [mm] (\pm) [/mm] und [mm] e^c [/mm] wird dann am ende
[mm] k=e^a*C
[/mm]
draus
gruß tee
|
|
|
| |
|
Ok vielen Dank jetzt hab ichs! :D
Leider geht die Aufgabe noch weiter:
[mm] k(0)=k_0
[/mm]
Somit ist ja [mm] k_0=Ce^{\bruch{sa}{b}}
[/mm]
Doch wie komm ich auf [mm] k=k_0e^{\bruch{sa}{b}(e^{bt-1})}
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo blackkilla,
> Ok vielen Dank jetzt hab ichs! :D
>
> Leider geht die Aufgabe noch weiter:
>
> [mm]k(0)=k_0[/mm]
>
> Somit ist ja [mm]k_0=Ce^{\bruch{sa}{b}}[/mm]
>
> Doch wie komm ich auf [mm]k=k_0e^{\bruch{sa}{b}(e^{bt-1})}[/mm]
Die allgemeine Lösung lautet
[mm]k\left(t\right)=C*e^{\bruch{sa}{b}e^{bt}}[/mm]
Setze dann das C aus der Gleichung
[mm]k_0=Ce^{\bruch{sa}{b}}[/mm]
in die allgemeine Lösung ein.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:43 So 19.12.2010 | | Autor: | blackkilla |
Alles klar vielen Dank!
|
|
|
|
