Differentialrechnung mit cos < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:56 Mi 22.09.2004 | | Autor: | David_D |
Also, habe hier bereits im Forum gesucht, bin aber leider nicht fuendig geworden ^^
Vorweg: Uns wurde heute (Mathe LK12) gesagt, dass wir morgen einen Kurztest zur Ueberpruefung (weil bald die richtige Arbeit ansteht) schreiben und habe deswegen eine Uebungsaufgabe bekommen.
Ich habe zwar eine Loesung raus, fuerchte aber sehr stark, dass sie falsch ist:
f(x)= k*[mm]\sin x[/mm]
g(x)= -[mm]\bruch{1}{k}[/mm] *[mm]\sin x[/mm]
[mm]k\in\IR+[/mm]
Gesucht ist das jenige k, fuer dass die Flaeche der beiden Grafen am kleinsten ist.
x ist ein ganzzahlig Vielfaches von Pi, daher haben wir
x = Z * pi,
daher duerfte Z = 1 sein (=> x=pi), aber soweit waren wir schon im Unterricht.
Vielen Dank schonmal im Vorraus fuer moegliche Antworten, ich wuerde mich sehr ueber Hilfe freuen :)
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:16 Mi 22.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo David
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
i> Ich habe zwar eine Loesung raus, fuerchte aber sehr stark,
> dass sie falsch ist:
>
> f(x)= k*[mm]\sin x[/mm]
> g(x)= -[mm]\bruch{1}{k}[/mm] *[mm]\sin x[/mm]
>
> [mm]k\in\IR+[/mm]
>
> Gesucht ist das jenige k, fuer dass die Flaeche der beiden
> Grafen am kleinsten ist.
>
Ich nehme mal an, dass du meinst: die Fläche zwischen den beiden Grafen!
> x ist ein ganzzahlig Vielfaches von Pi, daher haben wir
> x = Z * pi,
> daher duerfte Z = 1 sein (=> x=pi), aber soweit waren wir
> schon im Unterricht.
>
Meinst du mit Z die rechte Integrationsgrenze, so dass von $0$ bis [mm] $\pi$ [/mm] integriert werden kann?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dann ist also die farbige Fläche minimal zu halten!
Wie hast du denn die Fläche berechnet?
Ich nehme mal an, so:
[mm] $A(k)=\integral_{0}^{\pi}(k\sin{x}+\bruch{1}{k}\sin{x})\, [/mm] dx$
Dann gibt das nach den Regeln der Integralrechnung:
[mm] $A(k)=\integral_{0}^{\pi}k\sin{x}\, [/mm] dx [mm] +\integral_{0}^{\pi}\bruch{1}{k}\sin{x}\, [/mm] dx$
oder:
[mm] $A(k)=k\integral_{0}^{\pi}\sin{x}\, [/mm] dx [mm] +\bruch{1}{k}\integral_{0}^{\pi}\sin{x}\, [/mm] dx$
$A$ ist also eine Funktion von $k$, und damit diese minimal wird, muss die 1. Ableitung (nach $k$) Null sein (und die 2. Ableitung $< 0$)
Du stellst unschwer fest, dass das Integral [mm] $\integral_{0}^{\pi}\sin{x}\, [/mm] dx$ einen konstanten Wert $> 0$ hat, der vermutlich gar nicht ermittelt zu werden braucht. Ich kürze das deshalb mal ab mit [mm] $I_{s}$. [/mm] Dann haben wir:
[mm] $A(k)=k*I_{s} +\bruch{1}{k}*I_{s}$
[/mm]
Das also nach $k$ abgeleitet und $= 0$ gesetzt:
[mm] $A'(k)=I_{s} -\bruch{1}{k^{2}}*I_{s}$
[/mm]
[mm] $I_{s} -\bruch{1}{k^{2}}*I_{s}=0$
[/mm]
Jetzt kann das durch [mm] $I_{s}$ [/mm] dividiert werden:
$1 [mm] -\bruch{1}{k^{2}}=0$
[/mm]
Ich denke, von hier an solltest du die Aufgabe selber zu Ende führen können. Falls nicht, dann meldest du dich einfach wieder! 
P.S. In der Regel erwarten wir im MatherRaum etwas konkretere Angaben, wie weit du selber gekommen bist und wo es dann klemmt. Angaben wie: "das habe ich noch fertiggebracht" oder "ist für mich kein Problem" reichen dabei nicht, weil sie zu vage sind. Lies dazu bitte auch die Forenregeln durch.
Bei Neuen machen wir, je nach Laune, aber gelegentlich eine Ausnahme! 
(Ich bin im Moment guter Laune)
Mit lieben Grüssen
Paul
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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